Aljabar Linear Contoh

12 x - 3 y = - 6

$12 x - 3 y = - 6$ ,

2 x + 15 y = 30

$2 x + 15 y = 30$

Langkah 1

Tentukan

A X = B

$A X = B$ dari sistem persamaan tersebut.

[\begin{matrix} 12 & - 3 2 & 15 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} x y \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 6 30 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 12 & - 3 \\ 2 & 15 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 6 \\ 30 \end{array}]$

Langkah 2

Tentukan balikan dari matriks koefisien.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

The inverse of a

2 \times 2

$2 \times 2$ matrix can be found using the formula

\frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b - c & a \end{matrix}]

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where

a d - b c

$a d - b c$ is the determinant.

Langkah 2.2

Find the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Determinan dari matriks

2 \times 2

$2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

12 \cdot 15 - 2 \cdot - 3

$12 \cdot 15 - 2 \cdot - 3$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Kalikan

12

$12$ dengan

15

$15$ .

180 - 2 \cdot - 3

$180 - 2 \cdot - 3$

Langkah 2.2.2.1.2

Kalikan

- 2

$- 2$ dengan

- 3

$- 3$ .

180 + 6

$180 + 6$

180 + 6

$180 + 6$

Langkah 2.2.2.2

Tambahkan

180

$180$ dan

6

$6$ .

186

$186$

186

$186$

186

$186$

Langkah 2.3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Langkah 2.4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

\frac{1}{186} [\begin{matrix} 15 & 3 - 2 & 12 \end{matrix}]

$\frac{1}{186} [\begin{array}{c} 15 & 3 \\ - 2 & 12 \end{array}]$

Langkah 2.5

Kalikan

\frac{1}{186}

$\frac{1}{186}$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

[\begin{matrix} \frac{1}{186} \cdot 15 & \frac{1}{186} \cdot 3 \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{1}{186} \cdot 15 & \frac{1}{186} \cdot 3 \\ \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Langkah 2.6

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Batalkan faktor persekutuan dari

3

$3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1.1

Faktorkan

3

$3$ dari

186

$186$ .

⎡ ⎣ \begin{matrix} \frac{1}{3 (62)} \cdot 15 & \frac{1}{186} \cdot 3 \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3 (62)} \cdot 15 & \frac{1}{186} \cdot 3 \\ \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Langkah 2.6.1.2

Faktorkan

3

$3$ dari

15

$15$ .

[\begin{matrix} \frac{1}{3 \cdot 62} \cdot (3 \cdot 5) & \frac{1}{186} \cdot 3 \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3 \cdot 62} \cdot (3 \cdot 5) & \frac{1}{186} \cdot 3 \\ \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Langkah 2.6.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3 \cdot 62} \cdot (3 \cdot 5) & \frac{1}{186} \cdot 3 \\ \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Langkah 2.6.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{62} \cdot 5 & \frac{1}{186} \cdot 3 \\ \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Langkah 2.6.2

Gabungkan

$\frac{1}{62}$ dan

$5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{186} \cdot 3 \\ \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Langkah 2.6.3

Batalkan faktor persekutuan dari

$3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.3.1

Faktorkan

$3$ dari

$186$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{3 (62)} \cdot 3 \\ \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Langkah 2.6.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{3 \cdot 62} \cdot 3 \\ \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Langkah 2.6.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Langkah 2.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.4.1

Faktorkan

$2$ dari

$186$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ \frac{1}{2 (93)} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Langkah 2.6.4.2

Faktorkan

$2$ dari

$- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ \frac{1}{2 \cdot 93} \cdot (2 \cdot - 1) & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Langkah 2.6.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ \frac{1}{2 \cdot 93} \cdot (2 \cdot - 1) & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Langkah 2.6.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ \frac{1}{93} \cdot - 1 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Langkah 2.6.5

Gabungkan

$\frac{1}{93}$ dan

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ \frac{- 1}{93} & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Langkah 2.6.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ - \frac{1}{93} & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Langkah 2.6.7

Batalkan faktor persekutuan dari

$6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.7.1

Faktorkan

$6$ dari

$186$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ - \frac{1}{93} & \frac{1}{6 (31)} \cdot 12 \end{array}]$

Langkah 2.6.7.2

Faktorkan

$6$ dari

$12$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ - \frac{1}{93} & \frac{1}{6 \cdot 31} \cdot (6 \cdot 2) \end{array}]$

Langkah 2.6.7.3

Batalkan faktor persekutuan.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ - \frac{1}{93} & \frac{1}{6 \cdot 31} \cdot (6 \cdot 2) \end{array}]$

Langkah 2.6.7.4

Tulis kembali pernyataannya.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ - \frac{1}{93} & \frac{1}{31} \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 2.6.8

Gabungkan

$\frac{1}{31}$ dan

$2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ - \frac{1}{93} & \frac{2}{31} \end{array}]$

Langkah 3

Kalikan kedua sisi persamaan matriks dengan matriks balikan.

$([\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ - \frac{1}{93} & \frac{2}{31} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 12 & - 3 \\ 2 & 15 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ - \frac{1}{93} & \frac{2}{31} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} - 6 \\ 30 \end{array}]$

Langkah 4

Semua matriks akan selalu bernilai

$1$ jika dikalikan dengan balikannya.

$A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ - \frac{1}{93} & \frac{2}{31} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} - 6 \\ 30 \end{array}]$

Langkah 5

Kalikan

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ - \frac{1}{93} & \frac{2}{31} \end{array}] [\begin{array}{c} - 6 \\ 30 \end{array}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is

$2 \times 2$ and the second matrix is

$2 \times 1$ .

Langkah 5.2

Kalikan setiap baris pada matriks pertama dengan setiap kolom pada matriks kedua.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} \cdot - 6 + \frac{1}{62} \cdot 30 \\ - \frac{1}{93} \cdot - 6 + \frac{2}{31} \cdot 30 \end{array}]$

Langkah 5.3

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks dengan mengalikan semua pernyataannya.

$[\begin{array}{c} 0 \\ 2 \end{array}]$

Langkah 6

Sederhanakan sisi kiri dan kanan.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 2 \end{array}]$

Langkah 7

Tentukan penyelesaiannya.

$x = 0$

$y = 2$