Aljabar Linear Contoh

Cari Vektor Eigen/Ruang Eigen [[0,4,10,0],[-1,4,5,0],[7,-14,2,0],[-12,24,6,2]]
Langkah 1
Temukan nilai eigennya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.1
Gunakan rumus untuk menentukan persamaan karakteristik .
Langkah 1.2
Matriks satuan atau matriks satuan dengan ordo adalah matriks persegi dengan bilangan satu di diagonal utama dan nol di elemen lainnya.
Langkah 1.3
Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.3.1
Substitusikan untuk .
Langkah 1.3.2
Substitusikan untuk .
Langkah 1.4
Sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1.1
Kalikan dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.
Langkah 1.4.1.2
Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1.2.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.2
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1.2.2.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.2.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.3
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1.2.3.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.3.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.4
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1.2.4.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.4.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.5
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1.2.5.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.5.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.6
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.7
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1.2.7.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.7.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.8
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1.2.8.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.8.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.9
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1.2.9.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.9.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.10
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1.2.10.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.10.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.11
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.12
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1.2.12.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.12.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.13
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1.2.13.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.13.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.14
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1.2.14.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.14.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.15
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1.2.15.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.15.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.16
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.2
Tambahkan elemen yang seletak.
Langkah 1.4.3
Simplify each element.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.3.1
Kurangi dengan .
Langkah 1.4.3.2
Tambahkan dan .
Langkah 1.4.3.3
Tambahkan dan .
Langkah 1.4.3.4
Tambahkan dan .
Langkah 1.4.3.5
Tambahkan dan .
Langkah 1.4.3.6
Tambahkan dan .
Langkah 1.4.3.7
Tambahkan dan .
Langkah 1.4.3.8
Tambahkan dan .
Langkah 1.4.3.9
Tambahkan dan .
Langkah 1.4.3.10
Tambahkan dan .
Langkah 1.4.3.11
Tambahkan dan .
Langkah 1.4.3.12
Tambahkan dan .
Langkah 1.4.3.13
Tambahkan dan .
Langkah 1.5
Find the determinant.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.1
Choose the row or column with the most elements. If there are no elements choose any row or column. Multiply every element in column by its cofactor and add.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
Langkah 1.5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a position on the sign chart.
Langkah 1.5.1.3
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Langkah 1.5.1.4
Multiply element by its cofactor.
Langkah 1.5.1.5
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Langkah 1.5.1.6
Multiply element by its cofactor.
Langkah 1.5.1.7
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Langkah 1.5.1.8
Multiply element by its cofactor.
Langkah 1.5.1.9
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Langkah 1.5.1.10
Multiply element by its cofactor.
Langkah 1.5.1.11
Add the terms together.
Langkah 1.5.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.3
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.4
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.5
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.5.1
Choose the row or column with the most elements. If there are no elements choose any row or column. Multiply every element in row by its cofactor and add.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
Langkah 1.5.5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a position on the sign chart.
Langkah 1.5.5.1.3
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Langkah 1.5.5.1.4
Multiply element by its cofactor.
Langkah 1.5.5.1.5
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Langkah 1.5.5.1.6
Multiply element by its cofactor.
Langkah 1.5.5.1.7
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Langkah 1.5.5.1.8
Multiply element by its cofactor.
Langkah 1.5.5.1.9
Add the terms together.
Langkah 1.5.5.2
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.5.2.1
Determinan dari matriks dapat dicari menggunakan rumus .
Langkah 1.5.5.2.2
Sederhanakan determinannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.5.2.2.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.5.2.2.1.1
Perluas menggunakan Metode FOIL.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.5.2.2.1.1.1
Terapkan sifat distributif.
Langkah 1.5.5.2.2.1.1.2
Terapkan sifat distributif.
Langkah 1.5.5.2.2.1.1.3
Terapkan sifat distributif.
Langkah 1.5.5.2.2.1.2
Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.5.2.2.1.2.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.5.2.2.1.2.1.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.5.2.2.1.2.1.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.5.2.2.1.2.1.3
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.5.2.2.1.2.1.4
Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.
Langkah 1.5.5.2.2.1.2.1.5
Kalikan dengan dengan menambahkan eksponennya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.5.2.2.1.2.1.5.1
Pindahkan .
Langkah 1.5.5.2.2.1.2.1.5.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.5.2.2.1.2.1.6
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.5.2.2.1.2.1.7
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.5.2.2.1.2.2
Kurangi dengan .
Langkah 1.5.5.2.2.1.3
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.5.2.2.1.3.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.5.2.2.1.3.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.5.2.2.2
Tambahkan dan .
Langkah 1.5.5.2.2.3
Susun kembali dan .
Langkah 1.5.5.3
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.5.3.1
Determinan dari matriks dapat dicari menggunakan rumus .
Langkah 1.5.5.3.2
Sederhanakan determinannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.5.3.2.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.5.3.2.1.1
Terapkan sifat distributif.
Langkah 1.5.5.3.2.1.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.5.3.2.1.3
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.5.3.2.1.3.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.5.3.2.1.3.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.5.3.2.1.4
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.5.3.2.2
Kurangi dengan .
Langkah 1.5.5.4
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.5.4.1
Determinan dari matriks dapat dicari menggunakan rumus .
Langkah 1.5.5.4.2
Sederhanakan determinannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.5.4.2.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.5.4.2.1.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.5.4.2.1.2
Terapkan sifat distributif.
Langkah 1.5.5.4.2.1.3
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.5.4.2.1.4
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.5.4.2.2
Kurangi dengan .
Langkah 1.5.5.4.2.3
Susun kembali dan .
Langkah 1.5.5.5
Sederhanakan determinannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.5.5.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.5.5.1.1
Terapkan sifat distributif.
Langkah 1.5.5.5.1.2
Sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.5.5.1.2.1
Kalikan dengan dengan menambahkan eksponennya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.5.5.1.2.1.1
Pindahkan .
Langkah 1.5.5.5.1.2.1.2
Kalikan dengan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.5.5.1.2.1.2.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 1.5.5.5.1.2.1.2.2
Gunakan kaidah pangkat untuk menggabungkan pangkat.
Langkah 1.5.5.5.1.2.1.3
Tambahkan dan .
Langkah 1.5.5.5.1.2.2
Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.
Langkah 1.5.5.5.1.2.3
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.5.5.1.3
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.5.5.1.3.1
Kalikan dengan dengan menambahkan eksponennya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.5.5.1.3.1.1
Pindahkan .
Langkah 1.5.5.5.1.3.1.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.5.5.1.3.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.5.5.1.4
Terapkan sifat distributif.
Langkah 1.5.5.5.1.5
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.5.5.1.6
Terapkan sifat distributif.
Langkah 1.5.5.5.1.7
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.5.5.1.8
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.5.5.2
Kurangi dengan .
Langkah 1.5.5.5.3
Tambahkan dan .
Langkah 1.5.5.5.4
Kurangi dengan .
Langkah 1.5.6
Sederhanakan determinannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.6.1
Gabungkan suku balikan dalam .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.6.1.1
Tambahkan dan .
Langkah 1.5.6.1.2
Tambahkan dan .
Langkah 1.5.6.1.3
Tambahkan dan .
Langkah 1.5.6.2
Perluas dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.
Langkah 1.5.6.3
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.6.3.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.6.3.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.6.3.3
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.6.3.4
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.6.3.5
Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.
Langkah 1.5.6.3.6
Kalikan dengan dengan menambahkan eksponennya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.6.3.6.1
Pindahkan .
Langkah 1.5.6.3.6.2
Kalikan dengan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.6.3.6.2.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 1.5.6.3.6.2.2
Gunakan kaidah pangkat untuk menggabungkan pangkat.
Langkah 1.5.6.3.6.3
Tambahkan dan .
Langkah 1.5.6.3.7
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.6.3.8
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.6.3.9
Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.
Langkah 1.5.6.3.10
Kalikan dengan dengan menambahkan eksponennya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.6.3.10.1
Pindahkan .
Langkah 1.5.6.3.10.2
Kalikan dengan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.6.3.10.2.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 1.5.6.3.10.2.2
Gunakan kaidah pangkat untuk menggabungkan pangkat.
Langkah 1.5.6.3.10.3
Tambahkan dan .
Langkah 1.5.6.3.11
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.6.3.12
Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.
Langkah 1.5.6.3.13
Kalikan dengan dengan menambahkan eksponennya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.6.3.13.1
Pindahkan .
Langkah 1.5.6.3.13.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.6.3.14
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.6.3.15
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.6.4
Kurangi dengan .
Langkah 1.5.6.5
Tambahkan dan .
Langkah 1.5.6.6
Kurangi dengan .
Langkah 1.5.6.7
Pindahkan .
Langkah 1.5.6.8
Pindahkan .
Langkah 1.5.6.9
Pindahkan .
Langkah 1.5.6.10
Susun kembali dan .
Langkah 1.6
Atur polinomial karakteristiknya agar sama dengan untuk menemukan nilai eigen .
Langkah 1.7
Selesaikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.7.1
Faktorkan sisi kiri persamaannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.7.1.1
Buatlah setiap suku cocok dengan suku-suku dari rumus teorema binomial.
Langkah 1.7.1.2
Faktorkan menggunakan teorema binomial.
Langkah 1.7.2
Atur agar sama dengan .
Langkah 1.7.3
Selesaikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.7.3.1
Kurangkan dari kedua sisi persamaan tersebut.
Langkah 1.7.3.2
Bagi setiap suku pada dengan dan sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.7.3.2.1
Bagilah setiap suku di dengan .
Langkah 1.7.3.2.2
Sederhanakan sisi kirinya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.7.3.2.2.1
Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.
Langkah 1.7.3.2.2.2
Bagilah dengan .
Langkah 1.7.3.2.3
Sederhanakan sisi kanannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.7.3.2.3.1
Bagilah dengan .
Langkah 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where is the null space and is the identity matrix.
Langkah 3
Find the eigenvector using the eigenvalue .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.1
Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumusnya.
Langkah 3.2
Sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.2.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.2.1.1
Kalikan dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.
Langkah 3.2.1.2
Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.2.1.2.1
Kalikan dengan .
Langkah 3.2.1.2.2
Kalikan dengan .
Langkah 3.2.1.2.3
Kalikan dengan .
Langkah 3.2.1.2.4
Kalikan dengan .
Langkah 3.2.1.2.5
Kalikan dengan .
Langkah 3.2.1.2.6
Kalikan dengan .
Langkah 3.2.1.2.7
Kalikan dengan .
Langkah 3.2.1.2.8
Kalikan dengan .
Langkah 3.2.1.2.9
Kalikan dengan .
Langkah 3.2.1.2.10
Kalikan dengan .
Langkah 3.2.1.2.11
Kalikan dengan .
Langkah 3.2.1.2.12
Kalikan dengan .
Langkah 3.2.1.2.13
Kalikan dengan .
Langkah 3.2.1.2.14
Kalikan dengan .
Langkah 3.2.1.2.15
Kalikan dengan .
Langkah 3.2.1.2.16
Kalikan dengan .
Langkah 3.2.2
Tambahkan elemen yang seletak.
Langkah 3.2.3
Simplify each element.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.2.3.1
Kurangi dengan .
Langkah 3.2.3.2
Tambahkan dan .
Langkah 3.2.3.3
Tambahkan dan .
Langkah 3.2.3.4
Tambahkan dan .
Langkah 3.2.3.5
Tambahkan dan .
Langkah 3.2.3.6
Kurangi dengan .
Langkah 3.2.3.7
Tambahkan dan .
Langkah 3.2.3.8
Tambahkan dan .
Langkah 3.2.3.9
Tambahkan dan .
Langkah 3.2.3.10
Tambahkan dan .
Langkah 3.2.3.11
Kurangi dengan .
Langkah 3.2.3.12
Tambahkan dan .
Langkah 3.2.3.13
Tambahkan dan .
Langkah 3.2.3.14
Tambahkan dan .
Langkah 3.2.3.15
Tambahkan dan .
Langkah 3.2.3.16
Kurangi dengan .
Langkah 3.3
Find the null space when .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.3.1
Write as an augmented matrix for .
Langkah 3.3.2
Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Langkah 3.3.2.1.2
Sederhanakan .
Langkah 3.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Langkah 3.3.2.2.2
Sederhanakan .
Langkah 3.3.2.3
Perform the row operation to make the entry at a .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.3.2.3.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Langkah 3.3.2.3.2
Sederhanakan .
Langkah 3.3.2.4
Perform the row operation to make the entry at a .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.3.2.4.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Langkah 3.3.2.4.2
Sederhanakan .
Langkah 3.3.2.5
Swap with to put a nonzero entry at .
Langkah 3.3.2.6
Multiply each element of by to make the entry at a .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.3.2.6.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Langkah 3.3.2.6.2
Sederhanakan .
Langkah 3.3.2.7
Perform the row operation to make the entry at a .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.3.2.7.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Langkah 3.3.2.7.2
Sederhanakan .
Langkah 3.3.2.8
Perform the row operation to make the entry at a .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.3.2.8.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Langkah 3.3.2.8.2
Sederhanakan .
Langkah 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Langkah 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Langkah 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Langkah 3.3.6
Write as a solution set.
Langkah 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Langkah 4
The eigenspace of is the list of the vector space for each eigenvalue.