Aljabar Linear Contoh

$A = [\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}]$

Langkah 1

Temukan nilai eigennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan rumus untuk menentukan persamaan karakteristik $p (λ)$ .

$p (λ) = determinan (A - λ I_{3})$

Langkah 1.2

Matriks satuan atau matriks satuan dengan ordo $3$ adalah matriks persegi $3 \times 3$ dengan bilangan satu di diagonal utama dan nol di elemen lainnya.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 1.3

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam $p (λ) = determinan (A - λ I_{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan $[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}]$ untuk $A$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] - λ I_{3})$

Langkah 1.3.2

Substitusikan $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ untuk $I_{3}$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Kalikan $- λ$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.2

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.2.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.2.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.3

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.3.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.3.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.4

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.4.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.4.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.6

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.6.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.6.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.7

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.7.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.7.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.8

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.8.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.8.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.9

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Langkah 1.4.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 + 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & - 4 - λ & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 8 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & - 4 - λ & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 8 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3.2

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 4 \\ 0 + 0 & - 4 - λ & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 8 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3.3

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 4 \\ 0 & - 4 - λ & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 8 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3.4

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 4 \\ 0 & - 4 - λ & 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 8 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3.5

Tambahkan $- 5$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 4 \\ 0 & - 4 - λ & 0 \\ - 5 & - 1 + 0 & - 8 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3.6

Tambahkan $- 1$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 4 \\ 0 & - 4 - λ & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 - λ \end{array}]$

Langkah 1.5

Find the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Langkah 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Langkah 1.5.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 4 \\ - 1 & - 8 - λ \end{array} |$

Langkah 1.5.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ - 1 & - 8 - λ \end{array} |$

Langkah 1.5.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 4 \\ - 5 & - 8 - λ \end{array} |$

Langkah 1.5.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(- 4 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 4 \\ - 5 & - 8 - λ \end{array} |$

Langkah 1.5.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Langkah 1.5.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Langkah 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ - 1 & - 8 - λ \end{array} | + (- 4 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 4 \\ - 5 & - 8 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Langkah 1.5.2

Kalikan $0$ dengan $| \begin{array}{c} 1 & 4 \\ - 1 & - 8 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (- 4 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 4 \\ - 5 & - 8 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Langkah 1.5.3

Kalikan $0$ dengan $| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (- 4 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 4 \\ - 5 & - 8 - λ \end{array} | + 0$

Langkah 1.5.4

Evaluasi $| \begin{array}{c} 1 - λ & 4 \\ - 5 & - 8 - λ \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + (- 4 - λ) ((1 - λ) (- 8 - λ) - (- 5 \cdot 4)) + 0$

Langkah 1.5.4.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.1

Perluas $(1 - λ) (- 8 - λ)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 0 + (- 4 - λ) (1 (- 8 - λ) - λ (- 8 - λ) - (- 5 \cdot 4)) + 0$

Langkah 1.5.4.2.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 0 + (- 4 - λ) (1 \cdot - 8 + 1 (- λ) - λ (- 8 - λ) - (- 5 \cdot 4)) + 0$

Langkah 1.5.4.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 0 + (- 4 - λ) (1 \cdot - 8 + 1 (- λ) - λ \cdot - 8 - λ (- λ) - (- 5 \cdot 4)) + 0$

Langkah 1.5.4.2.1.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.2.1.1

Kalikan $- 8$ dengan $1$ .

$p (λ) = 0 + (- 4 - λ) (- 8 + 1 (- λ) - λ \cdot - 8 - λ (- λ) - (- 5 \cdot 4)) + 0$

Langkah 1.5.4.2.1.2.1.2

Kalikan $- λ$ dengan $1$ .

$p (λ) = 0 + (- 4 - λ) (- 8 - λ - λ \cdot - 8 - λ (- λ) - (- 5 \cdot 4)) + 0$

Langkah 1.5.4.2.1.2.1.3

Kalikan $- 8$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = 0 + (- 4 - λ) (- 8 - λ + 8 λ - λ (- λ) - (- 5 \cdot 4)) + 0$

Langkah 1.5.4.2.1.2.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = 0 + (- 4 - λ) (- 8 - λ + 8 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 5 \cdot 4)) + 0$

Langkah 1.5.4.2.1.2.1.5

Kalikan $λ$ dengan $λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.2.1.5.1

Pindahkan $λ$ .

$p (λ) = 0 + (- 4 - λ) (- 8 - λ + 8 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 5 \cdot 4)) + 0$

Langkah 1.5.4.2.1.2.1.5.2

Kalikan $λ$ dengan $λ$ .

$p (λ) = 0 + (- 4 - λ) (- 8 - λ + 8 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 5 \cdot 4)) + 0$

Langkah 1.5.4.2.1.2.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = 0 + (- 4 - λ) (- 8 - λ + 8 λ + 1 λ^{2} - (- 5 \cdot 4)) + 0$

Langkah 1.5.4.2.1.2.1.7

Kalikan $λ^{2}$ dengan $1$ .

$p (λ) = 0 + (- 4 - λ) (- 8 - λ + 8 λ + λ^{2} - (- 5 \cdot 4)) + 0$

Langkah 1.5.4.2.1.2.2

Tambahkan $- λ$ dan $8 λ$ .

$p (λ) = 0 + (- 4 - λ) (- 8 + 7 λ + λ^{2} - (- 5 \cdot 4)) + 0$

Langkah 1.5.4.2.1.3

Kalikan $- (- 5 \cdot 4)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.3.1

Kalikan $- 5$ dengan $4$ .

$p (λ) = 0 + (- 4 - λ) (- 8 + 7 λ + λ^{2} - - 20) + 0$

Langkah 1.5.4.2.1.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 20$ .

$p (λ) = 0 + (- 4 - λ) (- 8 + 7 λ + λ^{2} + 20) + 0$

Langkah 1.5.4.2.2

Tambahkan $- 8$ dan $20$ .

$p (λ) = 0 + (- 4 - λ) (7 λ + λ^{2} + 12) + 0$

Langkah 1.5.4.2.3

Susun kembali $7 λ$ dan $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + (- 4 - λ) (λ^{2} + 7 λ + 12) + 0$

Langkah 1.5.5

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.1

Gabungkan suku balikan dalam $0 + (- 4 - λ) (λ^{2} + 7 λ + 12) + 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.1.1

Tambahkan $0$ dan $(- 4 - λ) (λ^{2} + 7 λ + 12)$ .

$p (λ) = (- 4 - λ) (λ^{2} + 7 λ + 12) + 0$

Langkah 1.5.5.1.2

Tambahkan $(- 4 - λ) (λ^{2} + 7 λ + 12)$ dan $0$ .

$p (λ) = (- 4 - λ) (λ^{2} + 7 λ + 12)$

Langkah 1.5.5.2

Perluas $(- 4 - λ) (λ^{2} + 7 λ + 12)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$p (λ) = - 4 λ^{2} - 4 (7 λ) - 4 \cdot 12 - λ \cdot λ^{2} - λ (7 λ) - λ \cdot 12$

Langkah 1.5.5.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.3.1

Kalikan $7$ dengan $- 4$ .

$p (λ) = - 4 λ^{2} - 28 λ - 4 \cdot 12 - λ \cdot λ^{2} - λ (7 λ) - λ \cdot 12$

Langkah 1.5.5.3.2

Kalikan $- 4$ dengan $12$ .

$p (λ) = - 4 λ^{2} - 28 λ - 48 - λ \cdot λ^{2} - λ (7 λ) - λ \cdot 12$

Langkah 1.5.5.3.3

Kalikan $λ$ dengan $λ^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.3.3.1

Pindahkan $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 4 λ^{2} - 28 λ - 48 - (λ^{2} λ) - λ (7 λ) - λ \cdot 12$

Langkah 1.5.5.3.3.2

Kalikan $λ^{2}$ dengan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.3.3.2.1

Naikkan $λ$ menjadi pangkat $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{2} - 28 λ - 48 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (7 λ) - λ \cdot 12$

Langkah 1.5.5.3.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$p (λ) = - 4 λ^{2} - 28 λ - 48 - λ^{2 + 1} - λ (7 λ) - λ \cdot 12$

Langkah 1.5.5.3.3.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{2} - 28 λ - 48 - λ^{3} - λ (7 λ) - λ \cdot 12$

Langkah 1.5.5.3.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = - 4 λ^{2} - 28 λ - 48 - λ^{3} - 1 \cdot 7 λ \cdot λ - λ \cdot 12$

Langkah 1.5.5.3.5

Kalikan $λ$ dengan $λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.3.5.1

Pindahkan $λ$ .

$p (λ) = - 4 λ^{2} - 28 λ - 48 - λ^{3} - 1 \cdot 7 (λ \cdot λ) - λ \cdot 12$

Langkah 1.5.5.3.5.2

Kalikan $λ$ dengan $λ$ .

$p (λ) = - 4 λ^{2} - 28 λ - 48 - λ^{3} - 1 \cdot 7 λ^{2} - λ \cdot 12$

Langkah 1.5.5.3.6

Kalikan $- 1$ dengan $7$ .

$p (λ) = - 4 λ^{2} - 28 λ - 48 - λ^{3} - 7 λ^{2} - λ \cdot 12$

Langkah 1.5.5.3.7

Kalikan $12$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{2} - 28 λ - 48 - λ^{3} - 7 λ^{2} - 12 λ$

Langkah 1.5.5.4

Kurangi $7 λ^{2}$ dengan $- 4 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 11 λ^{2} - 28 λ - 48 - λ^{3} - 12 λ$

Langkah 1.5.5.5

Kurangi $12 λ$ dengan $- 28 λ$ .

$p (λ) = - 11 λ^{2} - 40 λ - 48 - λ^{3}$

Langkah 1.5.5.6

Pindahkan $- 48$ .

$p (λ) = - 11 λ^{2} - 40 λ - λ^{3} - 48$

Langkah 1.5.5.7

Pindahkan $- 40 λ$ .

$p (λ) = - 11 λ^{2} - λ^{3} - 40 λ - 48$

Langkah 1.5.5.8

Susun kembali $- 11 λ^{2}$ dan $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 11 λ^{2} - 40 λ - 48$

Langkah 1.6

Atur polinomial karakteristiknya agar sama dengan $0$ untuk menemukan nilai eigen $λ$ .

$- λ^{3} - 11 λ^{2} - 40 λ - 48 = 0$

Langkah 1.7

Selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.1

Faktorkan $- 1$ dari $- λ^{3} - 11 λ^{2} - 40 λ - 48$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.1.1

Faktorkan $- 1$ dari $- λ^{3}$ .

$- (λ^{3}) - 11 λ^{2} - 40 λ - 48 = 0$

Langkah 1.7.1.1.2

Faktorkan $- 1$ dari $- 11 λ^{2}$ .

$- (λ^{3}) - (11 λ^{2}) - 40 λ - 48 = 0$

Langkah 1.7.1.1.3

Faktorkan $- 1$ dari $- 40 λ$ .

$- (λ^{3}) - (11 λ^{2}) - (40 λ) - 48 = 0$

Langkah 1.7.1.1.4

Tulis kembali $- 48$ sebagai $- 1 (48)$ .

$- (λ^{3}) - (11 λ^{2}) - (40 λ) - 1 \cdot 48 = 0$

Langkah 1.7.1.1.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (λ^{3}) - (11 λ^{2})$ .

$- (λ^{3} + 11 λ^{2}) - (40 λ) - 1 \cdot 48 = 0$

Langkah 1.7.1.1.6

Faktorkan $- 1$ dari $- (λ^{3} + 11 λ^{2}) - (40 λ)$ .

$- (λ^{3} + 11 λ^{2} + 40 λ) - 1 \cdot 48 = 0$

Langkah 1.7.1.1.7

Faktorkan $- 1$ dari $- (λ^{3} + 11 λ^{2} + 40 λ) - 1 (48)$ .

$- (λ^{3} + 11 λ^{2} + 40 λ + 48) = 0$

Langkah 1.7.1.2

Faktorkan $λ^{3} + 11 λ^{2} + 40 λ + 48$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.2.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 48, \pm 2, \pm 24, \pm 3, \pm 16, \pm 4, \pm 12, \pm 6, \pm 8$

$q = \pm 1$

Langkah 1.7.1.2.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 48, \pm 2, \pm 24, \pm 3, \pm 16, \pm 4, \pm 12, \pm 6, \pm 8$

Langkah 1.7.1.2.3

Substitusikan $- 3$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $- 3$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.2.3.1

Substitusikan $- 3$ ke dalam polinomialnya.

${(- 3)}^{3} + 11 {(- 3)}^{2} + 40 \cdot - 3 + 48$

Langkah 1.7.1.2.3.2

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $3$ .

$- 27 + 11 {(- 3)}^{2} + 40 \cdot - 3 + 48$

Langkah 1.7.1.2.3.3

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$- 27 + 11 \cdot 9 + 40 \cdot - 3 + 48$

Langkah 1.7.1.2.3.4

Kalikan $11$ dengan $9$ .

$- 27 + 99 + 40 \cdot - 3 + 48$

Langkah 1.7.1.2.3.5

Tambahkan $- 27$ dan $99$ .

$72 + 40 \cdot - 3 + 48$

Langkah 1.7.1.2.3.6

Kalikan $40$ dengan $- 3$ .

$72 - 120 + 48$

Langkah 1.7.1.2.3.7

Kurangi $120$ dengan $72$ .

$- 48 + 48$

Langkah 1.7.1.2.3.8

Tambahkan $- 48$ dan $48$ .

$0$

Langkah 1.7.1.2.4

Karena $- 3$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $λ + 3$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{λ^{3} + 11 λ^{2} + 40 λ + 48}{λ + 3}$

Langkah 1.7.1.2.5

Bagilah $λ^{3} + 11 λ^{2} + 40 λ + 48$ dengan $λ + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.2.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$λ$

$3$

$λ^{3}$

$11 λ^{2}$

$40 λ$

$48$

Langkah 1.7.1.2.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $λ^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $λ$ .

					$λ^{2}$
	$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	+	$40 λ$	+	$48$

Langkah 1.7.1.2.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$λ^{2}$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	+	$40 λ$	+	$48$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$

Langkah 1.7.1.2.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $λ^{3} + 3 λ^{2}$

				$λ^{2}$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	+	$40 λ$	+	$48$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$

Langkah 1.7.1.2.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$λ^{2}$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	+	$40 λ$	+	$48$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$

Langkah 1.7.1.2.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$λ^{2}$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	+	$40 λ$	+	$48$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	+	$40 λ$

Langkah 1.7.1.2.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $8 λ^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $λ$ .

				$λ^{2}$	+	$8 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	+	$40 λ$	+	$48$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	+	$40 λ$

Langkah 1.7.1.2.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$λ^{2}$	+	$8 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	+	$40 λ$	+	$48$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	+	$40 λ$
					+	$8 λ^{2}$	+	$24 λ$

Langkah 1.7.1.2.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $8 λ^{2} + 24 λ$

				$λ^{2}$	+	$8 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	+	$40 λ$	+	$48$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	+	$40 λ$
					-	$8 λ^{2}$	-	$24 λ$

Langkah 1.7.1.2.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$λ^{2}$	+	$8 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	+	$40 λ$	+	$48$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	+	$40 λ$
					-	$8 λ^{2}$	-	$24 λ$
							+	$16 λ$

Langkah 1.7.1.2.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$λ^{2}$	+	$8 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	+	$40 λ$	+	$48$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	+	$40 λ$
					-	$8 λ^{2}$	-	$24 λ$
							+	$16 λ$	+	$48$

Langkah 1.7.1.2.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $16 λ$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $λ$ .

				$λ^{2}$	+	$8 λ$	+	$16$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	+	$40 λ$	+	$48$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	+	$40 λ$
					-	$8 λ^{2}$	-	$24 λ$
							+	$16 λ$	+	$48$

Langkah 1.7.1.2.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$λ^{2}$	+	$8 λ$	+	$16$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	+	$40 λ$	+	$48$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	+	$40 λ$
					-	$8 λ^{2}$	-	$24 λ$
							+	$16 λ$	+	$48$
							+	$16 λ$	+	$48$

Langkah 1.7.1.2.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $16 λ + 48$

				$λ^{2}$	+	$8 λ$	+	$16$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	+	$40 λ$	+	$48$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	+	$40 λ$
					-	$8 λ^{2}$	-	$24 λ$
							+	$16 λ$	+	$48$
							-	$16 λ$	-	$48$

Langkah 1.7.1.2.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$λ^{2}$	+	$8 λ$	+	$16$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	+	$40 λ$	+	$48$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	+	$40 λ$
					-	$8 λ^{2}$	-	$24 λ$
							+	$16 λ$	+	$48$
							-	$16 λ$	-	$48$
										$0$

Langkah 1.7.1.2.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$λ^{2} + 8 λ + 16$

Langkah 1.7.1.2.6

Tulis $λ^{3} + 11 λ^{2} + 40 λ + 48$ sebagai himpunan faktor.

$- ((λ + 3) (λ^{2} + 8 λ + 16)) = 0$

Langkah 1.7.1.3

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.3.1

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.3.1.1

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$- ((λ + 3) (λ^{2} + 8 λ + 4^{2})) = 0$

Langkah 1.7.1.3.1.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$8 λ = 2 \cdot λ \cdot 4$

Langkah 1.7.1.3.1.3

Tulis kembali polinomialnya.

$- ((λ + 3) (λ^{2} + 2 \cdot λ \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Langkah 1.7.1.3.1.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , di mana $a = λ$ dan $b = 4$ .

$- ((λ + 3) {(λ + 4)}^{2}) = 0$

Langkah 1.7.1.3.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$- (λ + 3) {(λ + 4)}^{2} = 0$

Langkah 1.7.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$λ + 3 = 0$

${(λ + 4)}^{2} = 0$

Langkah 1.7.3

Atur $λ + 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1

Atur $λ + 3$ sama dengan $0$ .

$λ + 3 = 0$

Langkah 1.7.3.2

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$λ = - 3$

Langkah 1.7.4

Atur ${(λ + 4)}^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.1

Atur ${(λ + 4)}^{2}$ sama dengan $0$ .

${(λ + 4)}^{2} = 0$

Langkah 1.7.4.2

Selesaikan ${(λ + 4)}^{2} = 0$ untuk $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.2.1

Atur $λ + 4$ agar sama dengan $0$ .

$λ + 4 = 0$

Langkah 1.7.4.2.2

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$λ = - 4$

Langkah 1.7.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- (λ + 3) {(λ + 4)}^{2} = 0$ benar.

$λ = - 3, - 4$

Langkah 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Langkah 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumusnya.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + 3 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Kalikan $3$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 3 \cdot 1 & 3 \cdot 0 & 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 0 & 3 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.2.1

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 3 & 3 \cdot 0 & 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 0 & 3 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.2

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 3 & 0 & 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 0 & 3 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.3

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 0 & 3 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.4

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 0 & 3 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.5

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 0 & 3 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.6

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 0 & 3 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.7

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 3 \cdot 0 & 3 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.8

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.9

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}]$

Langkah 3.2.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$[\begin{array}{c} 1 + 3 & 1 + 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & - 4 + 3 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 8 + 3 \end{array}]$

Langkah 3.2.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 1 + 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & - 4 + 3 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 8 + 3 \end{array}]$

Langkah 3.2.3.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 1 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & - 4 + 3 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 8 + 3 \end{array}]$

Langkah 3.2.3.3

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 1 & 4 \\ 0 + 0 & - 4 + 3 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 8 + 3 \end{array}]$

Langkah 3.2.3.4

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 + 3 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 8 + 3 \end{array}]$

Langkah 3.2.3.5

Tambahkan $- 4$ dan $3$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 1 & 4 \\ 0 & - 1 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 8 + 3 \end{array}]$

Langkah 3.2.3.6

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 1 & 4 \\ 0 & - 1 & 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 8 + 3 \end{array}]$

Langkah 3.2.3.7

Tambahkan $- 5$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 1 & 4 \\ 0 & - 1 & 0 \\ - 5 & - 1 + 0 & - 8 + 3 \end{array}]$

Langkah 3.2.3.8

Tambahkan $- 1$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 1 & 4 \\ 0 & - 1 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 + 3 \end{array}]$

Langkah 3.2.3.9

Tambahkan $- 8$ dan $3$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 1 & 4 \\ 0 & - 1 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 5 \end{array}]$

Langkah 3.3

Find the null space when $λ = - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 5 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4}{4} & \frac{1}{4} & \frac{4}{4} & \frac{0}{4} \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 5 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.1.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 5 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 5 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 5 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ - 5 + 5 \cdot 1 & - 1 + 5 (\frac{1}{4}) & - 5 + 5 \cdot 1 & 0 + 5 \cdot 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.2.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} & 1 & 0 \\ - 0 & - - 1 & - 0 & - 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.3.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{1}{4} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{1}{4} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 - \frac{1}{4} \cdot 0 & \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{4} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{4} \cdot 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.4.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.5

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{4} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{4} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{4} \cdot 0 & \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1 & 1 - \frac{1}{4} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{4} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.5.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + z = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

Langkah 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - z \\ 0 \\ z \end{array}]$

Langkah 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Langkah 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Langkah 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Langkah 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumusnya.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + 4 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Kalikan $4$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \cdot 1 & 4 \cdot 0 & 4 \cdot 0 \\ 4 \cdot 0 & 4 \cdot 1 & 4 \cdot 0 \\ 4 \cdot 0 & 4 \cdot 0 & 4 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.2.1

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 & 4 \cdot 0 & 4 \cdot 0 \\ 4 \cdot 0 & 4 \cdot 1 & 4 \cdot 0 \\ 4 \cdot 0 & 4 \cdot 0 & 4 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.2

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 & 0 & 4 \cdot 0 \\ 4 \cdot 0 & 4 \cdot 1 & 4 \cdot 0 \\ 4 \cdot 0 & 4 \cdot 0 & 4 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.3

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 & 0 & 0 \\ 4 \cdot 0 & 4 \cdot 1 & 4 \cdot 0 \\ 4 \cdot 0 & 4 \cdot 0 & 4 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.4

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 \cdot 1 & 4 \cdot 0 \\ 4 \cdot 0 & 4 \cdot 0 & 4 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.5

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 4 \cdot 0 \\ 4 \cdot 0 & 4 \cdot 0 & 4 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.6

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 4 \cdot 0 & 4 \cdot 0 & 4 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.7

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 4 \cdot 0 & 4 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.8

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.9

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{array}]$

Langkah 4.2.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$[\begin{array}{c} 1 + 4 & 1 + 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & - 4 + 4 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 8 + 4 \end{array}]$

Langkah 4.2.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 1 + 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & - 4 + 4 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 8 + 4 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 1 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & - 4 + 4 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 8 + 4 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.3

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 1 & 4 \\ 0 + 0 & - 4 + 4 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 8 + 4 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.4

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 + 4 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 8 + 4 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.5

Tambahkan $- 4$ dan $4$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 8 + 4 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.6

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 8 + 4 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.7

Tambahkan $- 5$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ - 5 & - 1 + 0 & - 8 + 4 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.8

Tambahkan $- 1$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 + 4 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.9

Tambahkan $- 8$ dan $4$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 4 \end{array}]$

Langkah 4.3

Find the null space when $λ = - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 4 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{5} & \frac{1}{5} & \frac{4}{5} & \frac{0}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 4 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.1.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{5} & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 4 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 5 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 5 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{5} & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 5 + 5 \cdot 1 & - 1 + 5 (\frac{1}{5}) & - 4 + 5 (\frac{4}{5}) & 0 + 5 \cdot 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.2.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{5} & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{1}{5} y + \frac{4}{5} z = 0$

$0 = 0$

Langkah 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{y}{5} - \frac{4 z}{5} \\ y \\ z \end{array}]$

Langkah 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ 1 \\ 0 \end{array}] + z [\begin{array}{c} - \frac{4}{5} \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Langkah 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ 1 \\ 0 \end{array}] + z [\begin{array}{c} - \frac{4}{5} \\ 0 \\ 1 \end{array}] | y, z \in R}$

Langkah 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{4}{5} \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Langkah 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{4}{5} \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$