Aljabar Linear Contoh

[\begin{matrix} 1 & 1 1 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}]$

Langkah 1

Temukan nilai eigennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan rumus untuk menentukan persamaan karakteristik

$p (λ)$ .

$p (λ) = determinan (A - λ I_{2})$

Langkah 1.2

Matriks satuan atau matriks satuan dengan ordo

$2$ adalah matriks persegi

$2 \times 2$ dengan bilangan satu di diagonal utama dan nol di elemen lainnya.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 1.3

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam

$p (λ) = determinan (A - λ I_{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}]$ untuk

$A$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] - λ I_{2})$

Langkah 1.3.2

Substitusikan

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ untuk

$I_{2}$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Kalikan

$- λ$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Kalikan

$- 1$ dengan

$1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.2

Kalikan

$- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.2.1

Kalikan

$0$ dengan

$- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.2.2

Kalikan

$0$ dengan

$λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.3

Kalikan

$- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.3.1

Kalikan

$0$ dengan

$- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.3.2

Kalikan

$0$ dengan

$λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.4

Kalikan

$- 1$ dengan

$1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Langkah 1.4.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Tambahkan

$1$ dan

$0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3.2

Tambahkan

$1$ dan

$0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array}]$

Langkah 1.5

Find the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Determinan dari matriks

$2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (1 - λ) - 1 \cdot 1$

Langkah 1.5.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.1

Perluas

$(1 - λ) (1 - λ)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 1 (1 - λ) - λ (1 - λ) - 1 \cdot 1$

Langkah 1.5.2.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ (1 - λ) - 1 \cdot 1$

Langkah 1.5.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1$

Langkah 1.5.2.1.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.2.1.1

Kalikan

$1$ dengan

$1$ .

$p (λ) = 1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1$

Langkah 1.5.2.1.2.1.2

Kalikan

$- λ$ dengan

$1$ .

$p (λ) = 1 - λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1$

Langkah 1.5.2.1.2.1.3

Kalikan

$- 1$ dengan

$1$ .

$p (λ) = 1 - λ - λ - λ (- λ) - 1 \cdot 1$

Langkah 1.5.2.1.2.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = 1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 1$

Langkah 1.5.2.1.2.1.5

Kalikan

$λ$ dengan

$λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.2.1.5.1

Pindahkan

$λ$ .

$p (λ) = 1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 1$

Langkah 1.5.2.1.2.1.5.2

Kalikan

$λ$ dengan

$λ$ .

$p (λ) = 1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 1$

Langkah 1.5.2.1.2.1.6

Kalikan

$- 1$ dengan

$- 1$ .

$p (λ) = 1 - λ - λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 1$

Langkah 1.5.2.1.2.1.7

Kalikan

$λ^{2}$ dengan

$1$ .

$p (λ) = 1 - λ - λ + λ^{2} - 1 \cdot 1$

Langkah 1.5.2.1.2.2

Kurangi

$λ$ dengan

$- λ$ .

$p (λ) = 1 - 2 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1$

Langkah 1.5.2.1.3

Kalikan

$- 1$ dengan

$1$ .

$p (λ) = 1 - 2 λ + λ^{2} - 1$

Langkah 1.5.2.2

Gabungkan suku balikan dalam

$1 - 2 λ + λ^{2} - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.1

Kurangi

$1$ dengan

$1$ .

$p (λ) = - 2 λ + λ^{2} + 0$

Langkah 1.5.2.2.2

Tambahkan

$- 2 λ + λ^{2}$ dan

$0$ .

$p (λ) = - 2 λ + λ^{2}$

Langkah 1.5.2.3

Susun kembali

$- 2 λ$ dan

$λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ$

Langkah 1.6

Atur polinomial karakteristiknya agar sama dengan

$0$ untuk menemukan nilai eigen

$λ$ .

$λ^{2} - 2 λ = 0$

Langkah 1.7

Selesaikan

$λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Faktorkan

$λ$ dari

$λ^{2} - 2 λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.1

Faktorkan

$λ$ dari

$λ^{2}$ .

$λ \cdot λ - 2 λ = 0$

Langkah 1.7.1.2

Faktorkan

$λ$ dari

$- 2 λ$ .

$λ \cdot λ + λ \cdot - 2 = 0$

Langkah 1.7.1.3

Faktorkan

$λ$ dari

$λ \cdot λ + λ \cdot - 2$ .

$λ (λ - 2) = 0$

Langkah 1.7.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan

$0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan

$0$ .

$λ = 0$

$λ - 2 = 0$

Langkah 1.7.3

Atur

$λ$ sama dengan

$0$ .

$λ = 0$

Langkah 1.7.4

Atur

$λ - 2$ agar sama dengan

$0$ dan selesaikan

$λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.1

Atur

$λ - 2$ sama dengan

$0$ .

$λ - 2 = 0$

Langkah 1.7.4.2

Tambahkan

$2$ ke kedua sisi persamaan.

$λ = 2$

Langkah 1.7.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat

$λ (λ - 2) = 0$ benar.

$λ = 0, 2$

Langkah 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where

$N$ is the null space and

$I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Langkah 3

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumusnya.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + 0 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Kalikan

$0$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.2.1

Kalikan

$0$ dengan

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.2

Kalikan

$0$ dengan

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.3

Kalikan

$0$ dengan

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.4

Kalikan

$0$ dengan

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.2.2

Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Tambahkan elemen yang seletak.

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.2

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1

Tambahkan

$1$ dan

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.2.2

Tambahkan

$1$ dan

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.2.3

Tambahkan

$1$ dan

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 + 0 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.2.4

Tambahkan

$1$ dan

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}]$

Langkah 3.3

Find the null space when

$λ = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 - 1 & 1 - 1 & 0 - 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.1.2

Sederhanakan

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + y = 0$

$0 = 0$

Langkah 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - y \\ y \end{array}]$

Langkah 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}]$

Langkah 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Langkah 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}]}$

Langkah 4

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumusnya.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] - 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Kalikan

$- 2$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.2.1

Kalikan

$- 2$ dengan

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.2

Kalikan

$- 2$ dengan

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.3

Kalikan

$- 2$ dengan

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.4

Kalikan

$- 2$ dengan

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \end{array}]$

Langkah 4.2.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$[\begin{array}{c} 1 - 2 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Langkah 4.2.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Kurangi

$2$ dengan

$1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.2

Tambahkan

$1$ dan

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 1 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.3

Tambahkan

$1$ dan

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 1 & 1 - 2 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.4

Kurangi

$2$ dengan

$1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array}]$

Langkah 4.3

Find the null space when

$λ = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- 1$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- 1$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 1 \cdot 1 & - 0 \\ 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.1.2

Sederhanakan

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 1 - 1 & - 1 + 1 & 0 - 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.2.2

Sederhanakan

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - y = 0$

$0 = 0$

Langkah 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ y \end{array}]$

Langkah 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

Langkah 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Langkah 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

Langkah 5

The eigenspace of

$A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$