Aljabar Linear Contoh

$[\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}]$

Langkah 1

Gunakan rumus untuk menentukan persamaan karakteristik $p (λ)$ .

$p (λ) = determinan (A - λ I_{3})$

Langkah 2

Matriks satuan atau matriks satuan dengan ordo $3$ adalah matriks persegi $3 \times 3$ dengan bilangan satu di diagonal utama dan nol di elemen lainnya.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 3

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam $p (λ) = determinan (A - λ I_{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $[\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}]$ untuk $A$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] - λ I_{3})$

Langkah 3.2

Substitusikan $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ untuk $I_{3}$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Kalikan $- λ$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.2

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.2.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.3

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.3.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.4

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.4.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.4.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.6

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.6.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.6.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.7

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.7.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.7.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.8

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.8.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.8.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.9

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Langkah 4.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} x - λ & y + 0 & z + 0 \\ 2 x + 0 & y - λ & z + 0 \\ x + 0 & y + 0 & z - λ \end{array}]$

Langkah 4.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Tambahkan $y$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} x - λ & y & z + 0 \\ 2 x + 0 & y - λ & z + 0 \\ x + 0 & y + 0 & z - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.2

Tambahkan $z$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} x - λ & y & z \\ 2 x + 0 & y - λ & z + 0 \\ x + 0 & y + 0 & z - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.3

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} x - λ & y & z \\ 2 x & y - λ & z + 0 \\ x + 0 & y + 0 & z - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.4

Tambahkan $z$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} x - λ & y & z \\ 2 x & y - λ & z \\ x + 0 & y + 0 & z - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.5

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} x - λ & y & z \\ 2 x & y - λ & z \\ x & y + 0 & z - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.6

Tambahkan $y$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} x - λ & y & z \\ 2 x & y - λ & z \\ x & y & z - λ \end{array}]$

Langkah 5

Find the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Langkah 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Langkah 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} y - λ & z \\ y & z - λ \end{array} |$

Langkah 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(x - λ) | \begin{array}{c} y - λ & z \\ y & z - λ \end{array} |$

Langkah 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} |$

Langkah 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} |$

Langkah 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

Langkah 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

Langkah 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (x - λ) | \begin{array}{c} y - λ & z \\ y & z - λ \end{array} | - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

Langkah 5.2

Evaluasi $| \begin{array}{c} y - λ & z \\ y & z - λ \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (x - λ) ((y - λ) (z - λ) - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Perluas $(y - λ) (z - λ)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = (x - λ) (y (z - λ) - λ (z - λ) - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = (x - λ) (y z + y (- λ) - λ (z - λ) - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = (x - λ) (y z + y (- λ) - λ z - λ (- λ) - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = (x - λ) (y z - y λ - λ z - λ (- λ) - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = (x - λ) (y z - y λ - λ z - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.2.3

Kalikan $λ$ dengan $λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.2.3.1

Pindahkan $λ$ .

$p (λ) = (x - λ) (y z - y λ - λ z - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.2.3.2

Kalikan $λ$ dengan $λ$ .

$p (λ) = (x - λ) (y z - y λ - λ z - 1 \cdot - 1 λ^{2} - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = (x - λ) (y z - y λ - λ z + 1 λ^{2} - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.2.5

Kalikan $λ^{2}$ dengan $1$ .

$p (λ) = (x - λ) (y z - y λ - λ z + λ^{2} - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

Langkah 5.2.2.2

Gabungkan suku balikan dalam $y z - y λ - λ z + λ^{2} - y z$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.2.1

Kurangi $y z$ dengan $y z$ .

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - λ z + λ^{2} + 0) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

Langkah 5.2.2.2.2

Tambahkan $- y λ - λ z + λ^{2}$ dan $0$ .

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - λ z + λ^{2}) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

Langkah 5.2.2.3

Pindahkan $λ$ .

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

Langkah 5.3

Evaluasi $| \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (2 x (z - λ) - x z) + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (2 x z + 2 x (- λ) - x z) + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

Langkah 5.3.2.1.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (2 x z + 2 \cdot - 1 x λ - x z) + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

Langkah 5.3.2.1.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (2 x z - 2 x λ - x z) + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

Langkah 5.3.2.2

Kurangi $x z$ dengan $2 x z$ .

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (1 x z - 2 x λ) + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

Langkah 5.3.2.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (x z - 2 x λ) + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

Langkah 5.4

Evaluasi $| \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (x z - 2 x λ) + z (2 x y - x (y - λ))$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (x z - 2 x λ) + z (2 x y - x y - x (- λ))$

Langkah 5.4.2.1.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (x z - 2 x λ) + z (2 x y - x y - 1 \cdot - 1 x λ)$

Langkah 5.4.2.1.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (x z - 2 x λ) + z (2 x y - x y + 1 x λ)$

Langkah 5.4.2.1.3.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (x z - 2 x λ) + z (2 x y - x y + x λ)$

Langkah 5.4.2.2

Kurangi $x y$ dengan $2 x y$ .

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (x z - 2 x λ) + z (1 x y + x λ)$

Langkah 5.4.2.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

Langkah 5.5

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.1

Tulis kembali $- 1 z$ sebagai $- z$ .

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - z λ + λ^{2}) - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

Langkah 5.5.1.2

Perluas $(x - λ) (- y λ - z λ + λ^{2})$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$p (λ) = x (- y λ) + x (- z λ) + x λ^{2} - λ (- y λ) - λ (- z λ) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

Langkah 5.5.1.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = - x y λ + x (- z λ) + x λ^{2} - λ (- y λ) - λ (- z λ) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

Langkah 5.5.1.3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} - λ (- y λ) - λ (- z λ) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

Langkah 5.5.1.3.3

Kalikan $λ$ dengan $λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.3.3.1

Pindahkan $λ$ .

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} - (λ \cdot λ) (- y) - λ (- z λ) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

Langkah 5.5.1.3.3.2

Kalikan $λ$ dengan $λ$ .

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} - λ^{2} (- y) - λ (- z λ) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

Langkah 5.5.1.3.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} - 1 \cdot - 1 λ^{2} y - λ (- z λ) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

Langkah 5.5.1.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + 1 λ^{2} y - λ (- z λ) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

Langkah 5.5.1.3.6

Kalikan $λ^{2}$ dengan $1$ .

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y - λ (- z λ) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

Langkah 5.5.1.3.7

Kalikan $λ$ dengan $λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.3.7.1

Pindahkan $λ$ .

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y - (λ \cdot λ) (- z) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

Langkah 5.5.1.3.7.2

Kalikan $λ$ dengan $λ$ .

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y - λ^{2} (- z) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

Langkah 5.5.1.3.8

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y - 1 \cdot - 1 λ^{2} z - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

Langkah 5.5.1.3.9

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + 1 λ^{2} z - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

Langkah 5.5.1.3.10

Kalikan $λ^{2}$ dengan $1$ .

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

Langkah 5.5.1.3.11

Kalikan $λ$ dengan $λ^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.3.11.1

Pindahkan $λ^{2}$ .

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - (λ^{2} λ) - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

Langkah 5.5.1.3.11.2

Kalikan $λ^{2}$ dengan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.3.11.2.1

Naikkan $λ$ menjadi pangkat $1$ .

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - (λ^{2} λ^{1}) - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

Langkah 5.5.1.3.11.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{2 + 1} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

Langkah 5.5.1.3.11.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

Langkah 5.5.1.4

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} - y (x z) - y (- 2 x λ) + z (x y + x λ)$

Langkah 5.5.1.5

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} - y x z + 2 y (x λ) + z (x y + x λ)$

Langkah 5.5.1.6

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} - y x z + 2 y x λ + z x y + z x λ$

Langkah 5.5.2

Gabungkan suku balikan dalam $- x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} - y x z + 2 y x λ + z x y + z x λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $- y x z$ dan $z x y$ .

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} - x y z + 2 y x λ + x y z + z x λ$

Langkah 5.5.2.2

Tambahkan $- x y z$ dan $x y z$ .

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} + 2 y x λ + 0 + z x λ$

Langkah 5.5.2.3

Tambahkan $- x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} + 2 y x λ$ dan $0$ .

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} + 2 y x λ + z x λ$

Langkah 5.5.2.4

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $- x z λ$ dan $z x λ$ .

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} + 2 y x λ + x z λ$

Langkah 5.5.2.5

Tambahkan $- x z λ$ dan $x z λ$ .

$p (λ) = - x y λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} + 2 y x λ + 0$

Langkah 5.5.2.6

Tambahkan $- x y λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} + 2 y x λ$ dan $0$ .

$p (λ) = - x y λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} + 2 y x λ$

Langkah 5.5.3

Tambahkan $- x y λ$ dan $2 y x λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1

Pindahkan $y$ .

$p (λ) = x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} - x y λ + 2 x y λ$

Langkah 5.5.3.2

Tambahkan $- x y λ$ dan $2 x y λ$ .

$p (λ) = x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} + 1 x y λ$

Langkah 5.5.4

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$p (λ) = x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} + x y λ$

Langkah 5.5.5

Susun kembali $λ^{2}$ dan $y$ .

$p (λ) = x λ^{2} + y λ^{2} + λ^{2} z - λ^{3} + x y λ$

Langkah 5.5.6

Susun kembali $λ^{2}$ dan $z$ .

$p (λ) = x λ^{2} + y λ^{2} + z λ^{2} - λ^{3} + x y λ$

Langkah 5.5.7

Pindahkan $- λ^{3}$ .

$p (λ) = x λ^{2} + y λ^{2} + z λ^{2} + x y λ - λ^{3}$

Langkah 5.5.8

Pindahkan $z λ^{2}$ .

$p (λ) = x λ^{2} + y λ^{2} + x y λ + z λ^{2} - λ^{3}$

Langkah 5.5.9

Pindahkan $y λ^{2}$ .

$p (λ) = x λ^{2} + x y λ + y λ^{2} + z λ^{2} - λ^{3}$

Langkah 5.5.10

Susun kembali $x λ^{2}$ dan $x y λ$ .

$p (λ) = x y λ + x λ^{2} + y λ^{2} + z λ^{2} - λ^{3}$

Langkah 6

Atur polinomial karakteristiknya agar sama dengan $0$ untuk menemukan nilai eigen $λ$ .

$x y λ + x λ^{2} + y λ^{2} + z λ^{2} - λ^{3} = 0$

Langkah 7

Selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Faktorkan $λ$ dari $x y λ + x λ^{2} + y λ^{2} + z λ^{2} - λ^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Faktorkan $λ$ dari $x y λ$ .

$λ (x y) + x λ^{2} + y λ^{2} + z λ^{2} - λ^{3} = 0$

Langkah 7.1.2

Faktorkan $λ$ dari $x λ^{2}$ .

$λ (x y) + λ (x λ) + y λ^{2} + z λ^{2} - λ^{3} = 0$

Langkah 7.1.3

Faktorkan $λ$ dari $y λ^{2}$ .

$λ (x y) + λ (x λ) + λ (y λ) + z λ^{2} - λ^{3} = 0$

Langkah 7.1.4

Faktorkan $λ$ dari $z λ^{2}$ .

$λ (x y) + λ (x λ) + λ (y λ) + λ (z λ) - λ^{3} = 0$

Langkah 7.1.5

Faktorkan $λ$ dari $- λ^{3}$ .

$λ (x y) + λ (x λ) + λ (y λ) + λ (z λ) + λ (- λ^{2}) = 0$

Langkah 7.1.6

Faktorkan $λ$ dari $λ (x y) + λ (x λ)$ .

$λ (x y + x λ) + λ (y λ) + λ (z λ) + λ (- λ^{2}) = 0$

Langkah 7.1.7

Faktorkan $λ$ dari $λ (x y + x λ) + λ (y λ)$ .

$λ (x y + x λ + y λ) + λ (z λ) + λ (- λ^{2}) = 0$

Langkah 7.1.8

Faktorkan $λ$ dari $λ (x y + x λ + y λ) + λ (z λ)$ .

$λ (x y + x λ + y λ + z λ) + λ (- λ^{2}) = 0$

Langkah 7.1.9

Faktorkan $λ$ dari $λ (x y + x λ + y λ + z λ) + λ (- λ^{2})$ .

$λ (x y + x λ + y λ + z λ - λ^{2}) = 0$

Langkah 7.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$λ = 0$

$x y + x λ + y λ + z λ - λ^{2} = 0$

Langkah 7.3

Atur $λ$ sama dengan $0$ .

$λ = 0$

Langkah 7.4

Atur $x y + x λ + y λ + z λ - λ^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Atur $x y + x λ + y λ + z λ - λ^{2}$ sama dengan $0$ .

$x y + x λ + y λ + z λ - λ^{2} = 0$

Langkah 7.4.2

Selesaikan $x y + x λ + y λ + z λ - λ^{2} = 0$ untuk $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 7.4.2.2

Substitusikan nilai-nilai $a = - 1$ , $b = x + y + z$ , dan $c = x y$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $λ$ .

$\frac{- (x + y + z) \pm \sqrt{{(x + y + z)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (x y))}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 7.4.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.3.1.1

Terapkan sifat distributif.

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{{(x + y + z)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 7.4.2.3.1.2

Tulis kembali ${(x + y + z)}^{2}$ sebagai $(x + y + z) (x + y + z)$ .

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{(x + y + z) (x + y + z) - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 7.4.2.3.1.3

Perluas $(x + y + z) (x + y + z)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x \cdot x + x y + x z + y x + y \cdot y + y z + z x + z y + z \cdot z - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 7.4.2.3.1.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.3.1.4.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + x y + x z + y x + y \cdot y + y z + z x + z y + z \cdot z - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 7.4.2.3.1.4.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + x y + x z + y x + y^{2} + y z + z x + z y + z \cdot z - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 7.4.2.3.1.4.3

Kalikan $z$ dengan $z$ .

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + x y + x z + y x + y^{2} + y z + z x + z y + z^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 7.4.2.3.1.5

Tambahkan $x y$ dan $y x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.3.1.5.1

Susun kembali $y$ dan $x$ .

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + x y + x y + x z + y^{2} + y z + z x + z y + z^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 7.4.2.3.1.5.2

Tambahkan $x y$ dan $x y$ .

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + 2 x y + x z + y^{2} + y z + z x + z y + z^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 7.4.2.3.1.6

Tambahkan $x z$ dan $z x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.3.1.6.1

Susun kembali $z$ dan $x$ .

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + 2 x y + y^{2} + y z + x z + x z + z y + z^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 7.4.2.3.1.6.2

Tambahkan $x z$ dan $x z$ .

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + 2 x y + y^{2} + y z + 2 x z + z y + z^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 7.4.2.3.1.7

Tambahkan $y z$ dan $z y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.3.1.7.1

Susun kembali $z$ dan $y$ .

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + 2 x y + y^{2} + y z + y z + 2 x z + z^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 7.4.2.3.1.7.2

Tambahkan $y z$ dan $y z$ .

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + 2 x y + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 7.4.2.3.1.8

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + 2 x y + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 4 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 7.4.2.3.1.9

Tambahkan $2 x y$ dan $4 x y$ .

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 7.4.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{- 2}$

Langkah 7.4.2.3.3

Sederhanakan $\frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{- 2}$ .

$λ = \frac{x + y + z \pm \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2}$

Langkah 7.4.2.4

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$λ = \frac{x + y + z + \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2}$

$λ = \frac{x + y + z - \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2}$

$λ = \frac{x + y + z + \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2}$

$λ = \frac{x + y + z - \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2}$

$λ = \frac{x + y + z + \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2}$

$λ = \frac{x + y + z - \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2}$

Langkah 7.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $λ (x y + x λ + y λ + z λ - λ^{2}) = 0$ benar.

$λ = 0$

$λ = \frac{x + y + z + \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2}$

$λ = \frac{x + y + z - \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2}$

$λ = 0$

$λ = \frac{x + y + z + \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2}$

$λ = \frac{x + y + z - \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2}$