Aljabar Linear Contoh

$[\begin{array}{c} 9 & - 4 \\ 12 & - 5 \end{array}]$

Langkah 1

Gunakan rumus untuk menentukan persamaan karakteristik $p (λ)$ .

$p (λ) = determinan (A - λ I_{2})$

Langkah 2

Matriks satuan atau matriks satuan dengan ordo $2$ adalah matriks persegi $2 \times 2$ dengan bilangan satu di diagonal utama dan nol di elemen lainnya.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 3

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam $p (λ) = determinan (A - λ I_{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $[\begin{array}{c} 9 & - 4 \\ 12 & - 5 \end{array}]$ untuk $A$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 9 & - 4 \\ 12 & - 5 \end{array}] - λ I_{2})$

Langkah 3.2

Substitusikan $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ untuk $I_{2}$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 9 & - 4 \\ 12 & - 5 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Kalikan $- λ$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 9 & - 4 \\ 12 & - 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 9 & - 4 \\ 12 & - 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.2

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 9 & - 4 \\ 12 & - 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.2.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 9 & - 4 \\ 12 & - 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.3

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 9 & - 4 \\ 12 & - 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.3.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 9 & - 4 \\ 12 & - 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 9 & - 4 \\ 12 & - 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Langkah 4.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 9 - λ & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & - 5 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Tambahkan $- 4$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 9 - λ & - 4 \\ 12 + 0 & - 5 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.2

Tambahkan $12$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 9 - λ & - 4 \\ 12 & - 5 - λ \end{array}]$

Langkah 5

Find the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (9 - λ) (- 5 - λ) - 12 \cdot - 4$

Langkah 5.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Perluas $(9 - λ) (- 5 - λ)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 9 (- 5 - λ) - λ (- 5 - λ) - 12 \cdot - 4$

Langkah 5.2.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 9 \cdot - 5 + 9 (- λ) - λ (- 5 - λ) - 12 \cdot - 4$

Langkah 5.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 9 \cdot - 5 + 9 (- λ) - λ \cdot - 5 - λ (- λ) - 12 \cdot - 4$

Langkah 5.2.1.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.2.1.1

Kalikan $9$ dengan $- 5$ .

$p (λ) = - 45 + 9 (- λ) - λ \cdot - 5 - λ (- λ) - 12 \cdot - 4$

Langkah 5.2.1.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $9$ .

$p (λ) = - 45 - 9 λ - λ \cdot - 5 - λ (- λ) - 12 \cdot - 4$

Langkah 5.2.1.2.1.3

Kalikan $- 5$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = - 45 - 9 λ + 5 λ - λ (- λ) - 12 \cdot - 4$

Langkah 5.2.1.2.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = - 45 - 9 λ + 5 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 12 \cdot - 4$

Langkah 5.2.1.2.1.5

Kalikan $λ$ dengan $λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.2.1.5.1

Pindahkan $λ$ .

$p (λ) = - 45 - 9 λ + 5 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 12 \cdot - 4$

Langkah 5.2.1.2.1.5.2

Kalikan $λ$ dengan $λ$ .

$p (λ) = - 45 - 9 λ + 5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 12 \cdot - 4$

Langkah 5.2.1.2.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = - 45 - 9 λ + 5 λ + 1 λ^{2} - 12 \cdot - 4$

Langkah 5.2.1.2.1.7

Kalikan $λ^{2}$ dengan $1$ .

$p (λ) = - 45 - 9 λ + 5 λ + λ^{2} - 12 \cdot - 4$

Langkah 5.2.1.2.2

Tambahkan $- 9 λ$ dan $5 λ$ .

$p (λ) = - 45 - 4 λ + λ^{2} - 12 \cdot - 4$

Langkah 5.2.1.3

Kalikan $- 12$ dengan $- 4$ .

$p (λ) = - 45 - 4 λ + λ^{2} + 48$

Langkah 5.2.2

Tambahkan $- 45$ dan $48$ .

$p (λ) = - 4 λ + λ^{2} + 3$

Langkah 5.2.3

Susun kembali $- 4 λ$ dan $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 3$

Langkah 6

Atur polinomial karakteristiknya agar sama dengan $0$ untuk menemukan nilai eigen $λ$ .

$λ^{2} - 4 λ + 3 = 0$

Langkah 7

Selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Faktorkan $λ^{2} - 4 λ + 3$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $3$ dan jumlahnya $- 4$ .

$- 3, - 1$

Langkah 7.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(λ - 3) (λ - 1) = 0$

Langkah 7.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$λ - 3 = 0$

$λ - 1 = 0$

Langkah 7.3

Atur $λ - 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Atur $λ - 3$ sama dengan $0$ .

$λ - 3 = 0$

Langkah 7.3.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$λ = 3$

Langkah 7.4

Atur $λ - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Atur $λ - 1$ sama dengan $0$ .

$λ - 1 = 0$

Langkah 7.4.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$λ = 1$

Langkah 7.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(λ - 3) (λ - 1) = 0$ benar.

$λ = 3, 1$