Aljabar Linear Contoh

$[\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Langkah 1

Gunakan rumus untuk menentukan persamaan karakteristik $p (λ)$ .

$p (λ) = determinan (A - λ I_{2})$

Langkah 2

Matriks satuan atau matriks satuan dengan ordo $2$ adalah matriks persegi $2 \times 2$ dengan bilangan satu di diagonal utama dan nol di elemen lainnya.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 3

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam $p (λ) = determinan (A - λ I_{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $[\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}]$ untuk $A$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ I_{2})$

Langkah 3.2

Substitusikan $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ untuk $I_{2}$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Kalikan $- λ$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.2

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.2.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.3

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.3.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Langkah 4.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 8 - λ & - 3 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Tambahkan $- 3$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 8 - λ & - 3 \\ 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.2

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 8 - λ & - 3 \\ 3 & 2 - λ \end{array}]$

Langkah 5

Find the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (8 - λ) (2 - λ) - 3 \cdot - 3$

Langkah 5.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Perluas $(8 - λ) (2 - λ)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 8 (2 - λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot - 3$

Langkah 5.2.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 8 \cdot 2 + 8 (- λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot - 3$

Langkah 5.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 8 \cdot 2 + 8 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot - 3$

Langkah 5.2.1.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.2.1.1

Kalikan $8$ dengan $2$ .

$p (λ) = 16 + 8 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot - 3$

Langkah 5.2.1.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $8$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot - 3$

Langkah 5.2.1.2.1.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ - λ (- λ) - 3 \cdot - 3$

Langkah 5.2.1.2.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot - 3$

Langkah 5.2.1.2.1.5

Kalikan $λ$ dengan $λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.2.1.5.1

Pindahkan $λ$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot - 3$

Langkah 5.2.1.2.1.5.2

Kalikan $λ$ dengan $λ$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot - 3$

Langkah 5.2.1.2.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot - 3$

Langkah 5.2.1.2.1.7

Kalikan $λ^{2}$ dengan $1$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ + λ^{2} - 3 \cdot - 3$

Langkah 5.2.1.2.2

Kurangi $2 λ$ dengan $- 8 λ$ .

$p (λ) = 16 - 10 λ + λ^{2} - 3 \cdot - 3$

Langkah 5.2.1.3

Kalikan $- 3$ dengan $- 3$ .

$p (λ) = 16 - 10 λ + λ^{2} + 9$

Langkah 5.2.2

Tambahkan $16$ dan $9$ .

$p (λ) = - 10 λ + λ^{2} + 25$

Langkah 5.2.3

Susun kembali $- 10 λ$ dan $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 10 λ + 25$

Langkah 6

Atur polinomial karakteristiknya agar sama dengan $0$ untuk menemukan nilai eigen $λ$ .

$λ^{2} - 10 λ + 25 = 0$

Langkah 7

Selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$λ^{2} - 10 λ + 5^{2} = 0$

Langkah 7.1.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$10 λ = 2 \cdot λ \cdot 5$

Langkah 7.1.3

Tulis kembali polinomialnya.

$λ^{2} - 2 \cdot λ \cdot 5 + 5^{2} = 0$

Langkah 7.1.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , di mana $a = λ$ dan $b = 5$ .

${(λ - 5)}^{2} = 0$

Langkah 7.2

Atur $λ - 5$ agar sama dengan $0$ .

$λ - 5 = 0$

Langkah 7.3

Tambahkan $5$ ke kedua sisi persamaan.

$λ = 5$