Aljabar Linear Contoh

[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 1

Gunakan rumus untuk menentukan persamaan karakteristik

p (λ)

$p (λ)$ .

p (λ) = determinan (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinan (A - λ I_{2})$

Langkah 2

Matriks satuan atau matriks satuan dengan ordo

2

$2$ adalah matriks persegi

2 \times 2

$2 \times 2$ dengan bilangan satu di diagonal utama dan nol di elemen lainnya.

[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 3

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam

p (λ) = determinan (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinan (A - λ I_{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan

[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$ untuk

A

$A$ .

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}] - λ I_{2})

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}] - λ I_{2})$

Langkah 3.2

Substitusikan

[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ untuk

I_{2}

$I_{2}$ .

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Kalikan

- λ

$- λ$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

1

$1$ .

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.2

Kalikan

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Kalikan

0

$0$ dengan

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.2.2

Kalikan

0

$0$ dengan

λ

$λ$ .

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.3

Kalikan

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.1

Kalikan

0

$0$ dengan

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.3.2

Kalikan

0

$0$ dengan

λ

$λ$ .

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.4

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

1

$1$ .

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Langkah 4.2

Tambahkan elemen yang seletak.

p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 0 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 0 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kurangi

λ

$λ$ dengan

0

$0$ .

p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.2

Tambahkan

1

$1$ dan

0

$0$ .

p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.3

Tambahkan

0

$0$ dan

0

$0$ .

p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ 0 & 0 - λ \end{array}]

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ 0 & 0 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.4

Kurangi

λ

$λ$ dengan

0

$0$ .

p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ 0 & - λ \end{array}]

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ 0 & - λ \end{array}]$

p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ 0 & - λ \end{array}]

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ 0 & - λ \end{array}]$

p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ 0 & - λ \end{array}]

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ 0 & - λ \end{array}]$

Langkah 5

Find the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Determinan dari matriks

2 \times 2

$2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

p (λ) = - λ (- λ) + 0 \cdot 1

$p (λ) = - λ (- λ) + 0 \cdot 1$

Langkah 5.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ + 0 \cdot 1

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ + 0 \cdot 1$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan

λ

$λ$ dengan

λ

$λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.2.1

Pindahkan

λ

$λ$ .

p (λ) = - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) + 0 \cdot 1

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) + 0 \cdot 1$

Langkah 5.2.1.2.2

Kalikan

λ

$λ$ dengan

λ

$λ$ .

p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ^{2} + 0 \cdot 1

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ^{2} + 0 \cdot 1$

p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ^{2} + 0 \cdot 1

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ^{2} + 0 \cdot 1$

Langkah 5.2.1.3

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

- 1

$- 1$ .

p (λ) = 1 λ^{2} + 0 \cdot 1

$p (λ) = 1 λ^{2} + 0 \cdot 1$

Langkah 5.2.1.4

Kalikan

λ^{2}

$λ^{2}$ dengan

1

$1$ .

p (λ) = λ^{2} + 0 \cdot 1

$p (λ) = λ^{2} + 0 \cdot 1$

Langkah 5.2.1.5

Kalikan

0

$0$ dengan

1

$1$ .

p (λ) = λ^{2} + 0

$p (λ) = λ^{2} + 0$

p (λ) = λ^{2} + 0

$p (λ) = λ^{2} + 0$

Langkah 5.2.2

Tambahkan

λ^{2}

$λ^{2}$ dan

0

$0$ .

p (λ) = λ^{2}

$p (λ) = λ^{2}$

p (λ) = λ^{2}

$p (λ) = λ^{2}$

p (λ) = λ^{2}

$p (λ) = λ^{2}$

Langkah 6

Atur polinomial karakteristiknya agar sama dengan

0

$0$ untuk menemukan nilai eigen

λ

$λ$ .

λ^{2} = 0

$λ^{2} = 0$

Langkah 7

Selesaikan

λ

$λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

λ = \pm \sqrt{0}

$λ = \pm \sqrt{0}$

Langkah 7.2

Sederhanakan

\pm \sqrt{0}

$\pm \sqrt{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Tulis kembali

0

$0$ sebagai

0^{2}

$0^{2}$ .

λ = \pm \sqrt{0^{2}}

$λ = \pm \sqrt{0^{2}}$

Langkah 7.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

λ = \pm 0

$λ = \pm 0$

Langkah 7.2.3

Tambah atau kurang

0

$0$ adalah

0

$0$ .

λ = 0

$λ = 0$

λ = 0

$λ = 0$

λ = 0

$λ = 0$