Aljabar Linear Contoh

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}]$

Langkah 1

Gunakan rumus untuk menentukan persamaan karakteristik $p (λ)$ .

$p (λ) = determinan (A - λ I_{3})$

Langkah 2

Matriks satuan atau matriks satuan dengan ordo $3$ adalah matriks persegi $3 \times 3$ dengan bilangan satu di diagonal utama dan nol di elemen lainnya.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 3

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam $p (λ) = determinan (A - λ I_{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}]$ untuk $A$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] - λ I_{3})$

Langkah 3.2

Substitusikan $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ untuk $I_{3}$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Kalikan $- λ$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.2

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.2.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.3

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.3.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.4

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.4.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.4.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.6

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.6.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.6.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.7

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.7.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.7.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.8

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.8.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.8.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.9

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Langkah 4.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 + 0 & 3 + 0 \\ 4 + 0 & 5 - λ & 6 + 0 \\ 7 + 0 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 3 + 0 \\ 4 + 0 & 5 - λ & 6 + 0 \\ 7 + 0 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.2

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 3 \\ 4 + 0 & 5 - λ & 6 + 0 \\ 7 + 0 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.3

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 3 \\ 4 & 5 - λ & 6 + 0 \\ 7 + 0 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.4

Tambahkan $6$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 3 \\ 4 & 5 - λ & 6 \\ 7 + 0 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.5

Tambahkan $7$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 3 \\ 4 & 5 - λ & 6 \\ 7 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.6

Tambahkan $8$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 3 \\ 4 & 5 - λ & 6 \\ 7 & 8 & 9 - λ \end{array}]$

Langkah 5

Find the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Langkah 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Langkah 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 6 \\ 8 & 9 - λ \end{array} |$

Langkah 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 6 \\ 8 & 9 - λ \end{array} |$

Langkah 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} |$

Langkah 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} |$

Langkah 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Langkah 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Langkah 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 6 \\ 8 & 9 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Langkah 5.2

Evaluasi $| \begin{array}{c} 5 - λ & 6 \\ 8 & 9 - λ \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((5 - λ) (9 - λ) - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Perluas $(5 - λ) (9 - λ)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = (1 - λ) (5 (9 - λ) - λ (9 - λ) - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = (1 - λ) (5 \cdot 9 + 5 (- λ) - λ (9 - λ) - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = (1 - λ) (5 \cdot 9 + 5 (- λ) - λ \cdot 9 - λ (- λ) - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.2.1.1

Kalikan $5$ dengan $9$ .

$p (λ) = (1 - λ) (45 + 5 (- λ) - λ \cdot 9 - λ (- λ) - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$p (λ) = (1 - λ) (45 - 5 λ - λ \cdot 9 - λ (- λ) - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.2.1.3

Kalikan $9$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (45 - 5 λ - 9 λ - λ (- λ) - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.2.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = (1 - λ) (45 - 5 λ - 9 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.2.1.5

Kalikan $λ$ dengan $λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.2.1.5.1

Pindahkan $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (45 - 5 λ - 9 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.2.1.5.2

Kalikan $λ$ dengan $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (45 - 5 λ - 9 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.2.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (45 - 5 λ - 9 λ + 1 λ^{2} - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.2.1.7

Kalikan $λ^{2}$ dengan $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (45 - 5 λ - 9 λ + λ^{2} - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.2.2

Kurangi $9 λ$ dengan $- 5 λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (45 - 14 λ + λ^{2} - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.3

Kalikan $- 8$ dengan $6$ .

$p (λ) = (1 - λ) (45 - 14 λ + λ^{2} - 48) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.2

Kurangi $48$ dengan $45$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 14 λ + λ^{2} - 3) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.3

Susun kembali $- 14 λ$ dan $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Langkah 5.3

Evaluasi $| \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (4 (9 - λ) - 7 \cdot 6) + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (4 \cdot 9 + 4 (- λ) - 7 \cdot 6) + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Langkah 5.3.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $9$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (36 + 4 (- λ) - 7 \cdot 6) + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Langkah 5.3.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (36 - 4 λ - 7 \cdot 6) + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Langkah 5.3.2.1.4

Kalikan $- 7$ dengan $6$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (36 - 4 λ - 42) + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Langkah 5.3.2.2

Kurangi $42$ dengan $36$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (- 4 λ - 6) + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Langkah 5.4

Evaluasi $| \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (4 \cdot 8 - 7 (5 - λ))$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Kalikan $4$ dengan $8$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (32 - 7 (5 - λ))$

Langkah 5.4.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (32 - 7 \cdot 5 - 7 (- λ))$

Langkah 5.4.2.1.3

Kalikan $- 7$ dengan $5$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (32 - 35 - 7 (- λ))$

Langkah 5.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 7$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (32 - 35 + 7 λ)$

Langkah 5.4.2.2

Kurangi $35$ dengan $32$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (- 3 + 7 λ)$

Langkah 5.4.2.3

Susun kembali $- 3$ dan $7 λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

Langkah 5.5

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.1

Perluas $(1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$p (λ) = 1 λ^{2} + 1 (- 14 λ) + 1 \cdot - 3 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

Langkah 5.5.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.2.1

Kalikan $λ^{2}$ dengan $1$ .

$p (λ) = λ^{2} + 1 (- 14 λ) + 1 \cdot - 3 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

Langkah 5.5.1.2.2

Kalikan $- 14 λ$ dengan $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ + 1 \cdot - 3 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

Langkah 5.5.1.2.3

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

Langkah 5.5.1.2.4

Kalikan $λ$ dengan $λ^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.2.4.1

Pindahkan $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - (λ^{2} λ) - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

Langkah 5.5.1.2.4.2

Kalikan $λ^{2}$ dengan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.2.4.2.1

Naikkan $λ$ menjadi pangkat $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

Langkah 5.5.1.2.4.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - λ^{2 + 1} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

Langkah 5.5.1.2.4.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - λ^{3} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

Langkah 5.5.1.2.5

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - λ^{3} - 1 \cdot - 14 λ \cdot λ - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

Langkah 5.5.1.2.6

Kalikan $λ$ dengan $λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.2.6.1

Pindahkan $λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - λ^{3} - 1 \cdot - 14 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

Langkah 5.5.1.2.6.2

Kalikan $λ$ dengan $λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - λ^{3} - 1 \cdot - 14 λ^{2} - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

Langkah 5.5.1.2.7

Kalikan $- 1$ dengan $- 14$ .

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - λ^{3} + 14 λ^{2} - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

Langkah 5.5.1.2.8

Kalikan $- 3$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - λ^{3} + 14 λ^{2} + 3 λ - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

Langkah 5.5.1.3

Tambahkan $λ^{2}$ dan $14 λ^{2}$ .

$p (λ) = 15 λ^{2} - 14 λ - 3 - λ^{3} + 3 λ - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

Langkah 5.5.1.4

Tambahkan $- 14 λ$ dan $3 λ$ .

$p (λ) = 15 λ^{2} - 11 λ - 3 - λ^{3} - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

Langkah 5.5.1.5

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 15 λ^{2} - 11 λ - 3 - λ^{3} - 2 (- 4 λ) - 2 \cdot - 6 + 3 (7 λ - 3)$

Langkah 5.5.1.6

Kalikan $- 4$ dengan $- 2$ .

$p (λ) = 15 λ^{2} - 11 λ - 3 - λ^{3} + 8 λ - 2 \cdot - 6 + 3 (7 λ - 3)$

Langkah 5.5.1.7

Kalikan $- 2$ dengan $- 6$ .

$p (λ) = 15 λ^{2} - 11 λ - 3 - λ^{3} + 8 λ + 12 + 3 (7 λ - 3)$

Langkah 5.5.1.8

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 15 λ^{2} - 11 λ - 3 - λ^{3} + 8 λ + 12 + 3 (7 λ) + 3 \cdot - 3$

Langkah 5.5.1.9

Kalikan $7$ dengan $3$ .

$p (λ) = 15 λ^{2} - 11 λ - 3 - λ^{3} + 8 λ + 12 + 21 λ + 3 \cdot - 3$

Langkah 5.5.1.10

Kalikan $3$ dengan $- 3$ .

$p (λ) = 15 λ^{2} - 11 λ - 3 - λ^{3} + 8 λ + 12 + 21 λ - 9$

Langkah 5.5.2

Tambahkan $- 11 λ$ dan $8 λ$ .

$p (λ) = 15 λ^{2} - 3 λ - 3 - λ^{3} + 12 + 21 λ - 9$

Langkah 5.5.3

Tambahkan $- 3 λ$ dan $21 λ$ .

$p (λ) = 15 λ^{2} + 18 λ - 3 - λ^{3} + 12 - 9$

Langkah 5.5.4

Tambahkan $- 3$ dan $12$ .

$p (λ) = 15 λ^{2} + 18 λ - λ^{3} + 9 - 9$

Langkah 5.5.5

Gabungkan suku balikan dalam $15 λ^{2} + 18 λ - λ^{3} + 9 - 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.5.1

Kurangi $9$ dengan $9$ .

$p (λ) = 15 λ^{2} + 18 λ - λ^{3} + 0$

Langkah 5.5.5.2

Tambahkan $15 λ^{2} + 18 λ - λ^{3}$ dan $0$ .

$p (λ) = 15 λ^{2} + 18 λ - λ^{3}$

Langkah 5.5.6

Pindahkan $18 λ$ .

$p (λ) = 15 λ^{2} - λ^{3} + 18 λ$

Langkah 5.5.7

Susun kembali $15 λ^{2}$ dan $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 15 λ^{2} + 18 λ$

Langkah 6

Atur polinomial karakteristiknya agar sama dengan $0$ untuk menemukan nilai eigen $λ$ .

$- λ^{3} + 15 λ^{2} + 18 λ = 0$

Langkah 7

Selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Faktorkan $- λ$ dari $- λ^{3} + 15 λ^{2} + 18 λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Faktorkan $- λ$ dari $- λ^{3}$ .

$- λ \cdot λ^{2} + 15 λ^{2} + 18 λ = 0$

Langkah 7.1.2

Faktorkan $- λ$ dari $15 λ^{2}$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ (- 15 λ) + 18 λ = 0$

Langkah 7.1.3

Faktorkan $- λ$ dari $18 λ$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ (- 15 λ) - λ \cdot - 18 = 0$

Langkah 7.1.4

Faktorkan $- λ$ dari $- λ (λ^{2}) - λ (- 15 λ)$ .

$- λ (λ^{2} - 15 λ) - λ \cdot - 18 = 0$

Langkah 7.1.5

Faktorkan $- λ$ dari $- λ (λ^{2} - 15 λ) - λ (- 18)$ .

$- λ (λ^{2} - 15 λ - 18) = 0$

Langkah 7.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$λ = 0$

$λ^{2} - 15 λ - 18 = 0$

Langkah 7.3

Atur $λ$ sama dengan $0$ .

$λ = 0$

Langkah 7.4

Atur $λ^{2} - 15 λ - 18$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Atur $λ^{2} - 15 λ - 18$ sama dengan $0$ .

$λ^{2} - 15 λ - 18 = 0$

Langkah 7.4.2

Selesaikan $λ^{2} - 15 λ - 18 = 0$ untuk $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 7.4.2.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = - 15$ , dan $c = - 18$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $λ$ .

$\frac{15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 18)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.3.1.1

Naikkan $- 15$ menjadi pangkat $2$ .

$λ = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 1 \cdot - 18}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.2.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot - 18$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$λ = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot - 18}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.2.3.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $- 18$ .

$λ = \frac{15 \pm \sqrt{225 + 72}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.2.3.1.3

Tambahkan $225$ dan $72$ .

$λ = \frac{15 \pm \sqrt{297}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.2.3.1.4

Tulis kembali $297$ sebagai $3^{2} \cdot 33$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.3.1.4.1

Faktorkan $9$ dari $297$ .

$λ = \frac{15 \pm \sqrt{9 (33)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.2.3.1.4.2

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$λ = \frac{15 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 33}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.2.3.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$λ = \frac{15 \pm 3 \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$λ = \frac{15 \pm 3 \sqrt{33}}{2}$

Langkah 7.4.2.4

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$λ = \frac{15 + 3 \sqrt{33}}{2}, \frac{15 - 3 \sqrt{33}}{2}$

Langkah 7.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- λ (λ^{2} - 15 λ - 18) = 0$ benar.

$λ = 0, \frac{15 + 3 \sqrt{33}}{2}, \frac{15 - 3 \sqrt{33}}{2}$

Langkah 8

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$λ = 0, \frac{15 + 3 \sqrt{33}}{2}, \frac{15 - 3 \sqrt{33}}{2}$

Bentuk Desimal:

$λ = 0, 16.11684396 \dots, - 1.11684396 \dots$