Aljabar Linear Contoh

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}]$

Langkah 1

Temukan nilai eigennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan rumus untuk menentukan persamaan karakteristik $p (λ)$ .

$p (λ) = determinan (A - λ I_{3})$

Langkah 1.2

Matriks satuan atau matriks satuan dengan ordo $3$ adalah matriks persegi $3 \times 3$ dengan bilangan satu di diagonal utama dan nol di elemen lainnya.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 1.3

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam $p (λ) = determinan (A - λ I_{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}]$ untuk $A$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] - λ I_{3})$

Langkah 1.3.2

Substitusikan $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ untuk $I_{3}$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Kalikan $- λ$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.2

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.2.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.2.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.3

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.3.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.3.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.4

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.4.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.4.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.6

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.6.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.6.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.7

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.7.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.7.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.8

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.8.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.8.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.9

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Langkah 1.4.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 + 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 2 \\ 0 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3.3

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 2 \\ 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3.4

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 2 \\ 0 & 5 - λ & 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3.5

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 2 \\ 0 & 5 - λ & 0 \\ 3 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3.6

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 2 \\ 0 & 5 - λ & 0 \\ 3 & 0 & 2 - λ \end{array}]$

Langkah 1.5

Find the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Langkah 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Langkah 1.5.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$

Langkah 1.5.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$

Langkah 1.5.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} |$

Langkah 1.5.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(5 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} |$

Langkah 1.5.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 3 & 0 \end{array} |$

Langkah 1.5.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 3 & 0 \end{array} |$

Langkah 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 0 & 2 - λ \end{array} | + (5 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 3 & 0 \end{array} |$

Langkah 1.5.2

Kalikan $0$ dengan $| \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (5 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 3 & 0 \end{array} |$

Langkah 1.5.3

Kalikan $0$ dengan $| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 3 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (5 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} | + 0$

Langkah 1.5.4

Evaluasi $| \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + (5 - λ) ((1 - λ) (2 - λ) - 3 \cdot 2) + 0$

Langkah 1.5.4.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.1

Perluas $(1 - λ) (2 - λ)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 0 + (5 - λ) (1 (2 - λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot 2) + 0$

Langkah 1.5.4.2.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 0 + (5 - λ) (1 \cdot 2 + 1 (- λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot 2) + 0$

Langkah 1.5.4.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 0 + (5 - λ) (1 \cdot 2 + 1 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 2) + 0$

Langkah 1.5.4.2.1.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$p (λ) = 0 + (5 - λ) (2 + 1 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 2) + 0$

Langkah 1.5.4.2.1.2.1.2

Kalikan $- λ$ dengan $1$ .

$p (λ) = 0 + (5 - λ) (2 - λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 2) + 0$

Langkah 1.5.4.2.1.2.1.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = 0 + (5 - λ) (2 - λ - 2 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2) + 0$

Langkah 1.5.4.2.1.2.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = 0 + (5 - λ) (2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2) + 0$

Langkah 1.5.4.2.1.2.1.5

Kalikan $λ$ dengan $λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.2.1.5.1

Pindahkan $λ$ .

$p (λ) = 0 + (5 - λ) (2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2) + 0$

Langkah 1.5.4.2.1.2.1.5.2

Kalikan $λ$ dengan $λ$ .

$p (λ) = 0 + (5 - λ) (2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2) + 0$

Langkah 1.5.4.2.1.2.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = 0 + (5 - λ) (2 - λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2) + 0$

Langkah 1.5.4.2.1.2.1.7

Kalikan $λ^{2}$ dengan $1$ .

$p (λ) = 0 + (5 - λ) (2 - λ - 2 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2) + 0$

Langkah 1.5.4.2.1.2.2

Kurangi $2 λ$ dengan $- λ$ .

$p (λ) = 0 + (5 - λ) (2 - 3 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2) + 0$

Langkah 1.5.4.2.1.3

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$p (λ) = 0 + (5 - λ) (2 - 3 λ + λ^{2} - 6) + 0$

Langkah 1.5.4.2.2

Kurangi $6$ dengan $2$ .

$p (λ) = 0 + (5 - λ) (- 3 λ + λ^{2} - 4) + 0$

Langkah 1.5.4.2.3

Susun kembali $- 3 λ$ dan $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + (5 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4) + 0$

Langkah 1.5.5

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.1

Gabungkan suku balikan dalam $0 + (5 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4) + 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.1.1

Tambahkan $0$ dan $(5 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4)$ .

$p (λ) = (5 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4) + 0$

Langkah 1.5.5.1.2

Tambahkan $(5 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4)$ dan $0$ .

$p (λ) = (5 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4)$

Langkah 1.5.5.2

Perluas $(5 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$p (λ) = 5 λ^{2} + 5 (- 3 λ) + 5 \cdot - 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4$

Langkah 1.5.5.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.3.1

Kalikan $- 3$ dengan $5$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 15 λ + 5 \cdot - 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4$

Langkah 1.5.5.3.2

Kalikan $5$ dengan $- 4$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 15 λ - 20 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4$

Langkah 1.5.5.3.3

Kalikan $λ$ dengan $λ^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.3.3.1

Pindahkan $λ^{2}$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 15 λ - 20 - (λ^{2} λ) - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4$

Langkah 1.5.5.3.3.2

Kalikan $λ^{2}$ dengan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.3.3.2.1

Naikkan $λ$ menjadi pangkat $1$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 15 λ - 20 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4$

Langkah 1.5.5.3.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$p (λ) = 5 λ^{2} - 15 λ - 20 - λ^{2 + 1} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4$

Langkah 1.5.5.3.3.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 15 λ - 20 - λ^{3} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4$

Langkah 1.5.5.3.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = 5 λ^{2} - 15 λ - 20 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 λ \cdot λ - λ \cdot - 4$

Langkah 1.5.5.3.5

Kalikan $λ$ dengan $λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.3.5.1

Pindahkan $λ$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 15 λ - 20 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 4$

Langkah 1.5.5.3.5.2

Kalikan $λ$ dengan $λ$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 15 λ - 20 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 λ^{2} - λ \cdot - 4$

Langkah 1.5.5.3.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 3$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 15 λ - 20 - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ \cdot - 4$

Langkah 1.5.5.3.7

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 15 λ - 20 - λ^{3} + 3 λ^{2} + 4 λ$

Langkah 1.5.5.4

Tambahkan $5 λ^{2}$ dan $3 λ^{2}$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 15 λ - 20 - λ^{3} + 4 λ$

Langkah 1.5.5.5

Tambahkan $- 15 λ$ dan $4 λ$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 11 λ - 20 - λ^{3}$

Langkah 1.5.5.6

Pindahkan $- 20$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 11 λ - λ^{3} - 20$

Langkah 1.5.5.7

Pindahkan $- 11 λ$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - λ^{3} - 11 λ - 20$

Langkah 1.5.5.8

Susun kembali $8 λ^{2}$ dan $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 8 λ^{2} - 11 λ - 20$

Langkah 1.6

Atur polinomial karakteristiknya agar sama dengan $0$ untuk menemukan nilai eigen $λ$ .

$- λ^{3} + 8 λ^{2} - 11 λ - 20 = 0$

Langkah 1.7

Selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.1

Faktorkan $- λ^{3} + 8 λ^{2} - 11 λ - 20$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.1.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1$

Langkah 1.7.1.1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

Langkah 1.7.1.1.3

Substitusikan $- 1$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $- 1$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.1.3.1

Substitusikan $- 1$ ke dalam polinomialnya.

$- {(- 1)}^{3} + 8 {(- 1)}^{2} - 11 \cdot - 1 - 20$

Langkah 1.7.1.1.3.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$- - 1 + 8 {(- 1)}^{2} - 11 \cdot - 1 - 20$

Langkah 1.7.1.1.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 + 8 {(- 1)}^{2} - 11 \cdot - 1 - 20$

Langkah 1.7.1.1.3.4

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$1 + 8 \cdot 1 - 11 \cdot - 1 - 20$

Langkah 1.7.1.1.3.5

Kalikan $8$ dengan $1$ .

$1 + 8 - 11 \cdot - 1 - 20$

Langkah 1.7.1.1.3.6

Tambahkan $1$ dan $8$ .

$9 - 11 \cdot - 1 - 20$

Langkah 1.7.1.1.3.7

Kalikan $- 11$ dengan $- 1$ .

$9 + 11 - 20$

Langkah 1.7.1.1.3.8

Tambahkan $9$ dan $11$ .

$20 - 20$

Langkah 1.7.1.1.3.9

Kurangi $20$ dengan $20$ .

$0$

Langkah 1.7.1.1.4

Karena $- 1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $λ + 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{- λ^{3} + 8 λ^{2} - 11 λ - 20}{λ + 1}$

Langkah 1.7.1.1.5

Bagilah $- λ^{3} + 8 λ^{2} - 11 λ - 20$ dengan $λ + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$λ$

$1$

$λ^{3}$

$8 λ^{2}$

$11 λ$

$20$

Langkah 1.7.1.1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- λ^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	-	$11 λ$	-	$20$

Langkah 1.7.1.1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	-	$11 λ$	-	$20$
			-	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$

Langkah 1.7.1.1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- λ^{3} - λ^{2}$

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	-	$11 λ$	-	$20$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$

Langkah 1.7.1.1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	-	$11 λ$	-	$20$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$9 λ^{2}$

Langkah 1.7.1.1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	-	$11 λ$	-	$20$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$9 λ^{2}$	-	$11 λ$

Langkah 1.7.1.1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $9 λ^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$9 λ$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	-	$11 λ$	-	$20$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$9 λ^{2}$	-	$11 λ$

Langkah 1.7.1.1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

			-	$λ^{2}$	+	$9 λ$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	-	$11 λ$	-	$20$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$9 λ^{2}$	-	$11 λ$
					+	$9 λ^{2}$	+	$9 λ$

Langkah 1.7.1.1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $9 λ^{2} + 9 λ$

			-	$λ^{2}$	+	$9 λ$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	-	$11 λ$	-	$20$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$9 λ^{2}$	-	$11 λ$
					-	$9 λ^{2}$	-	$9 λ$

Langkah 1.7.1.1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

			-	$λ^{2}$	+	$9 λ$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	-	$11 λ$	-	$20$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$9 λ^{2}$	-	$11 λ$
					-	$9 λ^{2}$	-	$9 λ$
							-	$20 λ$

Langkah 1.7.1.1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

			-	$λ^{2}$	+	$9 λ$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	-	$11 λ$	-	$20$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$9 λ^{2}$	-	$11 λ$
					-	$9 λ^{2}$	-	$9 λ$
							-	$20 λ$	-	$20$

Langkah 1.7.1.1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 20 λ$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$9 λ$	-	$20$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	-	$11 λ$	-	$20$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$9 λ^{2}$	-	$11 λ$
					-	$9 λ^{2}$	-	$9 λ$
							-	$20 λ$	-	$20$

Langkah 1.7.1.1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

			-	$λ^{2}$	+	$9 λ$	-	$20$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	-	$11 λ$	-	$20$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$9 λ^{2}$	-	$11 λ$
					-	$9 λ^{2}$	-	$9 λ$
							-	$20 λ$	-	$20$
							-	$20 λ$	-	$20$

Langkah 1.7.1.1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 20 λ - 20$

			-	$λ^{2}$	+	$9 λ$	-	$20$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	-	$11 λ$	-	$20$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$9 λ^{2}$	-	$11 λ$
					-	$9 λ^{2}$	-	$9 λ$
							-	$20 λ$	-	$20$
							+	$20 λ$	+	$20$

Langkah 1.7.1.1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

			-	$λ^{2}$	+	$9 λ$	-	$20$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	-	$11 λ$	-	$20$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$9 λ^{2}$	-	$11 λ$
					-	$9 λ^{2}$	-	$9 λ$
							-	$20 λ$	-	$20$
							+	$20 λ$	+	$20$
										$0$

Langkah 1.7.1.1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$- λ^{2} + 9 λ - 20$

Langkah 1.7.1.1.6

Tulis $- λ^{3} + 8 λ^{2} - 11 λ - 20$ sebagai himpunan faktor.

$(λ + 1) (- λ^{2} + 9 λ - 20) = 0$

Langkah 1.7.1.2

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.2.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.2.1.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = - 1 \cdot - 20 = 20$ dan yang jumlahnya adalah $b = 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.2.1.1.1

Faktorkan $9$ dari $9 λ$ .

$(λ + 1) (- λ^{2} + 9 (λ) - 20) = 0$

Langkah 1.7.1.2.1.1.2

Tulis kembali $9$ sebagai $4$ ditambah $5$

$(λ + 1) (- λ^{2} + (4 + 5) λ - 20) = 0$

Langkah 1.7.1.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$(λ + 1) (- λ^{2} + 4 λ + 5 λ - 20) = 0$

Langkah 1.7.1.2.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.2.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(λ + 1) ((- λ^{2} + 4 λ) + 5 λ - 20) = 0$

Langkah 1.7.1.2.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$(λ + 1) (λ (- λ + 4) - 5 (- λ + 4)) = 0$

Langkah 1.7.1.2.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $- λ + 4$ .

$(λ + 1) ((- λ + 4) (λ - 5)) = 0$

Langkah 1.7.1.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(λ + 1) (- λ + 4) (λ - 5) = 0$

Langkah 1.7.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$λ + 1 = 0$

$- λ + 4 = 0$

$λ - 5 = 0$

Langkah 1.7.3

Atur $λ + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1

Atur $λ + 1$ sama dengan $0$ .

$λ + 1 = 0$

Langkah 1.7.3.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$λ = - 1$

Langkah 1.7.4

Atur $- λ + 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.1

Atur $- λ + 4$ sama dengan $0$ .

$- λ + 4 = 0$

Langkah 1.7.4.2

Selesaikan $- λ + 4 = 0$ untuk $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.2.1

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- λ = - 4$

Langkah 1.7.4.2.2

Bagi setiap suku pada $- λ = - 4$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- λ = - 4$ dengan $- 1$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Langkah 1.7.4.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{λ}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Langkah 1.7.4.2.2.2.2

Bagilah $λ$ dengan $1$ .

$λ = \frac{- 4}{- 1}$

Langkah 1.7.4.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.2.2.3.1

Bagilah $- 4$ dengan $- 1$ .

$λ = 4$

Langkah 1.7.5

Atur $λ - 5$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.5.1

Atur $λ - 5$ sama dengan $0$ .

$λ - 5 = 0$

Langkah 1.7.5.2

Tambahkan $5$ ke kedua sisi persamaan.

$λ = 5$

Langkah 1.7.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(λ + 1) (- λ + 4) (λ - 5) = 0$ benar.

$λ = - 1, 4, 5$

Langkah 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Langkah 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumusnya.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Tambahkan elemen yang seletak.

$[\begin{array}{c} 1 + 1 & 0 + 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 1 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 + 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.2

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 + 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 1 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 + 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 1 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 + 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.3

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 \\ 0 + 0 & 5 + 1 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 + 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.4

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 5 + 1 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 + 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.5

Tambahkan $5$ dan $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 6 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 + 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.6

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 6 & 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 + 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.7

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 6 & 0 \\ 3 & 0 + 0 & 2 + 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.8

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 6 & 0 \\ 3 & 0 & 2 + 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.9

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 6 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{array}]$

Langkah 3.3

Find the null space when $λ = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 3 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 6 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 3 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.1.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 3 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.2.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{6}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{6}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ \frac{0}{6} & \frac{6}{6} & \frac{0}{6} & \frac{0}{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.3.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + z = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

Langkah 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - z \\ 0 \\ z \end{array}]$

Langkah 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Langkah 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Langkah 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Langkah 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumusnya.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] - 4 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Kalikan $- 4$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.3

Kalikan $- 4$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.4

Kalikan $- 4$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.5

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.6

Kalikan $- 4$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.7

Kalikan $- 4$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.8

Kalikan $- 4$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.9

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \end{array}]$

Langkah 4.2.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$[\begin{array}{c} 1 - 4 & 0 + 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - 4 \end{array}]$

Langkah 4.2.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 + 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - 4 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - 4 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.3

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 0 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - 4 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.4

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - 4 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.5

Kurangi $4$ dengan $5$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - 4 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.6

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - 4 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.7

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 + 0 & 2 - 4 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.8

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 2 - 4 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.9

Kurangi $4$ dengan $2$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & - 2 \end{array}]$

Langkah 4.3

Find the null space when $λ = 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & - 2 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & - 2 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.1.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & - 2 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 & - 2 - 3 (- \frac{2}{3}) & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.2.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{2}{3} z = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

Langkah 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{2 z}{3} \\ 0 \\ z \end{array}]$

Langkah 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Langkah 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Langkah 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Langkah 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumusnya.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] - 5 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Kalikan $- 5$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 5.2.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.2.1

Kalikan $- 5$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 5.2.1.2.2

Kalikan $- 5$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 5.2.1.2.3

Kalikan $- 5$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 5.2.1.2.4

Kalikan $- 5$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 5.2.1.2.5

Kalikan $- 5$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 5.2.1.2.6

Kalikan $- 5$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 5.2.1.2.7

Kalikan $- 5$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 0 \\ 0 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 5.2.1.2.8

Kalikan $- 5$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 5.2.1.2.9

Kalikan $- 5$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 \end{array}]$

Langkah 5.2.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$[\begin{array}{c} 1 - 5 & 0 + 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 5 - 5 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - 5 \end{array}]$

Langkah 5.2.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Kurangi $5$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & 0 + 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 5 - 5 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - 5 \end{array}]$

Langkah 5.2.3.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 5 - 5 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - 5 \end{array}]$

Langkah 5.2.3.3

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & 0 & 2 \\ 0 + 0 & 5 - 5 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - 5 \end{array}]$

Langkah 5.2.3.4

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & 0 & 2 \\ 0 & 5 - 5 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - 5 \end{array}]$

Langkah 5.2.3.5

Kurangi $5$ dengan $5$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - 5 \end{array}]$

Langkah 5.2.3.6

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - 5 \end{array}]$

Langkah 5.2.3.7

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 + 0 & 2 - 5 \end{array}]$

Langkah 5.2.3.8

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 2 - 5 \end{array}]$

Langkah 5.2.3.9

Kurangi $5$ dengan $2$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & - 3 \end{array}]$

Langkah 5.3

Find the null space when $λ = 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & - 3 & 0 \end{array}]$

Langkah 5.3.2

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} \cdot - 4 & - \frac{1}{4} \cdot 0 & - \frac{1}{4} \cdot 2 & - \frac{1}{4} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & - 3 & 0 \end{array}]$

Langkah 5.3.2.1.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & - 3 & 0 \end{array}]$

Langkah 5.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 & - 3 - 3 (- \frac{1}{2}) & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Langkah 5.3.2.2.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{3}{2} & 0 \end{array}]$

Langkah 5.3.2.3

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 3$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 5.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 \\ - \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} (- \frac{3}{2}) & - \frac{2}{3} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 5.3.2.4.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 5.3.2.5

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 & 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 & 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 5.3.2.5.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x = 0$

$z = 0$

$0 = 0$

Langkah 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ y \\ 0 \end{array}]$

Langkah 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = y [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]$

Langkah 5.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}] | y \in R}$

Langkah 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

Langkah 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$