Aljabar Linear Contoh

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}]$

Langkah 1

Temukan nilai eigennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan rumus untuk menentukan persamaan karakteristik $p (λ)$ .

$p (λ) = determinan (A - λ I_{3})$

Langkah 1.2

Matriks satuan atau matriks satuan dengan ordo $3$ adalah matriks persegi $3 \times 3$ dengan bilangan satu di diagonal utama dan nol di elemen lainnya.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 1.3

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam $p (λ) = determinan (A - λ I_{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan $[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}]$ untuk $A$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] - λ I_{3})$

Langkah 1.3.2

Substitusikan $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ untuk $I_{3}$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Kalikan $- λ$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.2

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.2.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.2.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.3

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.3.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.3.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.4

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.4.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.4.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.6

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.6.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.6.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.7

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.7.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.7.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.8

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.8.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.8.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.9

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Langkah 1.4.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 8 - λ & 0 + 0 & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 9 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 8 - λ & 0 & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 9 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3.2

Tambahkan $8$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 8 - λ & 0 & 8 \\ 0 + 0 & 9 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3.3

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 8 - λ & 0 & 8 \\ 0 & 9 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3.4

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 8 - λ & 0 & 8 \\ 0 & 9 - λ & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3.5

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 8 - λ & 0 & 8 \\ 0 & 9 - λ & 0 \\ 0 & 0 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3.6

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 8 - λ & 0 & 8 \\ 0 & 9 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 9 - λ \end{array}]$

Langkah 1.5

Find the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Langkah 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Langkah 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 9 - λ & 0 \\ 0 & 9 - λ \end{array} |$

Langkah 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(8 - λ) | \begin{array}{c} 9 - λ & 0 \\ 0 & 9 - λ \end{array} |$

Langkah 1.5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 8 \\ 0 & 9 - λ \end{array} |$

Langkah 1.5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 8 \\ 0 & 9 - λ \end{array} |$

Langkah 1.5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 8 \\ 9 - λ & 0 \end{array} |$

Langkah 1.5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 8 \\ 9 - λ & 0 \end{array} |$

Langkah 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (8 - λ) | \begin{array}{c} 9 - λ & 0 \\ 0 & 9 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 8 \\ 0 & 9 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 8 \\ 9 - λ & 0 \end{array} |$

Langkah 1.5.2

Kalikan $0$ dengan $| \begin{array}{c} 0 & 8 \\ 0 & 9 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (8 - λ) | \begin{array}{c} 9 - λ & 0 \\ 0 & 9 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & 8 \\ 9 - λ & 0 \end{array} |$

Langkah 1.5.3

Kalikan $0$ dengan $| \begin{array}{c} 0 & 8 \\ 9 - λ & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = (8 - λ) | \begin{array}{c} 9 - λ & 0 \\ 0 & 9 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Langkah 1.5.4

Evaluasi $| \begin{array}{c} 9 - λ & 0 \\ 0 & 9 - λ \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (8 - λ) ((9 - λ) (9 - λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0$

Langkah 1.5.4.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.1

Perluas $(9 - λ) (9 - λ)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = (8 - λ) (9 (9 - λ) - λ (9 - λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0$

Langkah 1.5.4.2.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = (8 - λ) (9 \cdot 9 + 9 (- λ) - λ (9 - λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0$

Langkah 1.5.4.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = (8 - λ) (9 \cdot 9 + 9 (- λ) - λ \cdot 9 - λ (- λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0$

Langkah 1.5.4.2.1.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.2.1.1

Kalikan $9$ dengan $9$ .

$p (λ) = (8 - λ) (81 + 9 (- λ) - λ \cdot 9 - λ (- λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0$

Langkah 1.5.4.2.1.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $9$ .

$p (λ) = (8 - λ) (81 - 9 λ - λ \cdot 9 - λ (- λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0$

Langkah 1.5.4.2.1.2.1.3

Kalikan $9$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = (8 - λ) (81 - 9 λ - 9 λ - λ (- λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0$

Langkah 1.5.4.2.1.2.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = (8 - λ) (81 - 9 λ - 9 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ + 0 \cdot 0) + 0 + 0$

Langkah 1.5.4.2.1.2.1.5

Kalikan $λ$ dengan $λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.2.1.5.1

Pindahkan $λ$ .

$p (λ) = (8 - λ) (81 - 9 λ - 9 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0$

Langkah 1.5.4.2.1.2.1.5.2

Kalikan $λ$ dengan $λ$ .

$p (λ) = (8 - λ) (81 - 9 λ - 9 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} + 0 \cdot 0) + 0 + 0$

Langkah 1.5.4.2.1.2.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = (8 - λ) (81 - 9 λ - 9 λ + 1 λ^{2} + 0 \cdot 0) + 0 + 0$

Langkah 1.5.4.2.1.2.1.7

Kalikan $λ^{2}$ dengan $1$ .

$p (λ) = (8 - λ) (81 - 9 λ - 9 λ + λ^{2} + 0 \cdot 0) + 0 + 0$

Langkah 1.5.4.2.1.2.2

Kurangi $9 λ$ dengan $- 9 λ$ .

$p (λ) = (8 - λ) (81 - 18 λ + λ^{2} + 0 \cdot 0) + 0 + 0$

Langkah 1.5.4.2.1.3

Kalikan $0$ dengan $0$ .

$p (λ) = (8 - λ) (81 - 18 λ + λ^{2} + 0) + 0 + 0$

Langkah 1.5.4.2.2

Tambahkan $81 - 18 λ + λ^{2}$ dan $0$ .

$p (λ) = (8 - λ) (81 - 18 λ + λ^{2}) + 0 + 0$

Langkah 1.5.4.2.3

Pindahkan $81$ .

$p (λ) = (8 - λ) (- 18 λ + λ^{2} + 81) + 0 + 0$

Langkah 1.5.4.2.4

Susun kembali $- 18 λ$ dan $λ^{2}$ .

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 18 λ + 81) + 0 + 0$

Langkah 1.5.5

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.1

Gabungkan suku balikan dalam $(8 - λ) (λ^{2} - 18 λ + 81) + 0 + 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.1.1

Tambahkan $(8 - λ) (λ^{2} - 18 λ + 81)$ dan $0$ .

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 18 λ + 81) + 0$

Langkah 1.5.5.1.2

Tambahkan $(8 - λ) (λ^{2} - 18 λ + 81)$ dan $0$ .

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 18 λ + 81)$

Langkah 1.5.5.2

Perluas $(8 - λ) (λ^{2} - 18 λ + 81)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$p (λ) = 8 λ^{2} + 8 (- 18 λ) + 8 \cdot 81 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 18 λ) - λ \cdot 81$

Langkah 1.5.5.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.3.1

Kalikan $- 18$ dengan $8$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 144 λ + 8 \cdot 81 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 18 λ) - λ \cdot 81$

Langkah 1.5.5.3.2

Kalikan $8$ dengan $81$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 144 λ + 648 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 18 λ) - λ \cdot 81$

Langkah 1.5.5.3.3

Kalikan $λ$ dengan $λ^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.3.3.1

Pindahkan $λ^{2}$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 144 λ + 648 - (λ^{2} λ) - λ (- 18 λ) - λ \cdot 81$

Langkah 1.5.5.3.3.2

Kalikan $λ^{2}$ dengan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.3.3.2.1

Naikkan $λ$ menjadi pangkat $1$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 144 λ + 648 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 18 λ) - λ \cdot 81$

Langkah 1.5.5.3.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$p (λ) = 8 λ^{2} - 144 λ + 648 - λ^{2 + 1} - λ (- 18 λ) - λ \cdot 81$

Langkah 1.5.5.3.3.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 144 λ + 648 - λ^{3} - λ (- 18 λ) - λ \cdot 81$

Langkah 1.5.5.3.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = 8 λ^{2} - 144 λ + 648 - λ^{3} - 1 \cdot - 18 λ \cdot λ - λ \cdot 81$

Langkah 1.5.5.3.5

Kalikan $λ$ dengan $λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.3.5.1

Pindahkan $λ$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 144 λ + 648 - λ^{3} - 1 \cdot - 18 (λ \cdot λ) - λ \cdot 81$

Langkah 1.5.5.3.5.2

Kalikan $λ$ dengan $λ$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 144 λ + 648 - λ^{3} - 1 \cdot - 18 λ^{2} - λ \cdot 81$

Langkah 1.5.5.3.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 18$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 144 λ + 648 - λ^{3} + 18 λ^{2} - λ \cdot 81$

Langkah 1.5.5.3.7

Kalikan $81$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 144 λ + 648 - λ^{3} + 18 λ^{2} - 81 λ$

Langkah 1.5.5.4

Tambahkan $8 λ^{2}$ dan $18 λ^{2}$ .

$p (λ) = 26 λ^{2} - 144 λ + 648 - λ^{3} - 81 λ$

Langkah 1.5.5.5

Kurangi $81 λ$ dengan $- 144 λ$ .

$p (λ) = 26 λ^{2} - 225 λ + 648 - λ^{3}$

Langkah 1.5.5.6

Pindahkan $648$ .

$p (λ) = 26 λ^{2} - 225 λ - λ^{3} + 648$

Langkah 1.5.5.7

Pindahkan $- 225 λ$ .

$p (λ) = 26 λ^{2} - λ^{3} - 225 λ + 648$

Langkah 1.5.5.8

Susun kembali $26 λ^{2}$ dan $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 26 λ^{2} - 225 λ + 648$

Langkah 1.6

Atur polinomial karakteristiknya agar sama dengan $0$ untuk menemukan nilai eigen $λ$ .

$- λ^{3} + 26 λ^{2} - 225 λ + 648 = 0$

Langkah 1.7

Selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.1

Faktorkan $- λ^{3} + 26 λ^{2} - 225 λ + 648$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.1.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 648, \pm 2, \pm 324, \pm 3, \pm 216, \pm 4, \pm 162, \pm 6, \pm 108, \pm 8, \pm 81, \pm 9, \pm 72, \pm 12, \pm 54, \pm 18, \pm 36, \pm 24, \pm 27$

$q = \pm 1$

Langkah 1.7.1.1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 648, \pm 2, \pm 324, \pm 3, \pm 216, \pm 4, \pm 162, \pm 6, \pm 108, \pm 8, \pm 81, \pm 9, \pm 72, \pm 12, \pm 54, \pm 18, \pm 36, \pm 24, \pm 27$

Langkah 1.7.1.1.3

Substitusikan $8$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $8$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.1.3.1

Substitusikan $8$ ke dalam polinomialnya.

$- 8^{3} + 26 \cdot 8^{2} - 225 \cdot 8 + 648$

Langkah 1.7.1.1.3.2

Naikkan $8$ menjadi pangkat $3$ .

$- 1 \cdot 512 + 26 \cdot 8^{2} - 225 \cdot 8 + 648$

Langkah 1.7.1.1.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $512$ .

$- 512 + 26 \cdot 8^{2} - 225 \cdot 8 + 648$

Langkah 1.7.1.1.3.4

Naikkan $8$ menjadi pangkat $2$ .

$- 512 + 26 \cdot 64 - 225 \cdot 8 + 648$

Langkah 1.7.1.1.3.5

Kalikan $26$ dengan $64$ .

$- 512 + 1664 - 225 \cdot 8 + 648$

Langkah 1.7.1.1.3.6

Tambahkan $- 512$ dan $1664$ .

$1152 - 225 \cdot 8 + 648$

Langkah 1.7.1.1.3.7

Kalikan $- 225$ dengan $8$ .

$1152 - 1800 + 648$

Langkah 1.7.1.1.3.8

Kurangi $1800$ dengan $1152$ .

$- 648 + 648$

Langkah 1.7.1.1.3.9

Tambahkan $- 648$ dan $648$ .

$0$

Langkah 1.7.1.1.4

Karena $8$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $λ - 8$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{- λ^{3} + 26 λ^{2} - 225 λ + 648}{λ - 8}$

Langkah 1.7.1.1.5

Bagilah $- λ^{3} + 26 λ^{2} - 225 λ + 648$ dengan $λ - 8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$λ$

$8$

$λ^{3}$

$26 λ^{2}$

$225 λ$

$648$

Langkah 1.7.1.1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- λ^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$26 λ^{2}$	-	$225 λ$	+	$648$

Langkah 1.7.1.1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$26 λ^{2}$	-	$225 λ$	+	$648$
			-	$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$

Langkah 1.7.1.1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- λ^{3} + 8 λ^{2}$

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$26 λ^{2}$	-	$225 λ$	+	$648$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$

Langkah 1.7.1.1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$26 λ^{2}$	-	$225 λ$	+	$648$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$18 λ^{2}$

Langkah 1.7.1.1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$26 λ^{2}$	-	$225 λ$	+	$648$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$18 λ^{2}$	-	$225 λ$

Langkah 1.7.1.1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $18 λ^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$18 λ$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$26 λ^{2}$	-	$225 λ$	+	$648$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$18 λ^{2}$	-	$225 λ$

Langkah 1.7.1.1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

			-	$λ^{2}$	+	$18 λ$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$26 λ^{2}$	-	$225 λ$	+	$648$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$18 λ^{2}$	-	$225 λ$
					+	$18 λ^{2}$	-	$144 λ$

Langkah 1.7.1.1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $18 λ^{2} - 144 λ$

			-	$λ^{2}$	+	$18 λ$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$26 λ^{2}$	-	$225 λ$	+	$648$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$18 λ^{2}$	-	$225 λ$
					-	$18 λ^{2}$	+	$144 λ$

Langkah 1.7.1.1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

			-	$λ^{2}$	+	$18 λ$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$26 λ^{2}$	-	$225 λ$	+	$648$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$18 λ^{2}$	-	$225 λ$
					-	$18 λ^{2}$	+	$144 λ$
							-	$81 λ$

Langkah 1.7.1.1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

			-	$λ^{2}$	+	$18 λ$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$26 λ^{2}$	-	$225 λ$	+	$648$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$18 λ^{2}$	-	$225 λ$
					-	$18 λ^{2}$	+	$144 λ$
							-	$81 λ$	+	$648$

Langkah 1.7.1.1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 81 λ$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$18 λ$	-	$81$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$26 λ^{2}$	-	$225 λ$	+	$648$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$18 λ^{2}$	-	$225 λ$
					-	$18 λ^{2}$	+	$144 λ$
							-	$81 λ$	+	$648$

Langkah 1.7.1.1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

			-	$λ^{2}$	+	$18 λ$	-	$81$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$26 λ^{2}$	-	$225 λ$	+	$648$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$18 λ^{2}$	-	$225 λ$
					-	$18 λ^{2}$	+	$144 λ$
							-	$81 λ$	+	$648$
							-	$81 λ$	+	$648$

Langkah 1.7.1.1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 81 λ + 648$

			-	$λ^{2}$	+	$18 λ$	-	$81$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$26 λ^{2}$	-	$225 λ$	+	$648$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$18 λ^{2}$	-	$225 λ$
					-	$18 λ^{2}$	+	$144 λ$
							-	$81 λ$	+	$648$
							+	$81 λ$	-	$648$

Langkah 1.7.1.1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

			-	$λ^{2}$	+	$18 λ$	-	$81$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$26 λ^{2}$	-	$225 λ$	+	$648$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$18 λ^{2}$	-	$225 λ$
					-	$18 λ^{2}$	+	$144 λ$
							-	$81 λ$	+	$648$
							+	$81 λ$	-	$648$
										$0$

Langkah 1.7.1.1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$- λ^{2} + 18 λ - 81$

Langkah 1.7.1.1.6

Tulis $- λ^{3} + 26 λ^{2} - 225 λ + 648$ sebagai himpunan faktor.

$(λ - 8) (- λ^{2} + 18 λ - 81) = 0$

Langkah 1.7.1.2

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.2.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.2.1.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = - 1 \cdot - 81 = 81$ dan yang jumlahnya adalah $b = 18$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.2.1.1.1

Faktorkan $18$ dari $18 λ$ .

$(λ - 8) (- λ^{2} + 18 (λ) - 81) = 0$

Langkah 1.7.1.2.1.1.2

Tulis kembali $18$ sebagai $9$ ditambah $9$

$(λ - 8) (- λ^{2} + (9 + 9) λ - 81) = 0$

Langkah 1.7.1.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$(λ - 8) (- λ^{2} + 9 λ + 9 λ - 81) = 0$

Langkah 1.7.1.2.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.2.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(λ - 8) ((- λ^{2} + 9 λ) + 9 λ - 81) = 0$

Langkah 1.7.1.2.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$(λ - 8) (λ (- λ + 9) - 9 (- λ + 9)) = 0$

Langkah 1.7.1.2.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $- λ + 9$ .

$(λ - 8) ((- λ + 9) (λ - 9)) = 0$

Langkah 1.7.1.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(λ - 8) (- λ + 9) (λ - 9) = 0$

Langkah 1.7.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$λ - 8 = 0$

$- λ + 9 = 0$

$λ - 9 = 0$

Langkah 1.7.3

Atur $λ - 8$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1

Atur $λ - 8$ sama dengan $0$ .

$λ - 8 = 0$

Langkah 1.7.3.2

Tambahkan $8$ ke kedua sisi persamaan.

$λ = 8$

Langkah 1.7.4

Atur $- λ + 9$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.1

Atur $- λ + 9$ sama dengan $0$ .

$- λ + 9 = 0$

Langkah 1.7.4.2

Selesaikan $- λ + 9 = 0$ untuk $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.2.1

Kurangkan $9$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- λ = - 9$

Langkah 1.7.4.2.2

Bagi setiap suku pada $- λ = - 9$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- λ = - 9$ dengan $- 1$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Langkah 1.7.4.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{λ}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Langkah 1.7.4.2.2.2.2

Bagilah $λ$ dengan $1$ .

$λ = \frac{- 9}{- 1}$

Langkah 1.7.4.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.2.2.3.1

Bagilah $- 9$ dengan $- 1$ .

$λ = 9$

Langkah 1.7.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(λ - 8) (- λ + 9) (λ - 9) = 0$ benar.

$λ = 8, 9$

Langkah 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Langkah 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumusnya.

$N ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] - 8 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Kalikan $- 8$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 \cdot 1 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.2.1

Kalikan $- 8$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.2

Kalikan $- 8$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.3

Kalikan $- 8$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 & 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.4

Kalikan $- 8$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 & 0 \\ 0 & - 8 \cdot 1 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.5

Kalikan $- 8$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 & 0 \\ 0 & - 8 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.6

Kalikan $- 8$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 & 0 \\ 0 & - 8 & 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.7

Kalikan $- 8$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 & 0 \\ 0 & - 8 & 0 \\ 0 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.8

Kalikan $- 8$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 & 0 \\ 0 & - 8 & 0 \\ 0 & 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.9

Kalikan $- 8$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 & 0 \\ 0 & - 8 & 0 \\ 0 & 0 & - 8 \end{array}]$

Langkah 3.2.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$[\begin{array}{c} 8 - 8 & 0 + 0 & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 9 - 8 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - 8 \end{array}]$

Langkah 3.2.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Kurangi $8$ dengan $8$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 + 0 & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 9 - 8 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - 8 \end{array}]$

Langkah 3.2.3.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 9 - 8 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - 8 \end{array}]$

Langkah 3.2.3.3

Tambahkan $8$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 8 \\ 0 + 0 & 9 - 8 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - 8 \end{array}]$

Langkah 3.2.3.4

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 8 \\ 0 & 9 - 8 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - 8 \end{array}]$

Langkah 3.2.3.5

Kurangi $8$ dengan $9$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 8 \\ 0 & 1 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - 8 \end{array}]$

Langkah 3.2.3.6

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - 8 \end{array}]$

Langkah 3.2.3.7

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 + 0 & 9 - 8 \end{array}]$

Langkah 3.2.3.8

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 9 - 8 \end{array}]$

Langkah 3.2.3.9

Kurangi $8$ dengan $9$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 3.3

Find the null space when $λ = 8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 8 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Swap $R_{2}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 2$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.2

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{8}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{8}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{0}{8} & \frac{0}{8} & \frac{8}{8} & \frac{0}{8} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.2.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.3.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$y = 0$

$z = 0$

$0 = 0$

Langkah 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = x [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.6

Write as a solution set.

${x [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}] | x \in R}$

Langkah 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

Langkah 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumusnya.

$N ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] - 9 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Kalikan $- 9$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 9 \cdot 1 & - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 0 \\ - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 1 & - 9 \cdot 0 \\ - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.2.1

Kalikan $- 9$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 9 & - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 0 \\ - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 1 & - 9 \cdot 0 \\ - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.2

Kalikan $- 9$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 9 & 0 & - 9 \cdot 0 \\ - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 1 & - 9 \cdot 0 \\ - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.3

Kalikan $- 9$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 9 & 0 & 0 \\ - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 1 & - 9 \cdot 0 \\ - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.4

Kalikan $- 9$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 9 & 0 & 0 \\ 0 & - 9 \cdot 1 & - 9 \cdot 0 \\ - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.5

Kalikan $- 9$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 9 & 0 & 0 \\ 0 & - 9 & - 9 \cdot 0 \\ - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.6

Kalikan $- 9$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 9 & 0 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 \\ - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.7

Kalikan $- 9$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 9 & 0 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 \\ 0 & - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.8

Kalikan $- 9$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 9 & 0 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 \\ 0 & 0 & - 9 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.9

Kalikan $- 9$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 9 & 0 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 \\ 0 & 0 & - 9 \end{array}]$

Langkah 4.2.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$[\begin{array}{c} 8 - 9 & 0 + 0 & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 9 - 9 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - 9 \end{array}]$

Langkah 4.2.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Kurangi $9$ dengan $8$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 + 0 & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 9 - 9 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - 9 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 9 - 9 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - 9 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.3

Tambahkan $8$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 8 \\ 0 + 0 & 9 - 9 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - 9 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.4

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 8 \\ 0 & 9 - 9 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - 9 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.5

Kurangi $9$ dengan $9$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - 9 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.6

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - 9 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.7

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 + 0 & 9 - 9 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.8

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 - 9 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.9

Kurangi $9$ dengan $9$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3

Find the null space when $λ = 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 0 & - 1 \cdot 8 & - 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.1.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 8 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - 8 z = 0$

$0 = 0$

Langkah 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 z \\ y \\ z \end{array}]$

Langkah 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 8 \\ 0 \\ 1 \end{array}] + y [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} 8 \\ 0 \\ 1 \end{array}] + y [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}] | y, z \in R}$

Langkah 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 8 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

Langkah 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 8 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$