Aljabar Linear Contoh

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Langkah 1

Temukan nilai eigennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan rumus untuk menentukan persamaan karakteristik $p (λ)$ .

$p (λ) = determinan (A - λ I_{3})$

Langkah 1.2

Matriks satuan atau matriks satuan dengan ordo $3$ adalah matriks persegi $3 \times 3$ dengan bilangan satu di diagonal utama dan nol di elemen lainnya.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 1.3

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam $p (λ) = determinan (A - λ I_{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan $[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}]$ untuk $A$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] - λ I_{3})$

Langkah 1.3.2

Substitusikan $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ untuk $I_{3}$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Kalikan $- λ$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.2

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.2.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.2.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.3

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.3.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.3.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.4

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.4.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.4.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.6

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.6.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.6.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.7

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.7.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.7.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.8

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.8.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.8.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.9

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Langkah 1.4.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - 5 - λ & 50 + 0 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 11 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Tambahkan $50$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - 5 - λ & 50 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 11 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - 5 - λ & 50 & 0 \\ - 1 + 0 & 11 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3.3

Tambahkan $- 1$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - 5 - λ & 50 & 0 \\ - 1 & 11 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3.4

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - 5 - λ & 50 & 0 \\ - 1 & 11 - λ & 1 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3.5

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - 5 - λ & 50 & 0 \\ - 1 & 11 - λ & 1 \\ 0 & 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3.6

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - 5 - λ & 50 & 0 \\ - 1 & 11 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array}]$

Langkah 1.5

Find the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Langkah 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Langkah 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 11 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

Langkah 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(- 5 - λ) | \begin{array}{c} 11 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

Langkah 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$

Langkah 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$

Langkah 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 11 - λ \\ 0 & 1 \end{array} |$

Langkah 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 1 & 11 - λ \\ 0 & 1 \end{array} |$

Langkah 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (- 5 - λ) | \begin{array}{c} 11 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 1 & 11 - λ \\ 0 & 1 \end{array} |$

Langkah 1.5.2

Kalikan $0$ dengan $| \begin{array}{c} - 1 & 11 - λ \\ 0 & 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) | \begin{array}{c} 11 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Langkah 1.5.3

Evaluasi $| \begin{array}{c} 11 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) ((11 - λ) (1 - λ) - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Langkah 1.5.3.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.1

Perluas $(11 - λ) (1 - λ)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 (1 - λ) - λ (1 - λ) - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Langkah 1.5.3.2.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 \cdot 1 + 11 (- λ) - λ (1 - λ) - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Langkah 1.5.3.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 \cdot 1 + 11 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Langkah 1.5.3.2.1.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.2.1.1

Kalikan $11$ dengan $1$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 + 11 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Langkah 1.5.3.2.1.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $11$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 - 11 λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Langkah 1.5.3.2.1.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 - 11 λ - λ - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Langkah 1.5.3.2.1.2.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 - 11 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Langkah 1.5.3.2.1.2.1.5

Kalikan $λ$ dengan $λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.2.1.5.1

Pindahkan $λ$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 - 11 λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Langkah 1.5.3.2.1.2.1.5.2

Kalikan $λ$ dengan $λ$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 - 11 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Langkah 1.5.3.2.1.2.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 - 11 λ - λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Langkah 1.5.3.2.1.2.1.7

Kalikan $λ^{2}$ dengan $1$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 - 11 λ - λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Langkah 1.5.3.2.1.2.2

Kurangi $λ$ dengan $- 11 λ$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 - 12 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Langkah 1.5.3.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 - 12 λ + λ^{2} - 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Langkah 1.5.3.2.2

Kurangi $1$ dengan $11$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (- 12 λ + λ^{2} + 10) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Langkah 1.5.3.2.3

Susun kembali $- 12 λ$ dan $λ^{2}$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 10) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Langkah 1.5.4

Evaluasi $| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 10) - 50 (- (1 - λ) + 0 \cdot 1) + 0$

Langkah 1.5.4.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = (- 5 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 10) - 50 (- 1 \cdot 1 - - λ + 0 \cdot 1) + 0$

Langkah 1.5.4.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 10) - 50 (- 1 - - λ + 0 \cdot 1) + 0$

Langkah 1.5.4.2.1.3

Kalikan $- - λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 10) - 50 (- 1 + 1 λ + 0 \cdot 1) + 0$

Langkah 1.5.4.2.1.3.2

Kalikan $λ$ dengan $1$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 10) - 50 (- 1 + λ + 0 \cdot 1) + 0$

Langkah 1.5.4.2.1.4

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 10) - 50 (- 1 + λ + 0) + 0$

Langkah 1.5.4.2.2

Tambahkan $- 1 + λ$ dan $0$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 10) - 50 (- 1 + λ) + 0$

Langkah 1.5.4.2.3

Susun kembali $- 1$ dan $λ$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 10) - 50 (λ - 1) + 0$

Langkah 1.5.5

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.1

Tambahkan $(- 5 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 10) - 50 (λ - 1)$ dan $0$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 10) - 50 (λ - 1)$

Langkah 1.5.5.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.2.1

Perluas $(- 5 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 10)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$p (λ) = - 5 λ^{2} - 5 (- 12 λ) - 5 \cdot 10 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 10 - 50 (λ - 1)$

Langkah 1.5.5.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.2.2.1

Kalikan $- 12$ dengan $- 5$ .

$p (λ) = - 5 λ^{2} + 60 λ - 5 \cdot 10 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 10 - 50 (λ - 1)$

Langkah 1.5.5.2.2.2

Kalikan $- 5$ dengan $10$ .

$p (λ) = - 5 λ^{2} + 60 λ - 50 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 10 - 50 (λ - 1)$

Langkah 1.5.5.2.2.3

Kalikan $λ$ dengan $λ^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.2.2.3.1

Pindahkan $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 5 λ^{2} + 60 λ - 50 - (λ^{2} λ) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 10 - 50 (λ - 1)$

Langkah 1.5.5.2.2.3.2

Kalikan $λ^{2}$ dengan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.2.2.3.2.1

Naikkan $λ$ menjadi pangkat $1$ .

$p (λ) = - 5 λ^{2} + 60 λ - 50 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 10 - 50 (λ - 1)$

Langkah 1.5.5.2.2.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$p (λ) = - 5 λ^{2} + 60 λ - 50 - λ^{2 + 1} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 10 - 50 (λ - 1)$

Langkah 1.5.5.2.2.3.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$p (λ) = - 5 λ^{2} + 60 λ - 50 - λ^{3} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 10 - 50 (λ - 1)$

Langkah 1.5.5.2.2.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = - 5 λ^{2} + 60 λ - 50 - λ^{3} - 1 \cdot - 12 λ \cdot λ - λ \cdot 10 - 50 (λ - 1)$

Langkah 1.5.5.2.2.5

Kalikan $λ$ dengan $λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.2.2.5.1

Pindahkan $λ$ .

$p (λ) = - 5 λ^{2} + 60 λ - 50 - λ^{3} - 1 \cdot - 12 (λ \cdot λ) - λ \cdot 10 - 50 (λ - 1)$

Langkah 1.5.5.2.2.5.2

Kalikan $λ$ dengan $λ$ .

$p (λ) = - 5 λ^{2} + 60 λ - 50 - λ^{3} - 1 \cdot - 12 λ^{2} - λ \cdot 10 - 50 (λ - 1)$

Langkah 1.5.5.2.2.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 12$ .

$p (λ) = - 5 λ^{2} + 60 λ - 50 - λ^{3} + 12 λ^{2} - λ \cdot 10 - 50 (λ - 1)$

Langkah 1.5.5.2.2.7

Kalikan $10$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = - 5 λ^{2} + 60 λ - 50 - λ^{3} + 12 λ^{2} - 10 λ - 50 (λ - 1)$

Langkah 1.5.5.2.3

Tambahkan $- 5 λ^{2}$ dan $12 λ^{2}$ .

$p (λ) = 7 λ^{2} + 60 λ - 50 - λ^{3} - 10 λ - 50 (λ - 1)$

Langkah 1.5.5.2.4

Kurangi $10 λ$ dengan $60 λ$ .

$p (λ) = 7 λ^{2} + 50 λ - 50 - λ^{3} - 50 (λ - 1)$

Langkah 1.5.5.2.5

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 7 λ^{2} + 50 λ - 50 - λ^{3} - 50 λ - 50 \cdot - 1$

Langkah 1.5.5.2.6

Kalikan $- 50$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = 7 λ^{2} + 50 λ - 50 - λ^{3} - 50 λ + 50$

Langkah 1.5.5.3

Gabungkan suku balikan dalam $7 λ^{2} + 50 λ - 50 - λ^{3} - 50 λ + 50$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.3.1

Kurangi $50 λ$ dengan $50 λ$ .

$p (λ) = 7 λ^{2} - 50 - λ^{3} + 0 + 50$

Langkah 1.5.5.3.2

Tambahkan $7 λ^{2} - 50 - λ^{3}$ dan $0$ .

$p (λ) = 7 λ^{2} - 50 - λ^{3} + 50$

Langkah 1.5.5.3.3

Tambahkan $- 50$ dan $50$ .

$p (λ) = 7 λ^{2} - λ^{3} + 0$

Langkah 1.5.5.3.4

Tambahkan $7 λ^{2} - λ^{3}$ dan $0$ .

$p (λ) = 7 λ^{2} - λ^{3}$

Langkah 1.5.5.4

Susun kembali $7 λ^{2}$ dan $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 7 λ^{2}$

Langkah 1.6

Atur polinomial karakteristiknya agar sama dengan $0$ untuk menemukan nilai eigen $λ$ .

$- λ^{3} + 7 λ^{2} = 0$

Langkah 1.7

Selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Faktorkan $- λ^{2}$ dari $- λ^{3} + 7 λ^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.1

Faktorkan $- λ^{2}$ dari $- λ^{3}$ .

$- λ^{2} λ + 7 λ^{2} = 0$

Langkah 1.7.1.2

Faktorkan $- λ^{2}$ dari $7 λ^{2}$ .

$- λ^{2} λ - λ^{2} \cdot - 7 = 0$

Langkah 1.7.1.3

Faktorkan $- λ^{2}$ dari $- λ^{2} (λ) - λ^{2} (- 7)$ .

$- λ^{2} (λ - 7) = 0$

Langkah 1.7.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$λ^{2} = 0$

$λ - 7 = 0$

Langkah 1.7.3

Atur $λ^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1

Atur $λ^{2}$ sama dengan $0$ .

$λ^{2} = 0$

Langkah 1.7.3.2

Selesaikan $λ^{2} = 0$ untuk $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{0}$

Langkah 1.7.3.2.2

Sederhanakan $\pm \sqrt{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$λ = \pm \sqrt{0^{2}}$

Langkah 1.7.3.2.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$λ = \pm 0$

Langkah 1.7.3.2.2.3

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$λ = 0$

Langkah 1.7.4

Atur $λ - 7$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.1

Atur $λ - 7$ sama dengan $0$ .

$λ - 7 = 0$

Langkah 1.7.4.2

Tambahkan $7$ ke kedua sisi persamaan.

$λ = 7$

Langkah 1.7.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- λ^{2} (λ - 7) = 0$ benar.

$λ = 0, 7$

Langkah 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Langkah 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumusnya.

$N ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + 0 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Kalikan $0$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.2.1

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.2

Kalikan $0$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.3

Kalikan $0$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.4

Kalikan $0$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.5

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.6

Kalikan $0$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.7

Kalikan $0$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.8

Kalikan $0$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.9

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.2.2

Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Tambahkan elemen yang seletak.

$[\begin{array}{c} - 5 + 0 & 50 + 0 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 11 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.2

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1

Tambahkan $- 5$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 + 0 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 11 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.2.2

Tambahkan $50$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 11 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.2.3

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 + 0 & 11 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.2.4

Tambahkan $- 1$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.2.5

Tambahkan $11$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.2.6

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.2.7

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.2.8

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 + 0 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.2.9

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Langkah 3.3

Find the null space when $λ = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot 50 & - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot 0 \\ - 1 & 11 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.1.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 10 & 0 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 10 & 0 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 11 - 10 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.2.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 10 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 10 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 1 - 1 & 0 - 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.3.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 10 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 10 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 10 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 10 \cdot 0 & - 10 + 10 \cdot 1 & 0 + 10 \cdot 1 & 0 + 10 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.4.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + 10 z = 0$

$y + z = 0$

$0 = 0$

Langkah 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 10 z \\ - z \\ z \end{array}]$

Langkah 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - 10 \\ - 1 \\ 1 \end{array}]$

Langkah 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - 10 \\ - 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Langkah 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 10 \\ - 1 \\ 1 \end{array}]}$

Langkah 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumusnya.

$N ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] - 7 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Kalikan $- 7$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.2.1

Kalikan $- 7$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.2

Kalikan $- 7$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.3

Kalikan $- 7$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.4

Kalikan $- 7$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.5

Kalikan $- 7$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.6

Kalikan $- 7$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.7

Kalikan $- 7$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.8

Kalikan $- 7$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.9

Kalikan $- 7$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & - 7 \end{array}]$

Langkah 4.2.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$[\begin{array}{c} - 5 - 7 & 50 + 0 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 11 - 7 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - 7 \end{array}]$

Langkah 4.2.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Kurangi $7$ dengan $- 5$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & 50 + 0 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 11 - 7 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - 7 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.2

Tambahkan $50$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & 50 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 11 - 7 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - 7 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.3

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & 50 & 0 \\ - 1 + 0 & 11 - 7 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - 7 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.4

Tambahkan $- 1$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 - 7 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - 7 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.5

Kurangi $7$ dengan $11$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & 50 & 0 \\ - 1 & 4 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - 7 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.6

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & 50 & 0 \\ - 1 & 4 & 1 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - 7 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.7

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & 50 & 0 \\ - 1 & 4 & 1 \\ 0 & 1 + 0 & 1 - 7 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.8

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & 50 & 0 \\ - 1 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 1 - 7 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.9

Kurangi $7$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & 50 & 0 \\ - 1 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & - 6 \end{array}]$

Langkah 4.3

Find the null space when $λ = 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & 50 & 0 & 0 \\ - 1 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{12}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{12}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{12} \cdot - 12 & - \frac{1}{12} \cdot 50 & - \frac{1}{12} \cdot 0 & - \frac{1}{12} \cdot 0 \\ - 1 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.1.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{25}{6} & 0 & 0 \\ - 1 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{25}{6} & 0 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 4 - \frac{25}{6} & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.2.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{25}{6} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{1}{6} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 6$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 6$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{25}{6} & 0 & 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 (- \frac{1}{6}) & - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.3.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{25}{6} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{25}{6} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & - 6 + 6 & 0 - 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.4.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{25}{6} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.5

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{25}{6} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{25}{6} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{25}{6} \cdot 0 & - \frac{25}{6} + \frac{25}{6} \cdot 1 & 0 + \frac{25}{6} \cdot - 6 & 0 + \frac{25}{6} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.5.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 25 & 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - 25 z = 0$

$y - 6 z = 0$

$0 = 0$

Langkah 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 25 z \\ 6 z \\ z \end{array}]$

Langkah 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 25 \\ 6 \\ 1 \end{array}]$

Langkah 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} 25 \\ 6 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Langkah 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 25 \\ 6 \\ 1 \end{array}]}$

Langkah 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - 10 \\ - 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 25 \\ 6 \\ 1 \end{array}]}$