Aljabar Linear Contoh

$x ([\begin{array}{c} a \\ b \\ d \end{array}]) = [\begin{array}{c} 2 a + d \\ - 4 b \end{array}]$

Langkah 1

Transformasi mendefinisikan pemetaan dari $ℝ^{3}$ ke $ℝ^{2}$ . Untuk membuktikan transformasinya linear, transformasinya harus mempertahankan perkalian skalar, penjumlahan, dan vektor nol.

x: $ℝ^{3} \to ℝ^{2}$

Langkah 2

Pertama, buktikan transformasi yang mempertahankan sifat ini.

$x (x + y) = x (x) + x (y)$

Langkah 3

Buat dua matriks untuk menguji sifat penjumlahan dipertahankan untuk $x$ .

$x ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

Langkah 4

Jumlahkan kedua matriks tersebut.

$x [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Langkah 5

Terapkan transformasi ke vektor.

$x (x + y) = [\begin{array}{c} 2 (x_{1} + y_{1}) + x_{3} + y_{3} \\ - 4 (x_{2} + y_{2}) \end{array}]$

Langkah 6

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Susun kembali $2 (x_{1} + y_{1}) + x_{3} + y_{3}$ .

$x (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} + x_{3} + 2 y_{1} + y_{3} \\ - 4 (x_{2} + y_{2}) \end{array}]$

Langkah 6.2

Susun kembali $- 4 (x_{2} + y_{2})$ .

$x (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} + x_{3} + 2 y_{1} + y_{3} \\ - 4 x_{2} - 4 y_{2} \end{array}]$

Langkah 7

Pisahkan hasilnya menjadi dua matriks dengan mengelompokkan variabel.

$x (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} + x_{3} \\ - 4 x_{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 y_{1} + y_{3} \\ - 4 y_{2} \end{array}]$

Langkah 8

Sifat penambahan transformasi tetap benar.

$x (x + y) = x (x) + x (y)$

Langkah 9

Untuk transformasi menjadi linear, harus mempertahankan perkalian skalar.

$x (p x) = T (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ d \end{array}])$

Langkah 10

Faktorkan $p$ dari setiap elemen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kalikan $p$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$x (p x) = x ([\begin{array}{c} p a \\ p b \\ p d \end{array}])$

Langkah 10.2

Terapkan transformasi ke vektor.

$x (p x) = [\begin{array}{c} 2 (p a + p d) \\ - 4 (p b) \end{array}]$

Langkah 10.3

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Susun kembali $2 (p a + p d)$ .

$x (p x) = [\begin{array}{c} 2 a p + 2 d p \\ - 4 (p b) \end{array}]$

Langkah 10.3.2

Susun kembali $- 4 (p b)$ .

$x (p x) = [\begin{array}{c} 2 a p + 2 d p \\ - 4 p b \end{array}]$

Langkah 10.4

Faktorkan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.1

Elemen faktor $0, 0$ dengan mengalikan $2 a p + 2 d p$ .

$x (p x) = [\begin{array}{c} p (2 a + 2 d) \\ - 4 p b \end{array}]$

Langkah 10.4.2

Elemen faktor $1, 0$ dengan mengalikan $- 4 p b$ .

$x (p x) = [\begin{array}{c} p (2 a + 2 d) \\ p (- 4 b) \end{array}]$

Langkah 11

Sifat kedua dari transformasi linear dipertahankan dalam transformasi ini.

$x (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ d \end{array}]) = p x (x)$

Langkah 12

Agar transformasi menjadi linear, vektor nol harus dipertahankan.

$x (0) = 0$

Langkah 13

Terapkan transformasi ke vektor.

$x (0) = [\begin{array}{c} 2 (0) + 0 \\ - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Langkah 14

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Susun kembali $2 (0) + 0$ .

$x (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Langkah 14.2

Susun kembali $- 4 \cdot 0$ .

$x (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Langkah 15

Vektor nol dipertahankan oleh transformasi.

$x (0) = 0$

Langkah 16

Karena tiga sifat transformasi linear tidak terpenuhi, maka ini bukanlah transformasi linear.

Transformasi Linear