Aljabar Linear Contoh

$[\begin{array}{c} 6 & - 2 & - 4 & 4 \\ 3 & - 3 & - 6 & 1 \\ - 12 & 8 & 21 & - 8 \\ - 6 & 0 & - 10 & 7 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ w \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 8 \\ - 43 \end{array}]$

Step 1

Kernel dari transformasi adalah vektor yang membuat transformasinya sama dengan vektor nol (prabayangan dari transformasi).

$[\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 8 \\ - 43 \end{array}] = 0$

Step 2

Buat sistem persamaan dari persamaan vektor.

$2 = 0$

$- 4 = 0$

$8 = 0$

$- 43 = 0$

Step 3

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$0 = - 2$

$- 4 = 0$

$8 = 0$

$- 43 = 0$

Step 4

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$0 = 4$

$0 = - 2$

$8 = 0$

$- 43 = 0$

Step 5

Kurangkan $8$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$0 = - 8$

$0 = - 2$

$0 = 4$

$- 43 = 0$

Step 6

Tambahkan $43$ ke kedua sisi persamaan.

$0 = 43$

$0 = - 2$

$0 = 4$

$0 = - 8$

Step 7

Tulis sistem persamaan tersebut dalam bentuk matriks.

$[\begin{array}{c} - 2 \\ 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

Step 8

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi dari matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Lakukan operasi baris $R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$ pada $R_{1}$ (baris $1$ ) untuk mengubah beberapa elemen dalam baris tersebut menjadi $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ganti $R_{1}$ (baris $1$ ) dengan operasi baris $R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$ dengan tujuan mengubah beberapa elemen dalam baris menjadi nilai yang diinginkan $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} R_{1} \\ 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$

Ganti $R_{1}$ (baris $1$ ) dengan nilai aktual dari elemen-elemen untuk operasi baris $R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (- \frac{1}{2}) \cdot (- 2) \\ 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$

Sederhanakan $R_{1}$ (baris $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

Lakukan operasi baris $R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$ pada $R_{2}$ (baris $2$ ) untuk mengubah beberapa elemen dalam baris tersebut menjadi $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ganti $R_{2}$ (baris $2$ ) dengan operasi baris $R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$ dengan tujuan mengubah beberapa elemen dalam baris menjadi nilai yang diinginkan $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ - 4 \cdot R_{1} + R_{2} \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

$R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$

Ganti $R_{2}$ (baris $2$ ) dengan nilai aktual dari elemen-elemen untuk operasi baris $R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ (- 4) \cdot (1) + 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

$R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$

Sederhanakan $R_{2}$ (baris $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

Lakukan operasi baris $R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$ pada $R_{3}$ (baris $3$ ) untuk mengubah beberapa elemen dalam baris tersebut menjadi $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ganti $R_{3}$ (baris $3$ ) dengan operasi baris $R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$ dengan tujuan mengubah beberapa elemen dalam baris menjadi nilai yang diinginkan $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 8 \cdot R_{1} + R_{3} \\ 43 \end{array}]$

$R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$

Ganti $R_{3}$ (baris $3$ ) dengan nilai aktual dari elemen-elemen untuk operasi baris $R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ (8) \cdot (1) - 8 \\ 43 \end{array}]$

$R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$

Sederhanakan $R_{3}$ (baris $3$ ).

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 43 \end{array}]$

Lakukan operasi baris $R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}$ pada $R_{4}$ (baris $4$ ) untuk mengubah beberapa elemen dalam baris tersebut menjadi $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ganti $R_{4}$ (baris $4$ ) dengan operasi baris $R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}$ dengan tujuan mengubah beberapa elemen dalam baris menjadi nilai yang diinginkan $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ - 43 \cdot R_{1} + R_{4} \end{array}]$

$R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}$

Ganti $R_{4}$ (baris $4$ ) dengan nilai aktual dari elemen-elemen untuk operasi baris $R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ (- 43) \cdot (1) + 43 \end{array}]$

$R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}$

Sederhanakan $R_{4}$ (baris $4$ ).

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Step 9

Gunakan matriks hasil untuk menyatakan penyelesaian akhir untuk sistem persamaan tersebut.

$0 = 1$

Step 10

Pernyataan ini adalah himpunan penyelesaian untuk sistem persamaannya.

${}$

Step 11

Menguraikan vektor penyelesaian dengan menata ulang setiap persamaan yang diwakilkan dalam bentuk pengurangan-baris dari matriks imbuhan dengan menyelesaikan variabel terikat di setiap baris sehingga menghasilkan persamaan vektor.

$X = = [\begin{array}{c} 0 \end{array}]$

Step 12

Ruang nol dari himpunan adalah himpunan vektor yang dibuat dari variabel bebas sistem.

${[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$

Step 13

Kernel dari $M$ adalah subruang ${[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$ .

$K (M) = {[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$