Aljabar Linear Contoh

$S ([\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = [\begin{array}{c} 2 a - 6 b + 6 c \\ a + 2 b + c \\ 2 a + b + 2 c \end{array}]$

Langkah 1

Transformasi mendefinisikan pemetaan dari $ℝ^{3}$ ke $ℝ^{3}$ . Untuk membuktikan transformasinya linear, transformasinya harus mempertahankan perkalian skalar, penjumlahan, dan vektor nol.

S: $ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

Langkah 2

Pertama, buktikan transformasi yang mempertahankan sifat ini.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

Langkah 3

Buat dua matriks untuk menguji sifat penjumlahan dipertahankan untuk $S$ .

$S ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

Langkah 4

Jumlahkan kedua matriks tersebut.

$S [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Langkah 5

Terapkan transformasi ke vektor.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} 2 (x_{1} + y_{1}) - 6 (x_{2} + y_{2}) + 6 (x_{3} + y_{3}) \\ x_{1} + y_{1} + 2 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \\ 2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + 2 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

Langkah 6

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Susun kembali $2 (x_{1} + y_{1}) - 6 (x_{2} + y_{2}) + 6 (x_{3} + y_{3})$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - 6 x_{2} + 6 x_{3} + 2 y_{1} - 6 y_{2} + 6 y_{3} \\ x_{1} + y_{1} + 2 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \\ 2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + 2 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

Langkah 6.2

Susun kembali $x_{1} + y_{1} + 2 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3}$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - 6 x_{2} + 6 x_{3} + 2 y_{1} - 6 y_{2} + 6 y_{3} \\ x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} + y_{1} + 2 y_{2} + y_{3} \\ 2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + 2 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

Langkah 6.3

Susun kembali $2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + 2 (x_{3} + y_{3})$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - 6 x_{2} + 6 x_{3} + 2 y_{1} - 6 y_{2} + 6 y_{3} \\ x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} + y_{1} + 2 y_{2} + y_{3} \\ 2 x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} + 2 y_{1} + y_{2} + 2 y_{3} \end{array}]$

Langkah 7

Pisahkan hasilnya menjadi dua matriks dengan mengelompokkan variabel.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - 6 x_{2} + 6 x_{3} \\ x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} \\ 2 x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 y_{1} - 6 y_{2} + 6 y_{3} \\ y_{1} + 2 y_{2} + y_{3} \\ 2 y_{1} + y_{2} + 2 y_{3} \end{array}]$

Langkah 8

Sifat penambahan transformasi tetap benar.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

Langkah 9

Untuk transformasi menjadi linear, harus mempertahankan perkalian skalar.

$S (p x) = T (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}])$

Langkah 10

Faktorkan $p$ dari setiap elemen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kalikan $p$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$S (p x) = S ([\begin{array}{c} p a \\ p b \\ p c \end{array}])$

Langkah 10.2

Terapkan transformasi ke vektor.

$S (p x) = [\begin{array}{c} 2 ((p a) - 6 (p b) + 6 (p c)) \\ (p a) + 2 (p b) + p c \\ 2 (p a + p b + 2 (p c)) \end{array}]$

Langkah 10.3

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Susun kembali $2 ((p a) - 6 (p b) + 6 (p c))$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} 2 a p - 12 b p + 12 c p \\ (p a) + 2 (p b) + p c \\ 2 (p a + p b + 2 (p c)) \end{array}]$

Langkah 10.3.2

Susun kembali $(p a) + 2 (p b) + p c$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} 2 a p - 12 b p + 12 c p \\ a p + 2 b p + c p \\ 2 (p a + p b + 2 (p c)) \end{array}]$

Langkah 10.3.3

Susun kembali $2 (p a + p b + 2 (p c))$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} 2 a p - 12 b p + 12 c p \\ a p + 2 b p + c p \\ 2 a p + 2 b p + 4 c p \end{array}]$

Langkah 10.4

Faktorkan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.1

Elemen faktor $0, 0$ dengan mengalikan $2 a p - 12 b p + 12 c p$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (2 a - 12 b + 12 c) \\ a p + 2 b p + c p \\ 2 a p + 2 b p + 4 c p \end{array}]$

Langkah 10.4.2

Elemen faktor $1, 0$ dengan mengalikan $a p + 2 b p + c p$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (2 a - 12 b + 12 c) \\ p (a + 2 b + c) \\ 2 a p + 2 b p + 4 c p \end{array}]$

Langkah 10.4.3

Elemen faktor $2, 0$ dengan mengalikan $2 a p + 2 b p + 4 c p$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (2 a - 12 b + 12 c) \\ p (a + 2 b + c) \\ p (2 a + 2 b + 4 c) \end{array}]$

Langkah 11

Sifat kedua dari transformasi linear dipertahankan dalam transformasi ini.

$S (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = p S (x)$

Langkah 12

Agar transformasi menjadi linear, vektor nol harus dipertahankan.

$S (0) = 0$

Langkah 13

Terapkan transformasi ke vektor.

$S (0) = [\begin{array}{c} 2 (0) - 6 \cdot 0 + 6 (0) \\ (0) + 2 (0) + 0 \\ 2 (0) + 0 + 2 (0) \end{array}]$

Langkah 14

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Susun kembali $2 (0) - 6 \cdot 0 + 6 (0)$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ (0) + 2 (0) + 0 \\ 2 (0) + 0 + 2 (0) \end{array}]$

Langkah 14.2

Susun kembali $(0) + 2 (0) + 0$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 2 (0) + 0 + 2 (0) \end{array}]$

Langkah 14.3

Susun kembali $2 (0) + 0 + 2 (0)$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Langkah 15

Vektor nol dipertahankan oleh transformasi.

$S (0) = 0$

Langkah 16

Karena tiga sifat transformasi linear tidak terpenuhi, maka ini bukanlah transformasi linear.

Transformasi Linear