Aljabar Linear Contoh

$p [\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 8 \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{41}{14} \\ \frac{26}{14} \\ \frac{101}{14} \end{array}]$

Langkah 1

Transformasi mendefinisikan pemetaan dari $ℝ^{3}$ ke $ℝ^{3}$ . Untuk membuktikan transformasinya linear, transformasinya harus mempertahankan perkalian skalar, penjumlahan, dan vektor nol.

p: $ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

Langkah 2

Pertama, buktikan transformasi yang mempertahankan sifat ini.

$p (x + y) = p (x) + p (y)$

Langkah 3

Buat dua matriks untuk menguji sifat penjumlahan dipertahankan untuk $p$ .

$p ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

Langkah 4

Jumlahkan kedua matriks tersebut.

$p [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Langkah 5

Terapkan transformasi ke vektor.

$p (x + y) = [\begin{array}{c} \frac{41}{14} \\ \frac{26}{14} \\ \frac{101}{14} \end{array}]$

Langkah 6

Susun kembali $\frac{26}{14}$ .

$p (x + y) = [\begin{array}{c} \frac{41}{14} \\ \frac{13}{7} \\ \frac{101}{14} \end{array}]$

Langkah 7

Pisahkan hasilnya menjadi dua matriks dengan mengelompokkan variabel.

$p (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Langkah 8

Karena sifat penjumlahan transformasi tidak berlaku, maka bukan transformasi linear.

$p (x + y) \neq p (x) + p (y)$