Aljabar Linear Contoh

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 1

Gunakan rumus untuk menentukan persamaan karakteristik $p (λ)$ .

$p (λ) = determinan (A - λ I_{3})$

Langkah 2

Matriks satuan atau matriks satuan dengan ordo $3$ adalah matriks persegi $3 \times 3$ dengan bilangan satu di diagonal utama dan nol di elemen lainnya.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 3

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam $p (λ) = determinan (A - λ I_{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $[\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}]$ untuk $A$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] - λ I_{3})$

Langkah 3.2

Substitusikan $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ untuk $I_{3}$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Kalikan $- λ$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.2

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.2.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.3

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.3.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.4

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.4.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.4.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.6

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.6.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.6.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.7

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.7.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.7.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.8

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.8.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.8.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.9

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 1 \\ - 8 & 1 & 0 \\ - 8 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Langkah 4.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 + 0 & 1 + 0 \\ - 8 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ - 8 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 1 + 0 \\ - 8 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ - 8 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 1 \\ - 8 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ - 8 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.3

Tambahkan $- 8$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 1 \\ - 8 & 1 - λ & 0 + 0 \\ - 8 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.4

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 1 \\ - 8 & 1 - λ & 0 \\ - 8 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.5

Tambahkan $- 8$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 1 \\ - 8 & 1 - λ & 0 \\ - 8 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.6

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 1 \\ - 8 & 1 - λ & 0 \\ - 8 & 0 & 1 - λ \end{array}]$

Langkah 5

Find the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $2$ by its cofactor and add.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Langkah 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Langkah 5.1.3

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 8 & 0 \\ - 8 & 1 - λ \end{array} |$

Langkah 5.1.4

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 8 & 0 \\ - 8 & 1 - λ \end{array} |$

Langkah 5.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 7 - λ & 1 \\ - 8 & 1 - λ \end{array} |$

Langkah 5.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 7 - λ & 1 \\ - 8 & 1 - λ \end{array} |$

Langkah 5.1.7

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 7 - λ & 1 \\ - 8 & 0 \end{array} |$

Langkah 5.1.8

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 7 - λ & 1 \\ - 8 & 0 \end{array} |$

Langkah 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} - 8 & 0 \\ - 8 & 1 - λ \end{array} | + (1 - λ) | \begin{array}{c} 7 - λ & 1 \\ - 8 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 7 - λ & 1 \\ - 8 & 0 \end{array} |$

Langkah 5.2

Kalikan $0$ dengan $| \begin{array}{c} - 8 & 0 \\ - 8 & 1 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) | \begin{array}{c} 7 - λ & 1 \\ - 8 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 7 - λ & 1 \\ - 8 & 0 \end{array} |$

Langkah 5.3

Kalikan $0$ dengan $| \begin{array}{c} 7 - λ & 1 \\ - 8 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) | \begin{array}{c} 7 - λ & 1 \\ - 8 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Langkah 5.4

Evaluasi $| \begin{array}{c} 7 - λ & 1 \\ - 8 & 1 - λ \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) ((7 - λ) (1 - λ) - (- 8 \cdot 1)) + 0$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Perluas $(7 - λ) (1 - λ)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (7 (1 - λ) - λ (1 - λ) - (- 8 \cdot 1)) + 0$

Langkah 5.4.2.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (7 \cdot 1 + 7 (- λ) - λ (1 - λ) - (- 8 \cdot 1)) + 0$

Langkah 5.4.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (7 \cdot 1 + 7 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - (- 8 \cdot 1)) + 0$

Langkah 5.4.2.1.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.2.1.1

Kalikan $7$ dengan $1$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (7 + 7 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - (- 8 \cdot 1)) + 0$

Langkah 5.4.2.1.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $7$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (7 - 7 λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - (- 8 \cdot 1)) + 0$

Langkah 5.4.2.1.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (7 - 7 λ - λ - λ (- λ) - (- 8 \cdot 1)) + 0$

Langkah 5.4.2.1.2.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (7 - 7 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 8 \cdot 1)) + 0$

Langkah 5.4.2.1.2.1.5

Kalikan $λ$ dengan $λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.2.1.5.1

Pindahkan $λ$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (7 - 7 λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 8 \cdot 1)) + 0$

Langkah 5.4.2.1.2.1.5.2

Kalikan $λ$ dengan $λ$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (7 - 7 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 8 \cdot 1)) + 0$

Langkah 5.4.2.1.2.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (7 - 7 λ - λ + 1 λ^{2} - (- 8 \cdot 1)) + 0$

Langkah 5.4.2.1.2.1.7

Kalikan $λ^{2}$ dengan $1$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (7 - 7 λ - λ + λ^{2} - (- 8 \cdot 1)) + 0$

Langkah 5.4.2.1.2.2

Kurangi $λ$ dengan $- 7 λ$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (7 - 8 λ + λ^{2} - (- 8 \cdot 1)) + 0$

Langkah 5.4.2.1.3

Kalikan $- (- 8 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.3.1

Kalikan $- 8$ dengan $1$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (7 - 8 λ + λ^{2} - - 8) + 0$

Langkah 5.4.2.1.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 8$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (7 - 8 λ + λ^{2} + 8) + 0$

Langkah 5.4.2.2

Tambahkan $7$ dan $8$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (- 8 λ + λ^{2} + 15) + 0$

Langkah 5.4.2.3

Susun kembali $- 8 λ$ dan $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 15) + 0$

Langkah 5.5

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Gabungkan suku balikan dalam $0 + (1 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 15) + 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.1

Tambahkan $0$ dan $(1 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 15)$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 15) + 0$

Langkah 5.5.1.2

Tambahkan $(1 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 15)$ dan $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 15)$

Langkah 5.5.2

Perluas $(1 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 15)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$p (λ) = 1 λ^{2} + 1 (- 8 λ) + 1 \cdot 15 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot 15$

Langkah 5.5.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1

Kalikan $λ^{2}$ dengan $1$ .

$p (λ) = λ^{2} + 1 (- 8 λ) + 1 \cdot 15 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot 15$

Langkah 5.5.3.2

Kalikan $- 8 λ$ dengan $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 8 λ + 1 \cdot 15 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot 15$

Langkah 5.5.3.3

Kalikan $15$ dengan $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 8 λ + 15 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot 15$

Langkah 5.5.3.4

Kalikan $λ$ dengan $λ^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.4.1

Pindahkan $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 8 λ + 15 - (λ^{2} λ) - λ (- 8 λ) - λ \cdot 15$

Langkah 5.5.3.4.2

Kalikan $λ^{2}$ dengan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.4.2.1

Naikkan $λ$ menjadi pangkat $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 8 λ + 15 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 8 λ) - λ \cdot 15$

Langkah 5.5.3.4.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$p (λ) = λ^{2} - 8 λ + 15 - λ^{2 + 1} - λ (- 8 λ) - λ \cdot 15$

Langkah 5.5.3.4.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 8 λ + 15 - λ^{3} - λ (- 8 λ) - λ \cdot 15$

Langkah 5.5.3.5

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = λ^{2} - 8 λ + 15 - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ - λ \cdot 15$

Langkah 5.5.3.6

Kalikan $λ$ dengan $λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.6.1

Pindahkan $λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - 8 λ + 15 - λ^{3} - 1 \cdot - 8 (λ \cdot λ) - λ \cdot 15$

Langkah 5.5.3.6.2

Kalikan $λ$ dengan $λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - 8 λ + 15 - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ^{2} - λ \cdot 15$

Langkah 5.5.3.7

Kalikan $- 1$ dengan $- 8$ .

$p (λ) = λ^{2} - 8 λ + 15 - λ^{3} + 8 λ^{2} - λ \cdot 15$

Langkah 5.5.3.8

Kalikan $15$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 8 λ + 15 - λ^{3} + 8 λ^{2} - 15 λ$

Langkah 5.5.4

Tambahkan $λ^{2}$ dan $8 λ^{2}$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 8 λ + 15 - λ^{3} - 15 λ$

Langkah 5.5.5

Kurangi $15 λ$ dengan $- 8 λ$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 23 λ + 15 - λ^{3}$

Langkah 5.5.6

Pindahkan $15$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 23 λ - λ^{3} + 15$

Langkah 5.5.7

Pindahkan $- 23 λ$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - λ^{3} - 23 λ + 15$

Langkah 5.5.8

Susun kembali $9 λ^{2}$ dan $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 9 λ^{2} - 23 λ + 15$

Langkah 6

Atur polinomial karakteristiknya agar sama dengan $0$ untuk menemukan nilai eigen $λ$ .

$- λ^{3} + 9 λ^{2} - 23 λ + 15 = 0$

Langkah 7

Selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Faktorkan $- λ^{3} + 9 λ^{2} - 23 λ + 15$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1$

Langkah 7.1.1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

Langkah 7.1.1.3

Substitusikan $1$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $1$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.1

Substitusikan $1$ ke dalam polinomialnya.

$- 1^{3} + 9 \cdot 1^{2} - 23 \cdot 1 + 15$

Langkah 7.1.1.3.2

Naikkan $1$ menjadi pangkat $3$ .

$- 1 \cdot 1 + 9 \cdot 1^{2} - 23 \cdot 1 + 15$

Langkah 7.1.1.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1 + 9 \cdot 1^{2} - 23 \cdot 1 + 15$

Langkah 7.1.1.3.4

Naikkan $1$ menjadi pangkat $2$ .

$- 1 + 9 \cdot 1 - 23 \cdot 1 + 15$

Langkah 7.1.1.3.5

Kalikan $9$ dengan $1$ .

$- 1 + 9 - 23 \cdot 1 + 15$

Langkah 7.1.1.3.6

Tambahkan $- 1$ dan $9$ .

$8 - 23 \cdot 1 + 15$

Langkah 7.1.1.3.7

Kalikan $- 23$ dengan $1$ .

$8 - 23 + 15$

Langkah 7.1.1.3.8

Kurangi $23$ dengan $8$ .

$- 15 + 15$

Langkah 7.1.1.3.9

Tambahkan $- 15$ dan $15$ .

$0$

Langkah 7.1.1.4

Karena $1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $λ - 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{- λ^{3} + 9 λ^{2} - 23 λ + 15}{λ - 1}$

Langkah 7.1.1.5

Bagilah $- λ^{3} + 9 λ^{2} - 23 λ + 15$ dengan $λ - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$λ$

$1$

$λ^{3}$

$9 λ^{2}$

$23 λ$

$15$

Langkah 7.1.1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- λ^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$23 λ$	+	$15$

Langkah 7.1.1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$23 λ$	+	$15$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$

Langkah 7.1.1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- λ^{3} + λ^{2}$

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$23 λ$	+	$15$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$

Langkah 7.1.1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$23 λ$	+	$15$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$

Langkah 7.1.1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$23 λ$	+	$15$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	-	$23 λ$

Langkah 7.1.1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $8 λ^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$8 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$23 λ$	+	$15$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	-	$23 λ$

Langkah 7.1.1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

			-	$λ^{2}$	+	$8 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$23 λ$	+	$15$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	-	$23 λ$
					+	$8 λ^{2}$	-	$8 λ$

Langkah 7.1.1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $8 λ^{2} - 8 λ$

			-	$λ^{2}$	+	$8 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$23 λ$	+	$15$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	-	$23 λ$
					-	$8 λ^{2}$	+	$8 λ$

Langkah 7.1.1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

			-	$λ^{2}$	+	$8 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$23 λ$	+	$15$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	-	$23 λ$
					-	$8 λ^{2}$	+	$8 λ$
							-	$15 λ$

Langkah 7.1.1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

			-	$λ^{2}$	+	$8 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$23 λ$	+	$15$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	-	$23 λ$
					-	$8 λ^{2}$	+	$8 λ$
							-	$15 λ$	+	$15$

Langkah 7.1.1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 15 λ$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$8 λ$	-	$15$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$23 λ$	+	$15$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	-	$23 λ$
					-	$8 λ^{2}$	+	$8 λ$
							-	$15 λ$	+	$15$

Langkah 7.1.1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

			-	$λ^{2}$	+	$8 λ$	-	$15$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$23 λ$	+	$15$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	-	$23 λ$
					-	$8 λ^{2}$	+	$8 λ$
							-	$15 λ$	+	$15$
							-	$15 λ$	+	$15$

Langkah 7.1.1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 15 λ + 15$

			-	$λ^{2}$	+	$8 λ$	-	$15$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$23 λ$	+	$15$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	-	$23 λ$
					-	$8 λ^{2}$	+	$8 λ$
							-	$15 λ$	+	$15$
							+	$15 λ$	-	$15$

Langkah 7.1.1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

			-	$λ^{2}$	+	$8 λ$	-	$15$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$23 λ$	+	$15$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	-	$23 λ$
					-	$8 λ^{2}$	+	$8 λ$
							-	$15 λ$	+	$15$
							+	$15 λ$	-	$15$
										$0$

Langkah 7.1.1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$- λ^{2} + 8 λ - 15$

Langkah 7.1.1.6

Tulis $- λ^{3} + 9 λ^{2} - 23 λ + 15$ sebagai himpunan faktor.

$(λ - 1) (- λ^{2} + 8 λ - 15) = 0$

Langkah 7.1.2

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.1.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = - 1 \cdot - 15 = 15$ dan yang jumlahnya adalah $b = 8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.1.1.1

Faktorkan $8$ dari $8 λ$ .

$(λ - 1) (- λ^{2} + 8 (λ) - 15) = 0$

Langkah 7.1.2.1.1.2

Tulis kembali $8$ sebagai $3$ ditambah $5$

$(λ - 1) (- λ^{2} + (3 + 5) λ - 15) = 0$

Langkah 7.1.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$(λ - 1) (- λ^{2} + 3 λ + 5 λ - 15) = 0$

Langkah 7.1.2.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(λ - 1) ((- λ^{2} + 3 λ) + 5 λ - 15) = 0$

Langkah 7.1.2.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$(λ - 1) (λ (- λ + 3) - 5 (- λ + 3)) = 0$

Langkah 7.1.2.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $- λ + 3$ .

$(λ - 1) ((- λ + 3) (λ - 5)) = 0$

Langkah 7.1.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(λ - 1) (- λ + 3) (λ - 5) = 0$

Langkah 7.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$λ - 1 = 0$

$- λ + 3 = 0$

$λ - 5 = 0$

Langkah 7.3

Atur $λ - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Atur $λ - 1$ sama dengan $0$ .

$λ - 1 = 0$

Langkah 7.3.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$λ = 1$

Langkah 7.4

Atur $- λ + 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Atur $- λ + 3$ sama dengan $0$ .

$- λ + 3 = 0$

Langkah 7.4.2

Selesaikan $- λ + 3 = 0$ untuk $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.1

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- λ = - 3$

Langkah 7.4.2.2

Bagi setiap suku pada $- λ = - 3$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- λ = - 3$ dengan $- 1$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Langkah 7.4.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{λ}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Langkah 7.4.2.2.2.2

Bagilah $λ$ dengan $1$ .

$λ = \frac{- 3}{- 1}$

Langkah 7.4.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.2.3.1

Bagilah $- 3$ dengan $- 1$ .

$λ = 3$

Langkah 7.5

Atur $λ - 5$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Atur $λ - 5$ sama dengan $0$ .

$λ - 5 = 0$

Langkah 7.5.2

Tambahkan $5$ ke kedua sisi persamaan.

$λ = 5$

Langkah 7.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(λ - 1) (- λ + 3) (λ - 5) = 0$ benar.

$λ = 1, 3, 5$