Aljabar Linear Contoh

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}]$

Langkah 1

Gunakan rumus untuk menentukan persamaan karakteristik $p (λ)$ .

$p (λ) = determinan (A - λ I_{4})$

Langkah 2

Matriks satuan atau matriks satuan dengan ordo $4$ adalah matriks persegi $4 \times 4$ dengan bilangan satu di diagonal utama dan nol di elemen lainnya.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 3

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam $p (λ) = determinan (A - λ I_{4})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $[\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}]$ untuk $A$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] - λ I_{4})$

Langkah 3.2

Substitusikan $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ untuk $I_{4}$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Kalikan $- λ$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.2

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.2.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.3

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.3.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.4

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.4.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.4.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.5

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.5.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.5.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.7

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.7.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.7.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.8

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.8.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.8.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.9

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.9.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.9.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.10

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.10.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.10.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.11

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.12

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.12.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.12.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.13

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.13.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.13.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.14

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.14.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.14.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.15

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.15.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.15.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.16

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Langkah 4.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 + 0 & 2 + 0 & 11 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 - λ & 3 + 0 & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 2 - λ & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 & 2 + 0 & 11 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 - λ & 3 + 0 & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 2 - λ & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 & 2 & 11 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 - λ & 3 + 0 & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 2 - λ & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.3

Tambahkan $11$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 & 2 & 11 \\ 0 + 0 & - 1 - λ & 3 + 0 & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 2 - λ & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.4

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 - λ & 3 + 0 & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 2 - λ & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.5

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 - λ & 3 & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 2 - λ & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.6

Tambahkan $8$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 2 - λ & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.7

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & 0 + 0 & - 2 - λ & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.8

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 - λ & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.9

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 - λ & 4 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.10

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 - λ & 4 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.11

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 - λ & 4 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.12

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 - λ & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 - λ \end{array}]$

Langkah 5

Find the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Langkah 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Langkah 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$

Langkah 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$

Langkah 5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$

Langkah 5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$

Langkah 5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 & 11 \\ - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$

Langkah 5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & 2 & 11 \\ - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$

Langkah 5.1.9

The minor for $a_{41}$ is the determinant with row $4$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 & 11 \\ - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \end{array} |$

Langkah 5.1.10

Multiply element $a_{41}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & 2 & 11 \\ - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \end{array} |$

Langkah 5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & 2 & 11 \\ - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & 2 & 11 \\ - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \end{array} |$

Langkah 5.2

Kalikan $0$ dengan $| \begin{array}{c} 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 3 & 2 & 11 \\ - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & 2 & 11 \\ - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \end{array} |$

Langkah 5.3

Kalikan $0$ dengan $| \begin{array}{c} 3 & 2 & 11 \\ - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0 | \begin{array}{c} 3 & 2 & 11 \\ - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \end{array} |$

Langkah 5.4

Kalikan $0$ dengan $| \begin{array}{c} 3 & 2 & 11 \\ - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0$

Langkah 5.5

Evaluasi $| \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Langkah 5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Langkah 5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 - λ & 4 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$

Langkah 5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(- 1 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & 4 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$

Langkah 5.5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 8 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$

Langkah 5.5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & 8 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$

Langkah 5.5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 8 \\ - 2 - λ & 4 \end{array} |$

Langkah 5.5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & 8 \\ - 2 - λ & 4 \end{array} |$

Langkah 5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & 4 \\ 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & 8 \\ 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & 8 \\ - 2 - λ & 4 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Langkah 5.5.2

Kalikan $0$ dengan $| \begin{array}{c} 3 & 8 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & 4 \\ 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 3 & 8 \\ - 2 - λ & 4 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Langkah 5.5.3

Kalikan $0$ dengan $| \begin{array}{c} 3 & 8 \\ - 2 - λ & 4 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & 4 \\ 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Langkah 5.5.4

Evaluasi $| \begin{array}{c} - 2 - λ & 4 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) ((- 2 - λ) (2 - λ) + 0 \cdot 4) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Langkah 5.5.4.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.2.1.1

Perluas $(- 2 - λ) (2 - λ)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 2 (2 - λ) - λ (2 - λ) + 0 \cdot 4) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Langkah 5.5.4.2.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 2 \cdot 2 - 2 (- λ) - λ (2 - λ) + 0 \cdot 4) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Langkah 5.5.4.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 2 \cdot 2 - 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) + 0 \cdot 4) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Langkah 5.5.4.2.1.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.2.1.2.1.1

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 4 - 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) + 0 \cdot 4) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Langkah 5.5.4.2.1.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 4 + 2 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) + 0 \cdot 4) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Langkah 5.5.4.2.1.2.1.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 4 + 2 λ - 2 λ - λ (- λ) + 0 \cdot 4) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Langkah 5.5.4.2.1.2.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 4 + 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ + 0 \cdot 4) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Langkah 5.5.4.2.1.2.1.5

Kalikan $λ$ dengan $λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.2.1.2.1.5.1

Pindahkan $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 4 + 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) + 0 \cdot 4) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Langkah 5.5.4.2.1.2.1.5.2

Kalikan $λ$ dengan $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 4 + 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} + 0 \cdot 4) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Langkah 5.5.4.2.1.2.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 4 + 2 λ - 2 λ + 1 λ^{2} + 0 \cdot 4) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Langkah 5.5.4.2.1.2.1.7

Kalikan $λ^{2}$ dengan $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 4 + 2 λ - 2 λ + λ^{2} + 0 \cdot 4) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Langkah 5.5.4.2.1.2.2

Kurangi $2 λ$ dengan $2 λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 4 + 0 + λ^{2} + 0 \cdot 4) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Langkah 5.5.4.2.1.2.3

Tambahkan $- 4$ dan $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 4 + λ^{2} + 0 \cdot 4) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Langkah 5.5.4.2.1.3

Kalikan $0$ dengan $4$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 4 + λ^{2} + 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Langkah 5.5.4.2.2

Tambahkan $- 4 + λ^{2}$ dan $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 4 + λ^{2}) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Langkah 5.5.4.2.3

Susun kembali $- 4$ dan $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (λ^{2} - 4) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Langkah 5.5.5

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.5.1

Gabungkan suku balikan dalam $(- 1 - λ) (λ^{2} - 4) + 0 + 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.5.1.1

Tambahkan $(- 1 - λ) (λ^{2} - 4)$ dan $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (λ^{2} - 4) + 0) + 0 + 0 + 0$

Langkah 5.5.5.1.2

Tambahkan $(- 1 - λ) (λ^{2} - 4)$ dan $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (λ^{2} - 4)) + 0 + 0 + 0$

Langkah 5.5.5.2

Perluas $(- 1 - λ) (λ^{2} - 4)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.5.2.1

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (λ^{2} - 4) - λ (λ^{2} - 4)) + 0 + 0 + 0$

Langkah 5.5.5.2.2

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 λ^{2} - 1 \cdot - 4 - λ (λ^{2} - 4)) + 0 + 0 + 0$

Langkah 5.5.5.2.3

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 λ^{2} - 1 \cdot - 4 - λ \cdot λ^{2} - λ \cdot - 4) + 0 + 0 + 0$

Langkah 5.5.5.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.5.3.1

Tulis kembali $- 1 λ^{2}$ sebagai $- λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{2} - 1 \cdot - 4 - λ \cdot λ^{2} - λ \cdot - 4) + 0 + 0 + 0$

Langkah 5.5.5.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{2} + 4 - λ \cdot λ^{2} - λ \cdot - 4) + 0 + 0 + 0$

Langkah 5.5.5.3.3

Kalikan $λ$ dengan $λ^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.5.3.3.1

Pindahkan $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{2} + 4 - (λ^{2} λ) - λ \cdot - 4) + 0 + 0 + 0$

Langkah 5.5.5.3.3.2

Kalikan $λ^{2}$ dengan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.5.3.3.2.1

Naikkan $λ$ menjadi pangkat $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{2} + 4 - (λ^{2} λ^{1}) - λ \cdot - 4) + 0 + 0 + 0$

Langkah 5.5.5.3.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{2} + 4 - λ^{2 + 1} - λ \cdot - 4) + 0 + 0 + 0$

Langkah 5.5.5.3.3.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{2} + 4 - λ^{3} - λ \cdot - 4) + 0 + 0 + 0$

Langkah 5.5.5.3.4

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{2} + 4 - λ^{3} + 4 λ) + 0 + 0 + 0$

Langkah 5.5.5.4

Pindahkan $4$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{2} - λ^{3} + 4 λ + 4) + 0 + 0 + 0$

Langkah 5.5.5.5

Susun kembali $- λ^{2}$ dan $- λ^{3}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} - λ^{2} + 4 λ + 4) + 0 + 0 + 0$

Langkah 5.6

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Gabungkan suku balikan dalam $(1 - λ) (- λ^{3} - λ^{2} + 4 λ + 4) + 0 + 0 + 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.1

Tambahkan $(1 - λ) (- λ^{3} - λ^{2} + 4 λ + 4)$ dan $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} - λ^{2} + 4 λ + 4) + 0 + 0$

Langkah 5.6.1.2

Tambahkan $(1 - λ) (- λ^{3} - λ^{2} + 4 λ + 4)$ dan $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} - λ^{2} + 4 λ + 4) + 0$

Langkah 5.6.1.3

Tambahkan $(1 - λ) (- λ^{3} - λ^{2} + 4 λ + 4)$ dan $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} - λ^{2} + 4 λ + 4)$

Langkah 5.6.2

Perluas $(1 - λ) (- λ^{3} - λ^{2} + 4 λ + 4)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$p (λ) = 1 (- λ^{3}) + 1 (- λ^{2}) + 1 (4 λ) + 1 \cdot 4 - λ (- λ^{3}) - λ (- λ^{2}) - λ (4 λ) - λ \cdot 4$

Langkah 5.6.3

Gabungkan suku balikan dalam $1 (- λ^{3}) + 1 (- λ^{2}) + 1 (4 λ) + 1 \cdot 4 - λ (- λ^{3}) - λ (- λ^{2}) - λ (4 λ) - λ \cdot 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.3.1

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $1 (4 λ)$ dan $- λ \cdot 4$ .

$p (λ) = 1 (- λ^{3}) + 1 (- λ^{2}) + 1 \cdot 4 λ + 1 \cdot 4 - λ (- λ^{3}) - λ (- λ^{2}) - λ (4 λ) - 1 \cdot 4 λ$

Langkah 5.6.3.2

Kurangi $4 λ$ dengan $1 \cdot 4 λ$ .

$p (λ) = 1 (- λ^{3}) + 1 (- λ^{2}) + 1 \cdot 4 - λ (- λ^{3}) - λ (- λ^{2}) - λ (4 λ) + 0$

Langkah 5.6.3.3

Tambahkan $1 (- λ^{3}) + 1 (- λ^{2}) + 1 \cdot 4 - λ (- λ^{3}) - λ (- λ^{2}) - λ (4 λ)$ dan $0$ .

$p (λ) = 1 (- λ^{3}) + 1 (- λ^{2}) + 1 \cdot 4 - λ (- λ^{3}) - λ (- λ^{2}) - λ (4 λ)$

Langkah 5.6.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.4.1

Kalikan $- λ^{3}$ dengan $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 1 (- λ^{2}) + 1 \cdot 4 - λ (- λ^{3}) - λ (- λ^{2}) - λ (4 λ)$

Langkah 5.6.4.2

Kalikan $- λ^{2}$ dengan $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 1 \cdot 4 - λ (- λ^{3}) - λ (- λ^{2}) - λ (4 λ)$

Langkah 5.6.4.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 - λ (- λ^{3}) - λ (- λ^{2}) - λ (4 λ)$

Langkah 5.6.4.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (- λ^{2}) - λ (4 λ)$

Langkah 5.6.4.5

Kalikan $λ$ dengan $λ^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.4.5.1

Pindahkan $λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (- λ^{2}) - λ (4 λ)$

Langkah 5.6.4.5.2

Kalikan $λ^{3}$ dengan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.4.5.2.1

Naikkan $λ$ menjadi pangkat $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (- λ^{2}) - λ (4 λ)$

Langkah 5.6.4.5.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (- λ^{2}) - λ (4 λ)$

Langkah 5.6.4.5.3

Tambahkan $3$ dan $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (- λ^{2}) - λ (4 λ)$

Langkah 5.6.4.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 + 1 λ^{4} - λ (- λ^{2}) - λ (4 λ)$

Langkah 5.6.4.7

Kalikan $λ^{4}$ dengan $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 + λ^{4} - λ (- λ^{2}) - λ (4 λ)$

Langkah 5.6.4.8

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 + λ^{4} - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{2} - λ (4 λ)$

Langkah 5.6.4.9

Kalikan $λ$ dengan $λ^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.4.9.1

Pindahkan $λ^{2}$ .

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 + λ^{4} - 1 \cdot - 1 (λ^{2} λ) - λ (4 λ)$

Langkah 5.6.4.9.2

Kalikan $λ^{2}$ dengan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.4.9.2.1

Naikkan $λ$ menjadi pangkat $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 + λ^{4} - 1 \cdot - 1 (λ^{2} λ^{1}) - λ (4 λ)$

Langkah 5.6.4.9.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 + λ^{4} - 1 \cdot - 1 λ^{2 + 1} - λ (4 λ)$

Langkah 5.6.4.9.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 + λ^{4} - 1 \cdot - 1 λ^{3} - λ (4 λ)$

Langkah 5.6.4.10

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 + λ^{4} + 1 λ^{3} - λ (4 λ)$

Langkah 5.6.4.11

Kalikan $λ^{3}$ dengan $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 + λ^{4} + λ^{3} - λ (4 λ)$

Langkah 5.6.4.12

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 + λ^{4} + λ^{3} - 1 \cdot 4 λ \cdot λ$

Langkah 5.6.4.13

Kalikan $λ$ dengan $λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.4.13.1

Pindahkan $λ$ .

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 + λ^{4} + λ^{3} - 1 \cdot 4 (λ \cdot λ)$

Langkah 5.6.4.13.2

Kalikan $λ$ dengan $λ$ .

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 + λ^{4} + λ^{3} - 1 \cdot 4 λ^{2}$

Langkah 5.6.4.14

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 + λ^{4} + λ^{3} - 4 λ^{2}$

Langkah 5.6.5

Gabungkan suku balikan dalam $- λ^{3} - λ^{2} + 4 + λ^{4} + λ^{3} - 4 λ^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.5.1

Tambahkan $- λ^{3}$ dan $λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{2} + 4 + λ^{4} + 0 - 4 λ^{2}$

Langkah 5.6.5.2

Tambahkan $- λ^{2} + 4 + λ^{4}$ dan $0$ .

$p (λ) = - λ^{2} + 4 + λ^{4} - 4 λ^{2}$

Langkah 5.6.6

Kurangi $4 λ^{2}$ dengan $- λ^{2}$ .

$p (λ) = - 5 λ^{2} + 4 + λ^{4}$

Langkah 5.6.7

Pindahkan $4$ .

$p (λ) = - 5 λ^{2} + λ^{4} + 4$

Langkah 5.6.8

Susun kembali $- 5 λ^{2}$ dan $λ^{4}$ .

$p (λ) = λ^{4} - 5 λ^{2} + 4$

Langkah 6

Atur polinomial karakteristiknya agar sama dengan $0$ untuk menemukan nilai eigen $λ$ .

$λ^{4} - 5 λ^{2} + 4 = 0$

Langkah 7

Selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Substitusikan $u = λ^{2}$ ke dalam persamaan. Hal ini akan membuat rumus kuadrat tersebut mudah digunakan.

$u^{2} - 5 u + 4 = 0$

$u = λ^{2}$

Langkah 7.2

Faktorkan $u^{2} - 5 u + 4$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $4$ dan jumlahnya $- 5$ .

$- 4, - 1$

Langkah 7.2.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(u - 4) (u - 1) = 0$

Langkah 7.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$u - 4 = 0$

$u - 1 = 0$

Langkah 7.4

Atur $u - 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Atur $u - 4$ sama dengan $0$ .

$u - 4 = 0$

Langkah 7.4.2

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$u = 4$

Langkah 7.5

Atur $u - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Atur $u - 1$ sama dengan $0$ .

$u - 1 = 0$

Langkah 7.5.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$u = 1$

Langkah 7.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(u - 4) (u - 1) = 0$ benar.

$u = 4, 1$

Langkah 7.7

Substitusikan kembali nilai riil dari $u = λ^{2}$ ke dalam persamaan yang diselesaikan.

$λ^{2} = 4$

${(λ^{2})}^{1} = 1$

Langkah 7.8

Selesaikan persamaan pertama untuk $λ$ .

$λ^{2} = 4$

Langkah 7.9

Selesaikan persamaan untuk $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{4}$

Langkah 7.9.2

Sederhanakan $\pm \sqrt{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.9.2.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$λ = \pm \sqrt{2^{2}}$

Langkah 7.9.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$λ = \pm 2$

Langkah 7.9.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.9.3.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$λ = 2$

Langkah 7.9.3.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$λ = - 2$

Langkah 7.9.3.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$λ = 2, - 2$

Langkah 7.10

Selesaikan persamaan kedua untuk $λ$ .

${(λ^{2})}^{1} = 1$

Langkah 7.11

Selesaikan persamaan untuk $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.11.1

Hilangkan tanda kurung.

$λ^{2} = 1$

Langkah 7.11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{1}$

Langkah 7.11.3

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$λ = \pm 1$

Langkah 7.11.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.11.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$λ = 1$

Langkah 7.11.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$λ = - 1$

Langkah 7.11.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$λ = 1, - 1$

Langkah 7.12

Penyelesaian untuk $λ^{4} - 5 λ^{2} + 4 = 0$ adalah $λ = 2, - 2, 1, - 1$ .

$λ = 2, - 2, 1, - 1$