Aljabar Linear Contoh

$16 x^{2} + 9 y^{2} = 144$

Langkah 1

Kurangkan $16 x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$9 y^{2} = 144 - 16 x^{2}$

Langkah 2

Bagi setiap suku pada $9 y^{2} = 144 - 16 x^{2}$ dengan $9$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Bagilah setiap suku di $9 y^{2} = 144 - 16 x^{2}$ dengan $9$ .

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{144}{9} + \frac{- 16 x^{2}}{9}$

Langkah 2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{144}{9} + \frac{- 16 x^{2}}{9}$

Langkah 2.2.1.2

Bagilah $y^{2}$ dengan $1$ .

$y^{2} = \frac{144}{9} + \frac{- 16 x^{2}}{9}$

Langkah 2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Bagilah $144$ dengan $9$ .

$y^{2} = 16 + \frac{- 16 x^{2}}{9}$

Langkah 2.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y^{2} = 16 - \frac{16 x^{2}}{9}$

Langkah 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{16 - \frac{16 x^{2}}{9}}$

Langkah 4

Sederhanakan $\pm \sqrt{16 - \frac{16 x^{2}}{9}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis pernyataannya menggunakan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{4^{2} - \frac{16 x^{2}}{9}}$

Langkah 4.1.2

Tulis kembali $\frac{16 x^{2}}{9}$ sebagai ${(\frac{4 x}{3})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{4^{2} - {(\frac{4 x}{3})}^{2}}$

Langkah 4.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 4$ dan $b = \frac{4 x}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(4 + \frac{4 x}{3}) (4 - \frac{4 x}{3})}$

Langkah 4.3

Untuk menuliskan $4$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(4 \cdot \frac{3}{3} + \frac{4 x}{3}) (4 - \frac{4 x}{3})}$

Langkah 4.4

Gabungkan $4$ dan $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{4 x}{3}) (4 - \frac{4 x}{3})}$

Langkah 4.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 \cdot 3 + 4 x}{3} (4 - \frac{4 x}{3})}$

Langkah 4.6

Faktorkan $4$ dari $4 \cdot 3 + 4 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Faktorkan $4$ dari $4 \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3) + 4 x}{3} (4 - \frac{4 x}{3})}$

Langkah 4.6.2

Faktorkan $4$ dari $4 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3) + 4 (x)}{3} (4 - \frac{4 x}{3})}$

Langkah 4.6.3

Faktorkan $4$ dari $4 (3) + 4 (x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} (4 - \frac{4 x}{3})}$

Langkah 4.7

Untuk menuliskan $4$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} (4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4 x}{3})}$

Langkah 4.8

Gabungkan $4$ dan $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} (\frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{4 x}{3})}$

Langkah 4.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} \cdot \frac{4 \cdot 3 - 4 x}{3}}$

Langkah 4.10

Faktorkan $4$ dari $4 \cdot 3 - 4 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.1

Faktorkan $4$ dari $4 \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} \cdot \frac{4 (3) - 4 x}{3}}$

Langkah 4.10.2

Faktorkan $4$ dari $- 4 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} \cdot \frac{4 (3) + 4 (- x)}{3}}$

Langkah 4.10.3

Faktorkan $4$ dari $4 (3) + 4 (- x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} \cdot \frac{4 (3 - x)}{3}}$

Langkah 4.11

Kalikan $\frac{4 (3 + x)}{3}$ dengan $\frac{4 (3 - x)}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x) (4 (3 - x))}{3 \cdot 3}}$

Langkah 4.12

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.12.1

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (3 + x) (3 - x)}{3 \cdot 3}}$

Langkah 4.12.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (3 + x) (3 - x)}{9}}$

Langkah 4.13

Tulis kembali $\frac{16 (3 + x) (3 - x)}{9}$ sebagai ${(\frac{2^{2}}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.13.1

Faktorkan kuadrat sempurna ${(2^{2})}^{2}$ dari $16 (3 + x) (3 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((3 + x) (3 - x))}{9}}$

Langkah 4.13.2

Faktorkan kuadrat sempurna $3^{2}$ dari $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}}$

Langkah 4.13.3

Susun kembali pecahan $\frac{{(2^{2})}^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{2^{2}}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))}$

Langkah 4.14

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \pm \frac{2^{2}}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

Langkah 4.15

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \pm \frac{4}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

Langkah 4.16

Gabungkan $\frac{4}{3}$ dan $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ .

$y = \pm \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

Langkah 5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

Langkah 5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

Langkah 5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = - \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = - \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

Langkah 6

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$(3 + x) (3 - x) \geq 0$

Langkah 7

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$3 + x = 0$

$3 - x = 0$

Langkah 7.2

Atur $3 + x$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Atur $3 + x$ sama dengan $0$ .

$3 + x = 0$

Langkah 7.2.2

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 3$

Langkah 7.3

Atur $3 - x$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Atur $3 - x$ sama dengan $0$ .

$3 - x = 0$

Langkah 7.3.2

Selesaikan $3 - x = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x = - 3$

Langkah 7.3.2.2

Bagi setiap suku pada $- x = - 3$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- x = - 3$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Langkah 7.3.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Langkah 7.3.2.2.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Langkah 7.3.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.2.3.1

Bagilah $- 3$ dengan $- 1$ .

$x = 3$

Langkah 7.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(3 + x) (3 - x) \geq 0$ benar.

$x = - 3, 3$

Langkah 7.5

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$x > 3$

Langkah 7.6

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.1

Uji nilai pada interval $x < - 3$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 3$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 6$

Langkah 7.6.1.2

Ganti $x$ dengan $- 6$ pada pertidaksamaan asal.

$(3 - 6) (3 - (- 6)) \geq 0$

Langkah 7.6.1.3

Sisi kiri $- 27$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 7.6.2

Uji nilai pada interval $- 3 < x < 3$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.2.1

Pilih nilai pada interval $- 3 < x < 3$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 7.6.2.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

$(3 + 0) (3 - (0)) \geq 0$

Langkah 7.6.2.3

Sisi kiri $9$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 7.6.3

Uji nilai pada interval $x > 3$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.3.1

Pilih nilai pada interval $x > 3$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 6$

Langkah 7.6.3.2

Ganti $x$ dengan $6$ pada pertidaksamaan asal.

$(3 + 6) (3 - (6)) \geq 0$

Langkah 7.6.3.3

Sisi kiri $- 27$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 7.6.4

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 3$ Salah

$- 3 < x < 3$ Benar

$x > 3$ Salah

$x < - 3$ Salah

$- 3 < x < 3$ Benar

$x > 3$ Salah

Langkah 7.7

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$- 3 \leq x \leq 3$

Langkah 8

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$[- 3, 3]$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | - 3 \leq x \leq 3}$

Langkah 9