Aljabar Linear Contoh

$[\begin{array}{c} 2 & 2 \\ - 1 + 3 i & - 1 - 3 i \end{array}]$

Langkah 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Langkah 2

Find the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 (- 1 - 3 i) - (- 1 + 3 i) \cdot 2$

Langkah 2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$2 \cdot - 1 + 2 (- 3 i) - (- 1 + 3 i) \cdot 2$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 + 2 (- 3 i) - (- 1 + 3 i) \cdot 2$

Langkah 2.2.1.3

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$- 2 - 6 i - (- 1 + 3 i) \cdot 2$

Langkah 2.2.1.4

Terapkan sifat distributif.

$- 2 - 6 i + (- - 1 - (3 i)) \cdot 2$

Langkah 2.2.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- 2 - 6 i + (1 - (3 i)) \cdot 2$

Langkah 2.2.1.6

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$- 2 - 6 i + (1 - 3 i) \cdot 2$

Langkah 2.2.1.7

Terapkan sifat distributif.

$- 2 - 6 i + 1 \cdot 2 - 3 i \cdot 2$

Langkah 2.2.1.8

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$- 2 - 6 i + 2 - 3 i \cdot 2$

Langkah 2.2.1.9

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$- 2 - 6 i + 2 - 6 i$

Langkah 2.2.2

Tambahkan $- 2$ dan $2$ .

$0 - 6 i - 6 i$

Langkah 2.2.3

Kurangi $6 i$ dengan $0$ .

$- 6 i - 6 i$

Langkah 2.2.4

Kurangi $6 i$ dengan $- 6 i$ .

$- 12 i$

Langkah 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Langkah 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 12 i} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

Langkah 5

Kalikan pembilang dan penyebut dari $\frac{1}{- 12 i}$ dengan konjugat $- 12 i$ untuk membuat penyebutnya riil.

$\frac{1}{- 12 i} \cdot \frac{i}{i} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

Langkah 6

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gabungkan.

$\frac{1 i}{- 12 i i} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

Langkah 6.2

Kalikan $i$ dengan $1$ .

$\frac{i}{- 12 i i} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

Langkah 6.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Tambahkan tanda kurung.

$\frac{i}{- 12 (i i)} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

Langkah 6.3.2

Naikkan $i$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{i}{- 12 (i^{1} i)} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

Langkah 6.3.3

Naikkan $i$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{i}{- 12 (i^{1} i^{1})} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

Langkah 6.3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{i}{- 12 i^{1 + 1}} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

Langkah 6.3.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{i}{- 12 i^{2}} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

Langkah 6.3.6

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$\frac{i}{- 12 \cdot - 1} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

Langkah 7

Kalikan $- 12$ dengan $- 1$ .

$\frac{i}{12} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

Langkah 8

Terapkan sifat distributif.

$\frac{i}{12} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - - 1 - (3 i) & 2 \end{array}]$

Langkah 9

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{i}{12} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ 1 - (3 i) & 2 \end{array}]$

Langkah 10

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{i}{12} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ 1 - 3 i & 2 \end{array}]$

Langkah 11

Kalikan $\frac{i}{12}$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$[\begin{array}{c} \frac{i}{12} (- 1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 12

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Terapkan sifat distributif.

$[\begin{array}{c} \frac{i}{12} \cdot - 1 + \frac{i}{12} (- 3 i) & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 12.2

Gabungkan $\frac{i}{12}$ dan $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} + \frac{i}{12} (- 3 i) & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 12.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Faktorkan $3$ dari $12$ .

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} + \frac{i}{3 (4)} (- 3 i) & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 12.3.2

Faktorkan $3$ dari $- 3 i$ .

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} + \frac{i}{3 (4)} (3 (- i)) & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 12.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} + \frac{i}{3 \cdot 4} (3 (- i)) & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 12.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} + \frac{i}{4} (- i) & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 12.4

Gabungkan $\frac{i}{4}$ dan $i$ .

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} - \frac{i i}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 12.5

Naikkan $i$ menjadi pangkat $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} - \frac{i^{1} i}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 12.6

Naikkan $i$ menjadi pangkat $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} - \frac{i^{1} i^{1}}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 12.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} - \frac{i^{1 + 1}}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 12.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} - \frac{i^{2}}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 12.9

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.9.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.9.1.1

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $i$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 \cdot i}{12} - \frac{i^{2}}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 12.9.1.2

Tulis kembali $- 1 i$ sebagai $- i$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- i}{12} - \frac{i^{2}}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 12.9.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$[\begin{array}{c} - \frac{i}{12} - \frac{i^{2}}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 12.9.3

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{i}{12} - \frac{- 1}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 12.9.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$[\begin{array}{c} - \frac{i}{12} - - \frac{1}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 12.9.5

Kalikan $- - \frac{1}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.9.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{i}{12} + 1 (\frac{1}{4}) & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 12.9.5.2

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{i}{12} + \frac{1}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 12.10

Susun kembali $- \frac{i}{12}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 12.11

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.11.1

Faktorkan $2$ dari $12$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & \frac{i}{2 (6)} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 12.11.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & \frac{i}{2 \cdot 6} \cdot (2 \cdot - 1) \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 12.11.3

Batalkan faktor persekutuan.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & \frac{i}{2 \cdot 6} \cdot (2 \cdot - 1) \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 12.11.4

Tulis kembali pernyataannya.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & \frac{i}{6} \cdot - 1 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 12.12

Gabungkan $\frac{i}{6}$ dan $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & \frac{i \cdot - 1}{6} \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 12.13

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.13.1

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $i$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & \frac{- 1 \cdot i}{6} \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 12.13.2

Tulis kembali $- 1 i$ sebagai $- i$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & \frac{- i}{6} \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 12.14

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 12.15

Terapkan sifat distributif.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} \cdot 1 + \frac{i}{12} (- 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 12.16

Kalikan $\frac{i}{12}$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} + \frac{i}{12} (- 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 12.17

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.17.1

Faktorkan $3$ dari $12$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} + \frac{i}{3 (4)} (- 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 12.17.2

Faktorkan $3$ dari $- 3 i$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} + \frac{i}{3 (4)} (3 (- i)) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 12.17.3

Batalkan faktor persekutuan.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} + \frac{i}{3 \cdot 4} (3 (- i)) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 12.17.4

Tulis kembali pernyataannya.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} + \frac{i}{4} (- i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 12.18

Gabungkan $\frac{i}{4}$ dan $i$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} - \frac{i i}{4} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 12.19

Naikkan $i$ menjadi pangkat $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} - \frac{i^{1} i}{4} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 12.20

Naikkan $i$ menjadi pangkat $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} - \frac{i^{1} i^{1}}{4} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 12.21

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} - \frac{i^{1 + 1}}{4} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 12.22

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} - \frac{i^{2}}{4} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 12.23

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.23.1

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} - \frac{- 1}{4} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 12.23.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} - - \frac{1}{4} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 12.23.3

Kalikan $- - \frac{1}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.23.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} + 1 (\frac{1}{4}) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 12.23.3.2

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} + \frac{1}{4} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 12.24

Susun kembali $\frac{i}{12}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{1}{4} + \frac{i}{12} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 12.25

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.25.1

Faktorkan $2$ dari $12$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{1}{4} + \frac{i}{12} & \frac{i}{2 (6)} \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 12.25.2

Batalkan faktor persekutuan.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{1}{4} + \frac{i}{12} & \frac{i}{2 \cdot 6} \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 12.25.3

Tulis kembali pernyataannya.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{1}{4} + \frac{i}{12} & \frac{i}{6} \end{array}]$