Aljabar Linear Contoh

$[\begin{array}{c} p & 1 & 1 \\ q & 1 & q \\ 1 & 1 & p \end{array}]$

Langkah 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Langkah 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Langkah 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & p \end{array} |$

Langkah 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$p | \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & p \end{array} |$

Langkah 1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & p \end{array} |$

Langkah 1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & p \end{array} |$

Langkah 1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Langkah 1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Langkah 1.9

Add the terms together.

$p | \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & p \end{array} | - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & p \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Langkah 2

Evaluasi $| \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & p \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (1 p - q) - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & p \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Langkah 2.2

Kalikan $p$ dengan $1$ .

$p (p - q) - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & p \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Langkah 3

Evaluasi $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & p \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (p - q) - q (1 p - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Kalikan $p$ dengan $1$ .

$p (p - q) - q (p - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Langkah 3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (p - q) - q (p - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Langkah 4

Evaluasi $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (p - q) - q (p - 1) + 1 (1 q - 1 \cdot 1)$

Langkah 4.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kalikan $q$ dengan $1$ .

$p (p - q) - q (p - 1) + 1 (q - 1 \cdot 1)$

Langkah 4.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (p - q) - q (p - 1) + 1 (q - 1)$

Langkah 5

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Terapkan sifat distributif.

$p \cdot p + p (- q) - q (p - 1) + 1 (q - 1)$

Langkah 5.1.2

Kalikan $p$ dengan $p$ .

$p^{2} + p (- q) - q (p - 1) + 1 (q - 1)$

Langkah 5.1.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p^{2} - p q - q (p - 1) + 1 (q - 1)$

Langkah 5.1.4

Terapkan sifat distributif.

$p^{2} - p q - q p - q \cdot - 1 + 1 (q - 1)$

Langkah 5.1.5

Kalikan $- q \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$p^{2} - p q - q p + 1 q + 1 (q - 1)$

Langkah 5.1.5.2

Kalikan $q$ dengan $1$ .

$p^{2} - p q - q p + q + 1 (q - 1)$

Langkah 5.1.6

Kalikan $q - 1$ dengan $1$ .

$p^{2} - p q - q p + q + q - 1$

Langkah 5.2

Kurangi $q p$ dengan $- p q$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Pindahkan $q$ .

$p^{2} - p q - 1 p q + q + q - 1$

Langkah 5.2.2

Kurangi $p q$ dengan $- p q$ .

$p^{2} - 2 p q + q + q - 1$

Langkah 5.3

Tambahkan $q$ dan $q$ .

$p^{2} - 2 p q + 2 q - 1$