Aljabar Linear Contoh

$[\begin{array}{c} - 3 i & 2 j & 4 k \\ 5 i & 1 j & 6 k \\ 2 i & 3 j & 1 k \end{array}]$

Langkah 1

Kalikan $j$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 i & 2 j & 4 k \\ 5 i & j & 6 k \\ 2 i & 3 j & 1 k \end{array}]$

Langkah 2

Kalikan $k$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 i & 2 j & 4 k \\ 5 i & j & 6 k \\ 2 i & 3 j & k \end{array}]$

Langkah 3

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Langkah 3.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Langkah 3.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} j & 6 k \\ 3 j & k \end{array} |$

Langkah 3.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- 3 i | \begin{array}{c} j & 6 k \\ 3 j & k \end{array} |$

Langkah 3.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 i & 6 k \\ 2 i & k \end{array} |$

Langkah 3.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 2 j | \begin{array}{c} 5 i & 6 k \\ 2 i & k \end{array} |$

Langkah 3.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 i & j \\ 2 i & 3 j \end{array} |$

Langkah 3.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$4 k | \begin{array}{c} 5 i & j \\ 2 i & 3 j \end{array} |$

Langkah 3.9

Add the terms together.

$- 3 i | \begin{array}{c} j & 6 k \\ 3 j & k \end{array} | - 2 j | \begin{array}{c} 5 i & 6 k \\ 2 i & k \end{array} | + 4 k | \begin{array}{c} 5 i & j \\ 2 i & 3 j \end{array} |$

Langkah 4

Evaluasi $| \begin{array}{c} j & 6 k \\ 3 j & k \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3 i (j k - 3 j (6 k)) - 2 j | \begin{array}{c} 5 i & 6 k \\ 2 i & k \end{array} | + 4 k | \begin{array}{c} 5 i & j \\ 2 i & 3 j \end{array} |$

Langkah 4.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- 3 i (j k - 3 \cdot 6 j k) - 2 j | \begin{array}{c} 5 i & 6 k \\ 2 i & k \end{array} | + 4 k | \begin{array}{c} 5 i & j \\ 2 i & 3 j \end{array} |$

Langkah 4.2.1.2

Kalikan $- 3$ dengan $6$ .

$- 3 i (j k - 18 j k) - 2 j | \begin{array}{c} 5 i & 6 k \\ 2 i & k \end{array} | + 4 k | \begin{array}{c} 5 i & j \\ 2 i & 3 j \end{array} |$

Langkah 4.2.2

Kurangi $18 j k$ dengan $j k$ .

$- 3 i (- 17 j k) - 2 j | \begin{array}{c} 5 i & 6 k \\ 2 i & k \end{array} | + 4 k | \begin{array}{c} 5 i & j \\ 2 i & 3 j \end{array} |$

Langkah 5

Evaluasi $| \begin{array}{c} 5 i & 6 k \\ 2 i & k \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3 i (- 17 j k) - 2 j (5 i k - 2 i (6 k)) + 4 k | \begin{array}{c} 5 i & j \\ 2 i & 3 j \end{array} |$

Langkah 5.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kalikan $6$ dengan $- 2$ .

$- 3 i (- 17 j k) - 2 j (5 i k - 12 i k) + 4 k | \begin{array}{c} 5 i & j \\ 2 i & 3 j \end{array} |$

Langkah 5.2.2

Kurangi $12 i k$ dengan $5 i k$ .

$- 3 i (- 17 j k) - 2 j (- 7 i k) + 4 k | \begin{array}{c} 5 i & j \\ 2 i & 3 j \end{array} |$

Langkah 6

Evaluasi $| \begin{array}{c} 5 i & j \\ 2 i & 3 j \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3 i (- 17 j k) - 2 j (- 7 i k) + 4 k (5 i (3 j) - 2 i j)$

Langkah 6.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$- 3 i (- 17 j k) - 2 j (- 7 i k) + 4 k (15 i j - 2 i j)$

Langkah 6.2.2

Kurangi $2 i j$ dengan $15 i j$ .

$- 3 i (- 17 j k) - 2 j (- 7 i k) + 4 k (13 i j)$

Langkah 7

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Kalikan $- 17$ dengan $- 3$ .

$51 i (j k) - 2 j (- 7 i k) + 4 k (13 i j)$

Langkah 7.1.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$51 i j k - 2 \cdot - 7 i j k + 4 k (13 i j)$

Langkah 7.1.3

Kalikan $- 2$ dengan $- 7$ .

$51 i j k + 14 i j k + 4 k (13 i j)$

Langkah 7.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$51 i j k + 14 i j k + 4 \cdot 13 i k j$

Langkah 7.1.5

Kalikan $4$ dengan $13$ .

$51 i j k + 14 i j k + 52 i k j$

Langkah 7.2

Tambahkan $51 i j k$ dan $14 i j k$ .

$65 i j k + 52 i k j$

Langkah 7.3

Pindahkan $k$ .

$65 j k i + 52 j k i$

Langkah 7.4

Tambahkan $65 j k i$ dan $52 j k i$ .

$117 j k i$