Aljabar Linear Contoh

$2 x + 6 y - 4 z = 0$ , $- 3 x - 9 y + 8 z = 0$ , $- x - 2 y + z = 0$

Langkah 1

Tulis sistem persamaan tersebut dalam bentuk matriks.

$[\begin{array}{c} 2 & 6 & - 4 & 0 \\ - 3 & - 9 & 8 & 0 \\ - 1 & - 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 2

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{6}{2} & \frac{- 4}{2} & \frac{0}{2} \\ - 3 & - 9 & 8 & 0 \\ - 1 & - 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & - 2 & 0 \\ - 3 & - 9 & 8 & 0 \\ - 1 & - 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & - 2 & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & - 9 + 3 \cdot 3 & 8 + 3 \cdot - 2 & 0 + 3 \cdot 0 \\ - 1 & - 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ - 1 & - 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & - 2 + 1 \cdot 3 & 1 - 2 & 0 + 0 \end{array}]$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 2.4

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & - 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

Langkah 2.5

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & - 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} \end{array}]$

Langkah 2.5.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & - 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 2.6

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & - 2 & 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 2.6.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & - 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 2.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 2 R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 2 R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 2 \cdot 0 & 3 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & 0 + 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 2.7.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 2.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 3 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 3 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 2.8.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3

Gunakan matriks hasil untuk menyatakan penyelesaian akhir untuk sistem persamaan tersebut.

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

Langkah 4

Penyelesaiannya adalah himpunan pasangan terurut yang membuat sistem tersebut benar.

$(0, 0, 0)$

Langkah 5

Menguraikan vektor penyelesaian dengan menata ulang setiap persamaan yang diwakilkan dalam bentuk pengurangan-baris dari matriks imbuhan dengan menyelesaikan variabel terikat di setiap baris sehingga menghasilkan persamaan vektor.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$