Aljabar Linear Contoh

$5 a + 3 b = 35$ , $\frac{a}{b} = \frac{2}{5}$

Langkah 1

Tulis sistem persamaan tersebut dalam bentuk matriks.

$[\begin{array}{c} 5 & 3 & 35 \\ \frac{1}{b} & 0 & \frac{2}{5} \end{array}]$

Langkah 2

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{5} & \frac{3}{5} & \frac{35}{5} \\ \frac{1}{b} & 0 & \frac{2}{5} \end{array}]$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5} & 7 \\ \frac{1}{b} & 0 & \frac{2}{5} \end{array}]$

Langkah 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{b} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{b} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5} & 7 \\ \frac{1}{b} - \frac{1}{b} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{b} \cdot \frac{3}{5} & \frac{2}{5} - \frac{1}{b} \cdot 7 \end{array}]$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5} & 7 \\ 0 & - \frac{3}{5 b} & \frac{2}{5} - \frac{7}{b} \end{array}]$

Langkah 2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{5 b}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{5 b}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5} & 7 \\ - \frac{5 b}{3} \cdot 0 & - \frac{5 b}{3} (- \frac{3}{5 b}) & - \frac{5 b}{3} (\frac{2}{5} - \frac{7}{b}) \end{array}]$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5} & 7 \\ 0 & 1 & - \frac{2 b}{3} + \frac{35}{3} \end{array}]$

Langkah 2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{5} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{5} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3}{5} \cdot 0 & \frac{3}{5} - \frac{3}{5} \cdot 1 & 7 - \frac{3}{5} (- \frac{2 b}{3} + \frac{35}{3}) \\ 0 & 1 & - \frac{2 b}{3} + \frac{35}{3} \end{array}]$

Langkah 2.4.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{2 b}{5} \\ 0 & 1 & - \frac{2 b}{3} + \frac{35}{3} \end{array}]$

Langkah 3

Gunakan matriks hasil untuk menyatakan penyelesaian akhir untuk sistem persamaan tersebut.

$a = \frac{2 b}{5}$

$b = - \frac{2 b}{3} + \frac{35}{3}$

Langkah 4

Selesaikan persamaan untuk $b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Pindahkan semua suku yang mengandung $b$ ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Tambahkan $\frac{2 b}{3}$ ke kedua sisi persamaan.

$b + \frac{2 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

Langkah 4.1.2

Untuk menuliskan $b$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$b \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

Langkah 4.1.3

Gabungkan $b$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{b \cdot 3}{3} + \frac{2 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

Langkah 4.1.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{b \cdot 3 + 2 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

Langkah 4.1.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.1

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $b$ .

$\frac{3 \cdot b + 2 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

Langkah 4.1.5.2

Tambahkan $3 b$ dan $2 b$ .

$\frac{5 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

$\frac{5 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

$\frac{5 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

Langkah 4.2

Karena pernyataan pada setiap sisi persamaan mempunyai penyebut yang sama, maka pembilangnya harus sama.

$5 b = 35$

$a = \frac{2 b}{5}$

Langkah 4.3

Bagi setiap suku pada $5 b = 35$ dengan $5$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Bagilah setiap suku di $5 b = 35$ dengan $5$ .

$\frac{5 b}{5} = \frac{35}{5}$

$a = \frac{2 b}{5}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 b}{5} = \frac{35}{5}$

$a = \frac{2 b}{5}$

Langkah 4.3.2.1.2

Bagilah $b$ dengan $1$ .

$b = \frac{35}{5}$

$a = \frac{2 b}{5}$

$b = \frac{35}{5}$

$a = \frac{2 b}{5}$

$b = \frac{35}{5}$

$a = \frac{2 b}{5}$

Langkah 4.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Bagilah $35$ dengan $5$ .

$b = 7$

$a = \frac{2 b}{5}$

$b = 7$

$a = \frac{2 b}{5}$

$b = 7$

$a = \frac{2 b}{5}$

$b = 7$

$a = \frac{2 b}{5}$

Langkah 5

Penyelesaiannya adalah himpunan pasangan terurut yang membuat sistem tersebut benar.

$(\frac{2 b}{5}, 7)$

Langkah 6

Menguraikan vektor penyelesaian dengan menata ulang setiap persamaan yang diwakilkan dalam bentuk pengurangan-baris dari matriks imbuhan dengan menyelesaikan variabel terikat di setiap baris sehingga menghasilkan persamaan vektor.

$X = [\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{2 b}{5} \\ 7 \end{array}]$