Aljabar Linear Contoh

$w + x - y + z = - 10$ , $4 w - x + y - z = 5$ , $- w - 6 x + y - 6 z = 5$

Langkah 1

Tulis sistem persamaan tersebut dalam bentuk matriks.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 & 1 & - 10 \\ 4 & - 1 & 1 & - 1 & 5 \\ - 1 & - 6 & 1 & - 6 & 5 \end{array}]$

Langkah 2

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 & 1 & - 10 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 1 - 4 \cdot 1 & 1 - 4 \cdot - 1 & - 1 - 4 \cdot 1 & 5 - 4 \cdot - 10 \\ - 1 & - 6 & 1 & - 6 & 5 \end{array}]$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 & 1 & - 10 \\ 0 & - 5 & 5 & - 5 & 45 \\ - 1 & - 6 & 1 & - 6 & 5 \end{array}]$

Langkah 2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 & 1 & - 10 \\ 0 & - 5 & 5 & - 5 & 45 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & - 6 + 1 \cdot 1 & 1 - 1 & - 6 + 1 \cdot 1 & 5 - 10 \end{array}]$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 & 1 & - 10 \\ 0 & - 5 & 5 & - 5 & 45 \\ 0 & - 5 & 0 & - 5 & - 5 \end{array}]$

Langkah 2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 & 1 & - 10 \\ - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot 5 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot 45 \\ 0 & - 5 & 0 & - 5 & - 5 \end{array}]$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 & 1 & - 10 \\ 0 & 1 & - 1 & 1 & - 9 \\ 0 & - 5 & 0 & - 5 & - 5 \end{array}]$

Langkah 2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 5 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 5 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 & 1 & - 10 \\ 0 & 1 & - 1 & 1 & - 9 \\ 0 + 5 \cdot 0 & - 5 + 5 \cdot 1 & 0 + 5 \cdot - 1 & - 5 + 5 \cdot 1 & - 5 + 5 \cdot - 9 \end{array}]$

Langkah 2.4.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 & 1 & - 10 \\ 0 & 1 & - 1 & 1 & - 9 \\ 0 & 0 & - 5 & 0 & - 50 \end{array}]$

Langkah 2.5

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{1}{5}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{1}{5}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 & 1 & - 10 \\ 0 & 1 & - 1 & 1 & - 9 \\ - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot - 50 \end{array}]$

Langkah 2.5.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 & 1 & - 10 \\ 0 & 1 & - 1 & 1 & - 9 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 10 \end{array}]$

Langkah 2.6

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 & 1 & - 10 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 1 + 0 & - 9 + 1 \cdot 10 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 10 \end{array}]$

Langkah 2.6.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 & 1 & - 10 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 10 \end{array}]$

Langkah 2.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 1 + 0 & - 10 + 1 \cdot 10 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 10 \end{array}]$

Langkah 2.7.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 10 \end{array}]$

Langkah 2.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 10 \end{array}]$

Langkah 2.8.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 10 \end{array}]$

Langkah 3

Gunakan matriks hasil untuk menyatakan penyelesaian akhir untuk sistem persamaan tersebut.

$w = - 1$

$x + z = 1$

$y = 10$

Langkah 4

Kurangkan $z$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = 1 - z$

$w = - 1$

$y = 10$

Langkah 5

Penyelesaiannya adalah himpunan pasangan terurut yang membuat sistem tersebut benar.

$(- 1, 1 - z, 10, z)$

Langkah 6

Menguraikan vektor penyelesaian dengan menata ulang setiap persamaan yang diwakilkan dalam bentuk pengurangan-baris dari matriks imbuhan dengan menyelesaikan variabel terikat di setiap baris sehingga menghasilkan persamaan vektor.

$X = [\begin{array}{c} w \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 - z \\ 10 \\ z \end{array}]$