Aljabar Linear Contoh

$x + 3 y + z = a$ , $x - 2 y + z = b$ , $3 x + 7 y - z = c$

Langkah 1

Kurangkan $a$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x + 3 y + z - a = 0, x - 2 y + z = b, 3 x + 7 y - z = c$

Langkah 2

Kurangkan $b$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x + 3 y + z - a = 0, x - 2 y + z - b = 0, 3 x + 7 y - z = c$

Langkah 3

Kurangkan $c$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x + 3 y + z - a = 0, x - 2 y + z - b = 0, 3 x + 7 y - z - c = 0$

Langkah 4

Tulis sistem persamaan tersebut dalam bentuk matriks.

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 3 & 7 & - 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 5

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 0 & - 0 & - 1 \cdot 1 & - 1 \cdot 3 & - 1 \cdot 1 & - 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 3 & 7 & - 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 5.1.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & - 3 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 3 & 7 & - 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 5.2

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & - 3 & - 1 & 0 \\ - 0 & - - 1 & - 0 & - 1 \cdot 1 & - - 2 & - 1 \cdot 1 & - 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 3 & 7 & - 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & - 3 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 3 & 7 & - 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 5.3

Multiply each element of $R_{3}$ by $- 1$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- 1$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & - 3 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 2 & - 1 & 0 \\ - 0 & - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 3 & - 1 \cdot 7 & - - 1 & - 0 \end{array}]$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & - 3 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 3 & - 7 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 6

Gunakan matriks hasil untuk menyatakan penyelesaian akhir untuk sistem persamaan tersebut.

$a - x - 3 y - z = 0$

$b - x + 2 y - z = 0$

$c - 3 x - 7 y + z = 0$

Langkah 7

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $a$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Tambahkan $x$ ke kedua sisi persamaan.

$a - 3 y - z = x$

$b - x + 2 y - z = 0$

$c - 3 x - 7 y + z = 0$

Langkah 7.2

Tambahkan $3 y$ ke kedua sisi persamaan.

$a - z = x + 3 y$

$b - x + 2 y - z = 0$

$c - 3 x - 7 y + z = 0$

Langkah 7.3

Tambahkan $z$ ke kedua sisi persamaan.

$a = x + 3 y + z$

$b - x + 2 y - z = 0$

$c - 3 x - 7 y + z = 0$

$a = x + 3 y + z$

$b - x + 2 y - z = 0$

$c - 3 x - 7 y + z = 0$

Langkah 8

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $b$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tambahkan $x$ ke kedua sisi persamaan.

$b + 2 y - z = x$

$a = x + 3 y + z$

$c - 3 x - 7 y + z = 0$

Langkah 8.2

Kurangkan $2 y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$b - z = x - 2 y$

$a = x + 3 y + z$

$c - 3 x - 7 y + z = 0$

Langkah 8.3

Tambahkan $z$ ke kedua sisi persamaan.

$b = x - 2 y + z$

$a = x + 3 y + z$

$c - 3 x - 7 y + z = 0$

$b = x - 2 y + z$

$a = x + 3 y + z$

$c - 3 x - 7 y + z = 0$

Langkah 9

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $c$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Tambahkan $3 x$ ke kedua sisi persamaan.

$c - 7 y + z = 3 x$

$a = x + 3 y + z$

$b = x - 2 y + z$

Langkah 9.2

Tambahkan $7 y$ ke kedua sisi persamaan.

$c + z = 3 x + 7 y$

$a = x + 3 y + z$

$b = x - 2 y + z$

Langkah 9.3

Kurangkan $z$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$c = 3 x + 7 y - z$

$a = x + 3 y + z$

$b = x - 2 y + z$

$c = 3 x + 7 y - z$

$a = x + 3 y + z$

$b = x - 2 y + z$

Langkah 10

Penyelesaiannya adalah himpunan pasangan terurut yang membuat sistem tersebut benar.

$(x + 3 y + z, x - 2 y + z, 3 x + 7 y - z, x, y, z)$

Langkah 11

Menguraikan vektor penyelesaian dengan menata ulang setiap persamaan yang diwakilkan dalam bentuk pengurangan-baris dari matriks imbuhan dengan menyelesaikan variabel terikat di setiap baris sehingga menghasilkan persamaan vektor.

$X = [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} x + 3 y + z \\ x - 2 y + z \\ 3 x + 7 y - z \\ x \\ y \\ z \end{array}]$