Aljabar Linear Contoh

$- y - z = 0$ , $2 y + 2 z = 0$ , $- x + y + 2 z = 0$

Langkah 1

Tulis sistem persamaan tersebut dalam bentuk matriks.

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ - 1 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Langkah 2

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Swap $R_{3}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & - 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 2.2

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 1 \cdot 1 & - 1 \cdot 2 & - 0 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & - 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & - 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 0 \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & - 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \end{array}]$

Langkah 2.4.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 2.5

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & - 2 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 2.5.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3

Gunakan matriks hasil untuk menyatakan penyelesaian akhir untuk sistem persamaan tersebut.

$x - z = 0$

$y + z = 0$

Langkah 4

Tambahkan $z$ ke kedua sisi persamaan.

$x = z$

$y + z = 0$

Langkah 5

Kurangkan $z$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y = - z$

$x = z$

Langkah 6

Penyelesaiannya adalah himpunan pasangan terurut yang membuat sistem tersebut benar.

$(z, - z, z)$

Langkah 7

Menguraikan vektor penyelesaian dengan menata ulang setiap persamaan yang diwakilkan dalam bentuk pengurangan-baris dari matriks imbuhan dengan menyelesaikan variabel terikat di setiap baris sehingga menghasilkan persamaan vektor.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} z \\ - z \\ z \end{array}]$