Aljabar Linear Contoh

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ v \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 110 \\ 160 \\ 140 \\ 130 \end{array}]$

Langkah 1

Kalikan $[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ v \\ z \end{array}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $4 \times 4$ and the second matrix is $4 \times 1$ .

Langkah 1.2

Kalikan setiap baris pada matriks pertama dengan setiap kolom pada matriks kedua.

$[\begin{array}{c} 1 x + 1 y + 0 v + 0 z \\ 0 x + 0 y + 1 v + 1 z \\ 1 x + 0 y + 1 v + 0 z \\ 0 x + 1 y + 0 v + 1 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 110 \\ 160 \\ 140 \\ 130 \end{array}]$

Langkah 1.3

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks dengan mengalikan semua pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Tambahkan $0$ dan $y$ .

$[\begin{array}{c} x + y \\ v + z \\ x + v \\ y + 0 + z \end{array}] = [\begin{array}{c} 110 \\ 160 \\ 140 \\ 130 \end{array}]$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $y$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} x + y \\ v + z \\ x + v \\ y + z \end{array}] = [\begin{array}{c} 110 \\ 160 \\ 140 \\ 130 \end{array}]$

Langkah 2

Persamaan matriks dapat ditulis dalam bentuk himpunan persamaan.

$x + y = 110$

$v + z = 160$

$x + v = 140$

$y + z = 130$

Langkah 3

Kurangkan $y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = 110 - y$

$v + z = 160$

$x + v = 140$

$y + z = 130$

Langkah 4

Substitusikan semua kemunculan $x$ dengan $110 - y$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan semua kemunculan $x$ dalam $x + v = 140$ dengan $110 - y$ .

$(110 - y) + v = 140$

$x = 110 - y$

$v + z = 160$

$y + z = 130$

Langkah 4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$110 - y + v = 140$

$x = 110 - y$

$v + z = 160$

$y + z = 130$

$110 - y + v = 140$

$x = 110 - y$

$v + z = 160$

$y + z = 130$

$110 - y + v = 140$

$x = 110 - y$

$v + z = 160$

$y + z = 130$

Langkah 5

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $v$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kurangkan $110$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- y + v = 140 - 110$

$x = 110 - y$

$v + z = 160$

$y + z = 130$

Langkah 5.2

Tambahkan $y$ ke kedua sisi persamaan.

$v = 140 - 110 + y$

$x = 110 - y$

$v + z = 160$

$y + z = 130$

Langkah 5.3

Kurangi $110$ dengan $140$ .

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$v + z = 160$

$y + z = 130$

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$v + z = 160$

$y + z = 130$

Langkah 6

Substitusikan semua kemunculan $v$ dengan $30 + y$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Substitusikan semua kemunculan $v$ dalam $v + z = 160$ dengan $30 + y$ .

$(30 + y) + z = 160$

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

Langkah 6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$30 + y + z = 160$

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

$30 + y + z = 160$

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

$30 + y + z = 160$

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

Langkah 7

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kurangkan $30$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y + z = 160 - 30$

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

Langkah 7.2

Kurangkan $z$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y = 160 - 30 - z$

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

Langkah 7.3

Kurangi $30$ dengan $160$ .

$y = 130 - z$

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

$y = 130 - z$

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

Langkah 8

Substitusikan semua kemunculan $y$ dengan $130 - z$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Substitusikan semua kemunculan $y$ dalam $v = 30 + y$ dengan $130 - z$ .

$v = 30 + 130 - z$

$y = 130 - z$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

Langkah 8.2

Sederhanakan $v = 30 + 130 - z$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Hilangkan tanda kurung.

$v = 30 + 130 - z$

$y = 130 - z$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

$v = 30 + 130 - z$

$y = 130 - z$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Tambahkan $30$ dan $130$ .

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

Langkah 8.3

Substitusikan semua kemunculan $y$ dalam $x = 110 - y$ dengan $130 - z$ .

$x = 110 - (130 - z)$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

Langkah 8.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Sederhanakan $110 - (130 - z)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$x = 110 - 1 \cdot 130 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

Langkah 8.4.1.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $130$ .

$x = 110 - 130 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

Langkah 8.4.1.1.3

Kalikan $- - z$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$x = 110 - 130 + 1 z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

Langkah 8.4.1.1.3.2

Kalikan $z$ dengan $1$ .

$x = 110 - 130 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

$x = 110 - 130 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

$x = 110 - 130 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

Langkah 8.4.1.2

Kurangi $130$ dengan $110$ .

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

Langkah 8.5

Substitusikan semua kemunculan $y$ dalam $y + z = 130$ dengan $130 - z$ .

$(130 - z) + z = 130$

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

Langkah 8.6

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.1

Gabungkan suku balikan dalam $(130 - z) + z$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.1.1

Tambahkan $- z$ dan $z$ .

$130 + 0 = 130$

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

Langkah 8.6.1.2

Tambahkan $130$ dan $0$ .

$130 = 130$

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$130 = 130$

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$130 = 130$

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$130 = 130$

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

Langkah 9

Hilangkan persamaan apa pun dari sistem tersebut yang selalu benar.

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$