Aljabar Linear Contoh

$[\begin{array}{c} 1 - x & 1 & - 2 \\ - 1 & 2 - x & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - x \end{array}]$

Langkah 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Langkah 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Langkah 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - x & 1 \\ 1 & - 1 - x \end{array} |$

Langkah 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - x) | \begin{array}{c} 2 - x & 1 \\ 1 & - 1 - x \end{array} |$

Langkah 1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} |$

Langkah 1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} |$

Langkah 1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 - x & 1 \end{array} |$

Langkah 1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 - x & 1 \end{array} |$

Langkah 1.9

Add the terms together.

$(1 - x) | \begin{array}{c} 2 - x & 1 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 - x & 1 \end{array} |$

Langkah 2

Kalikan $0$ dengan $| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 - x & 1 \end{array} |$ .

$(1 - x) | \begin{array}{c} 2 - x & 1 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Langkah 3

Evaluasi $| \begin{array}{c} 2 - x & 1 \\ 1 & - 1 - x \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(1 - x) ((2 - x) (- 1 - x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Langkah 3.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Perluas $(2 - x) (- 1 - x)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$(1 - x) (2 (- 1 - x) - x (- 1 - x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Langkah 3.2.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$(1 - x) (2 \cdot - 1 + 2 (- x) - x (- 1 - x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Langkah 3.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$(1 - x) (2 \cdot - 1 + 2 (- x) - x \cdot - 1 - x (- x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Langkah 3.2.1.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$(1 - x) (- 2 + 2 (- x) - x \cdot - 1 - x (- x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Langkah 3.2.1.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$(1 - x) (- 2 - 2 x - x \cdot - 1 - x (- x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Langkah 3.2.1.2.1.3

Kalikan $- x \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.2.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$(1 - x) (- 2 - 2 x + 1 x - x (- x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Langkah 3.2.1.2.1.3.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$(1 - x) (- 2 - 2 x + x - x (- x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Langkah 3.2.1.2.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$(1 - x) (- 2 - 2 x + x - 1 \cdot - 1 x \cdot x - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Langkah 3.2.1.2.1.5

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.2.1.5.1

Pindahkan $x$ .

$(1 - x) (- 2 - 2 x + x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Langkah 3.2.1.2.1.5.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$(1 - x) (- 2 - 2 x + x - 1 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Langkah 3.2.1.2.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$(1 - x) (- 2 - 2 x + x + 1 x^{2} - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Langkah 3.2.1.2.1.7

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$(1 - x) (- 2 - 2 x + x + x^{2} - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Langkah 3.2.1.2.2

Tambahkan $- 2 x$ dan $x$ .

$(1 - x) (- 2 - x + x^{2} - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Langkah 3.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$(1 - x) (- 2 - x + x^{2} - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Langkah 3.2.2

Kurangi $1$ dengan $- 2$ .

$(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Langkah 4

Evaluasi $| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 (1 (- 1 - x) - 1 \cdot - 2) + 0$

Langkah 4.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Kalikan $- 1 - x$ dengan $1$ .

$(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 (- 1 - x - 1 \cdot - 2) + 0$

Langkah 4.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 (- 1 - x + 2) + 0$

Langkah 4.2.2

Tambahkan $- 1$ dan $2$ .

$(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 (- x + 1) + 0$

Langkah 5

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tambahkan $(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 (- x + 1)$ dan $0$ .

$(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 (- x + 1)$

Langkah 5.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Perluas $(1 - x) (- x + x^{2} - 3)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$1 (- x) + 1 x^{2} + 1 \cdot - 3 - x (- x) - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Kalikan $- x$ dengan $1$ .

$- x + 1 x^{2} + 1 \cdot - 3 - x (- x) - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Langkah 5.2.2.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$- x + x^{2} + 1 \cdot - 3 - x (- x) - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Langkah 5.2.2.3

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$- x + x^{2} - 3 - x (- x) - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Langkah 5.2.2.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- x + x^{2} - 3 - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Langkah 5.2.2.5

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.5.1

Pindahkan $x$ .

$- x + x^{2} - 3 - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Langkah 5.2.2.5.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$- x + x^{2} - 3 - 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Langkah 5.2.2.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- x + x^{2} - 3 + 1 x^{2} - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Langkah 5.2.2.7

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$- x + x^{2} - 3 + x^{2} - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Langkah 5.2.2.8

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.8.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$- x + x^{2} - 3 + x^{2} - (x^{2} x) - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Langkah 5.2.2.8.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.8.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$- x + x^{2} - 3 + x^{2} - (x^{2} x^{1}) - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Langkah 5.2.2.8.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- x + x^{2} - 3 + x^{2} - x^{2 + 1} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Langkah 5.2.2.8.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$- x + x^{2} - 3 + x^{2} - x^{3} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Langkah 5.2.2.9

Kalikan $- 3$ dengan $- 1$ .

$- x + x^{2} - 3 + x^{2} - x^{3} + 3 x + 1 (- x + 1)$

Langkah 5.2.3

Tambahkan $- x$ dan $3 x$ .

$x^{2} - 3 + x^{2} - x^{3} + 2 x + 1 (- x + 1)$

Langkah 5.2.4

Tambahkan $x^{2}$ dan $x^{2}$ .

$2 x^{2} - 3 - x^{3} + 2 x + 1 (- x + 1)$

Langkah 5.2.5

Kalikan $- x + 1$ dengan $1$ .

$2 x^{2} - 3 - x^{3} + 2 x - x + 1$

Langkah 5.3

Tambahkan $- 3$ dan $1$ .

$2 x^{2} - x^{3} + 2 x - x - 2$

Langkah 5.4

Kurangi $x$ dengan $2 x$ .

$2 x^{2} - x^{3} + x - 2$