Aljabar Linear Contoh

[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 1

Temukan nilai eigennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan rumus untuk menentukan persamaan karakteristik

p (λ)

$p (λ)$ .

p (λ) = determinan (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinan (A - λ I_{2})$

Langkah 1.2

Matriks satuan atau matriks satuan dengan ordo

2

$2$ adalah matriks persegi

2 \times 2

$2 \times 2$ dengan bilangan satu di diagonal utama dan nol di elemen lainnya.

[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 1.3

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam

p (λ) = determinan (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinan (A - λ I_{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan

[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}]$ untuk

A

$A$ .

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] - λ I_{2})

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] - λ I_{2})$

Langkah 1.3.2

Substitusikan

[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ untuk

I_{2}

$I_{2}$ .

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Kalikan

- λ

$- λ$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

1

$1$ .

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.2

Kalikan

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.2.1

Kalikan

0

$0$ dengan

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.2.2

Kalikan

0

$0$ dengan

λ

$λ$ .

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.3

Kalikan

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.3.1

Kalikan

0

$0$ dengan

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.3.2

Kalikan

0

$0$ dengan

λ

$λ$ .

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.4

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

1

$1$ .

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Langkah 1.4.2

Tambahkan elemen yang seletak.

p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Tambahkan

1

$1$ dan

0

$0$ .

p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3.2

Tambahkan

0

$0$ dan

0

$0$ .

p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array}]

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array}]$

p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array}]

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array}]$

p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array}]

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array}]$

Langkah 1.5

Find the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Determinan dari matriks

2 \times 2

$2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

p (λ) = (1 - λ) (1 - λ) + 0 \cdot 1

$p (λ) = (1 - λ) (1 - λ) + 0 \cdot 1$

Langkah 1.5.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.1

Perluas

(1 - λ) (1 - λ)

$(1 - λ) (1 - λ)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

p (λ) = 1 (1 - λ) - λ (1 - λ) + 0 \cdot 1

$p (λ) = 1 (1 - λ) - λ (1 - λ) + 0 \cdot 1$

Langkah 1.5.2.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

p (λ) = 1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ (1 - λ) + 0 \cdot 1

$p (λ) = 1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ (1 - λ) + 0 \cdot 1$

Langkah 1.5.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

p (λ) = 1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) + 0 \cdot 1

$p (λ) = 1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) + 0 \cdot 1$

p (λ) = 1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) + 0 \cdot 1

$p (λ) = 1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) + 0 \cdot 1$

Langkah 1.5.2.1.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.2.1.1

Kalikan

1

$1$ dengan

1

$1$ .

p (λ) = 1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) + 0 \cdot 1

$p (λ) = 1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) + 0 \cdot 1$

Langkah 1.5.2.1.2.1.2

Kalikan

- λ

$- λ$ dengan

1

$1$ .

p (λ) = 1 - λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) + 0 \cdot 1

$p (λ) = 1 - λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) + 0 \cdot 1$

Langkah 1.5.2.1.2.1.3

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

1

$1$ .

p (λ) = 1 - λ - λ - λ (- λ) + 0 \cdot 1

$p (λ) = 1 - λ - λ - λ (- λ) + 0 \cdot 1$

Langkah 1.5.2.1.2.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

p (λ) = 1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ + 0 \cdot 1

$p (λ) = 1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ + 0 \cdot 1$

Langkah 1.5.2.1.2.1.5

Kalikan

λ

$λ$ dengan

λ

$λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.2.1.5.1

Pindahkan

λ

$λ$ .

p (λ) = 1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) + 0 \cdot 1

$p (λ) = 1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) + 0 \cdot 1$

Langkah 1.5.2.1.2.1.5.2

Kalikan

λ

$λ$ dengan

λ

$λ$ .

p (λ) = 1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} + 0 \cdot 1

$p (λ) = 1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} + 0 \cdot 1$

p (λ) = 1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} + 0 \cdot 1

$p (λ) = 1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} + 0 \cdot 1$

Langkah 1.5.2.1.2.1.6

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

- 1

$- 1$ .

p (λ) = 1 - λ - λ + 1 λ^{2} + 0 \cdot 1

$p (λ) = 1 - λ - λ + 1 λ^{2} + 0 \cdot 1$

Langkah 1.5.2.1.2.1.7

Kalikan

λ^{2}

$λ^{2}$ dengan

1

$1$ .

p (λ) = 1 - λ - λ + λ^{2} + 0 \cdot 1

$p (λ) = 1 - λ - λ + λ^{2} + 0 \cdot 1$

p (λ) = 1 - λ - λ + λ^{2} + 0 \cdot 1

$p (λ) = 1 - λ - λ + λ^{2} + 0 \cdot 1$

Langkah 1.5.2.1.2.2

Kurangi

λ

$λ$ dengan

- λ

$- λ$ .

p (λ) = 1 - 2 λ + λ^{2} + 0 \cdot 1

$p (λ) = 1 - 2 λ + λ^{2} + 0 \cdot 1$

p (λ) = 1 - 2 λ + λ^{2} + 0 \cdot 1

$p (λ) = 1 - 2 λ + λ^{2} + 0 \cdot 1$

Langkah 1.5.2.1.3

Kalikan

0

$0$ dengan

1

$1$ .

p (λ) = 1 - 2 λ + λ^{2} + 0

$p (λ) = 1 - 2 λ + λ^{2} + 0$

p (λ) = 1 - 2 λ + λ^{2} + 0

$p (λ) = 1 - 2 λ + λ^{2} + 0$

Langkah 1.5.2.2

Tambahkan

1 - 2 λ + λ^{2}

$1 - 2 λ + λ^{2}$ dan

0

$0$ .

p (λ) = 1 - 2 λ + λ^{2}

$p (λ) = 1 - 2 λ + λ^{2}$

Langkah 1.5.2.3

Pindahkan

1

$1$ .

p (λ) = - 2 λ + λ^{2} + 1

$p (λ) = - 2 λ + λ^{2} + 1$

Langkah 1.5.2.4

Susun kembali

- 2 λ

$- 2 λ$ dan

λ^{2}

$λ^{2}$ .

p (λ) = λ^{2} - 2 λ + 1

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ + 1$

p (λ) = λ^{2} - 2 λ + 1

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ + 1$

p (λ) = λ^{2} - 2 λ + 1

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ + 1$

Langkah 1.6

Atur polinomial karakteristiknya agar sama dengan

0

$0$ untuk menemukan nilai eigen

λ

$λ$ .

λ^{2} - 2 λ + 1 = 0

$λ^{2} - 2 λ + 1 = 0$

Langkah 1.7

Selesaikan

λ

$λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.1

Tulis kembali

1

$1$ sebagai

1^{2}

$1^{2}$ .

λ^{2} - 2 λ + 1^{2} = 0

$λ^{2} - 2 λ + 1^{2} = 0$

Langkah 1.7.1.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

2 λ = 2 \cdot λ \cdot 1

$2 λ = 2 \cdot λ \cdot 1$

Langkah 1.7.1.3

Tulis kembali polinomialnya.

λ^{2} - 2 \cdot λ \cdot 1 + 1^{2} = 0

$λ^{2} - 2 \cdot λ \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Langkah 1.7.1.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna

a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}

$a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , di mana

a = λ

$a = λ$ dan

b = 1

$b = 1$ .

{(λ - 1)}^{2} = 0

${(λ - 1)}^{2} = 0$

{(λ - 1)}^{2} = 0

${(λ - 1)}^{2} = 0$

Langkah 1.7.2

Atur

λ - 1

$λ - 1$ agar sama dengan

0

$0$ .

λ - 1 = 0

$λ - 1 = 0$

Langkah 1.7.3

Tambahkan

1

$1$ ke kedua sisi persamaan.

λ = 1

$λ = 1$

λ = 1

$λ = 1$

λ = 1

$λ = 1$

Langkah 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where

N

$N$ is the null space and

I

$I$ is the identity matrix.

ε_{A} = N (A - λ I_{2})

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Langkah 3

Find the eigenvector using the eigenvalue

λ = 1

$λ = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumusnya.

N ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])

$N ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Kurangkan elemen yang seletak.

[\begin{array}{c} 1 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.2

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Kurangi

1

$1$ dengan

1

$1$ .

[\begin{array}{c} 0 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 0 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.2

Kurangi

0

$0$ dengan

1

$1$ .

[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 - 0 & 1 - 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 - 0 & 1 - 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.3

Kurangi

0

$0$ dengan

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 1 - 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 1 - 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.4

Kurangi

1

$1$ dengan

1

$1$ .

[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3

Find the null space when

λ = 1

$λ = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Write as an augmented matrix for

A x = 0

$A x = 0$ .

[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

y = 0

$y = 0$

0 = 0

$0 = 0$

Langkah 3.3.3

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.4

Write the solution as a linear combination of vectors.

[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = x [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = x [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.5

Write as a solution set.

{x [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}] | x \in R}

${x [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}] | x \in R}$

Langkah 3.3.6

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

{[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}]}

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}]}$

{[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}]}

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}]}$

{[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}]}

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}]}$

Langkah 4

The eigenspace of

A

$A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

{[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}]}

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}]}$