Aljabar Linear Contoh

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ x \end{array}]$

Langkah 1

Transformasi mendefinisikan pemetaan dari $ℝ^{2}$ ke $ℝ^{2}$ . Untuk membuktikan transformasinya linear, transformasinya harus mempertahankan perkalian skalar, penjumlahan, dan vektor nol.

M: $ℝ^{2} \to ℝ^{2}$

Langkah 2

Pertama, buktikan transformasi yang mempertahankan sifat ini.

$M (x + y) = M (x) + M (y)$

Langkah 3

Buat dua matriks untuk menguji sifat penjumlahan dipertahankan untuk $M$ .

$M ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \end{array}])$

Langkah 4

Jumlahkan kedua matriks tersebut.

$M [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \end{array}]$

Langkah 5

Terapkan transformasi ke vektor.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} x_{2} + y_{2} \\ x_{1} + y_{1} \end{array}]$

Langkah 6

Pisahkan hasilnya menjadi dua matriks dengan mengelompokkan variabel.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} x_{2} \\ x_{1} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{2} \\ y_{1} \end{array}]$

Langkah 7

Sifat penambahan transformasi tetap benar.

$M (x + y) = M (x) + M (y)$

Langkah 8

Untuk transformasi menjadi linear, harus mempertahankan perkalian skalar.

$M (p x) = T (p [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}])$

Langkah 9

Faktorkan $p$ dari setiap elemen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kalikan $p$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$M (p x) = M ([\begin{array}{c} p x \\ p y \end{array}])$

Langkah 9.2

Terapkan transformasi ke vektor.

Langkah 9.3

Susun kembali $p y$ .

$M (p x) = [\begin{array}{c} p y \end{array}]$

Langkah 9.4

Elemen faktor $0, 0$ dengan mengalikan $p y$ .

$M (p x) = [\begin{array}{c} p (y) \end{array}]$

Langkah 10

Sifat kedua dari transformasi linear dipertahankan dalam transformasi ini.

$M (p [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}]) = p M (x)$

Langkah 11

Agar transformasi menjadi linear, vektor nol harus dipertahankan.

$M (0) = 0$

Langkah 12

Terapkan transformasi ke vektor.

$M (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Langkah 13

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Susun kembali $0$ .

$M (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Langkah 13.2

Susun kembali $0$ .

$M (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Langkah 14

Vektor nol dipertahankan oleh transformasi.

$M (0) = 0$

Langkah 15

Karena tiga sifat transformasi linear tidak terpenuhi, maka ini bukanlah transformasi linear.

Transformasi Linear