Aljabar Linear Contoh

Cari Vektor Eigen/Ruang Eigen [[-2,-1,-1],[-2,-3,-2],[2,2,1]]
Langkah 1
Temukan nilai eigennya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.1
Gunakan rumus untuk menentukan persamaan karakteristik .
Langkah 1.2
Matriks satuan atau matriks satuan dengan ordo adalah matriks persegi dengan bilangan satu di diagonal utama dan nol di elemen lainnya.
Langkah 1.3
Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.3.1
Substitusikan untuk .
Langkah 1.3.2
Substitusikan untuk .
Langkah 1.4
Sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1.1
Kalikan dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.
Langkah 1.4.1.2
Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1.2.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.2
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1.2.2.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.2.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.3
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1.2.3.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.3.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.4
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1.2.4.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.4.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.5
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.6
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1.2.6.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.6.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.7
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1.2.7.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.7.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.8
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1.2.8.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.8.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.9
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.2
Tambahkan elemen yang seletak.
Langkah 1.4.3
Simplify each element.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.3.1
Tambahkan dan .
Langkah 1.4.3.2
Tambahkan dan .
Langkah 1.4.3.3
Tambahkan dan .
Langkah 1.4.3.4
Tambahkan dan .
Langkah 1.4.3.5
Tambahkan dan .
Langkah 1.4.3.6
Tambahkan dan .
Langkah 1.5
Find the determinant.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.1
Choose the row or column with the most elements. If there are no elements choose any row or column. Multiply every element in row by its cofactor and add.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
Langkah 1.5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a position on the sign chart.
Langkah 1.5.1.3
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Langkah 1.5.1.4
Multiply element by its cofactor.
Langkah 1.5.1.5
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Langkah 1.5.1.6
Multiply element by its cofactor.
Langkah 1.5.1.7
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Langkah 1.5.1.8
Multiply element by its cofactor.
Langkah 1.5.1.9
Add the terms together.
Langkah 1.5.2
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.2.1
Determinan dari matriks dapat dicari menggunakan rumus .
Langkah 1.5.2.2
Sederhanakan determinannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.2.2.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.2.2.1.1
Perluas menggunakan Metode FOIL.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.2.2.1.1.1
Terapkan sifat distributif.
Langkah 1.5.2.2.1.1.2
Terapkan sifat distributif.
Langkah 1.5.2.2.1.1.3
Terapkan sifat distributif.
Langkah 1.5.2.2.1.2
Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.2.2.1.2.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.2.2.1.2.1.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.2.2.1.2.1.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.2.2.1.2.1.3
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.2.2.1.2.1.4
Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.
Langkah 1.5.2.2.1.2.1.5
Kalikan dengan dengan menambahkan eksponennya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.2.2.1.2.1.5.1
Pindahkan .
Langkah 1.5.2.2.1.2.1.5.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.2.2.1.2.1.6
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.2.2.1.2.1.7
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.2.2.1.2.2
Kurangi dengan .
Langkah 1.5.2.2.1.3
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.2.2.2
Tambahkan dan .
Langkah 1.5.2.2.3
Susun kembali dan .
Langkah 1.5.3
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.3.1
Determinan dari matriks dapat dicari menggunakan rumus .
Langkah 1.5.3.2
Sederhanakan determinannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.3.2.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.3.2.1.1
Terapkan sifat distributif.
Langkah 1.5.3.2.1.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.3.2.1.3
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.3.2.1.4
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.3.2.2
Tambahkan dan .
Langkah 1.5.4
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.4.1
Determinan dari matriks dapat dicari menggunakan rumus .
Langkah 1.5.4.2
Sederhanakan determinannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.4.2.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.4.2.1.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.4.2.1.2
Terapkan sifat distributif.
Langkah 1.5.4.2.1.3
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.4.2.1.4
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.4.2.2
Tambahkan dan .
Langkah 1.5.4.2.3
Susun kembali dan .
Langkah 1.5.5
Sederhanakan determinannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.5.1
Gabungkan suku balikan dalam .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.5.1.1
Kurangi dengan .
Langkah 1.5.5.1.2
Tambahkan dan .
Langkah 1.5.5.2
Perluas dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.
Langkah 1.5.5.3
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.5.3.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.5.3.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.5.3.3
Kalikan dengan dengan menambahkan eksponennya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.5.3.3.1
Pindahkan .
Langkah 1.5.5.3.3.2
Kalikan dengan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.5.3.3.2.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 1.5.5.3.3.2.2
Gunakan kaidah pangkat untuk menggabungkan pangkat.
Langkah 1.5.5.3.3.3
Tambahkan dan .
Langkah 1.5.5.3.4
Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.
Langkah 1.5.5.3.5
Kalikan dengan dengan menambahkan eksponennya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.5.3.5.1
Pindahkan .
Langkah 1.5.5.3.5.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.5.3.6
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.5.3.7
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.5.4
Kurangi dengan .
Langkah 1.5.5.5
Kurangi dengan .
Langkah 1.5.5.6
Pindahkan .
Langkah 1.5.5.7
Pindahkan .
Langkah 1.5.5.8
Susun kembali dan .
Langkah 1.6
Atur polinomial karakteristiknya agar sama dengan untuk menemukan nilai eigen .
Langkah 1.7
Selesaikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.7.1
Faktorkan sisi kiri persamaannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.7.1.1
Faktorkan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.7.1.1.1
Faktorkan dari .
Langkah 1.7.1.1.2
Faktorkan dari .
Langkah 1.7.1.1.3
Faktorkan dari .
Langkah 1.7.1.1.4
Tulis kembali sebagai .
Langkah 1.7.1.1.5
Faktorkan dari .
Langkah 1.7.1.1.6
Faktorkan dari .
Langkah 1.7.1.1.7
Faktorkan dari .
Langkah 1.7.1.2
Faktorkan menggunakan uji akar rasional.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.7.1.2.1
Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk di mana adalah faktor dari konstanta dan adalah faktor dari koefisien pertama.
Langkah 1.7.1.2.2
Tentukan setiap gabungan dari . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.
Langkah 1.7.1.2.3
Substitusikan dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan sehingga adalah akar dari polinomialnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.7.1.2.3.1
Substitusikan ke dalam polinomialnya.
Langkah 1.7.1.2.3.2
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 1.7.1.2.3.3
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 1.7.1.2.3.4
Kalikan dengan .
Langkah 1.7.1.2.3.5
Tambahkan dan .
Langkah 1.7.1.2.3.6
Kalikan dengan .
Langkah 1.7.1.2.3.7
Kurangi dengan .
Langkah 1.7.1.2.3.8
Tambahkan dan .
Langkah 1.7.1.2.4
Karena adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.
Langkah 1.7.1.2.5
Bagilah dengan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.7.1.2.5.1
Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai .
++++
Langkah 1.7.1.2.5.2
Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi .
++++
Langkah 1.7.1.2.5.3
Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.
++++
++
Langkah 1.7.1.2.5.4
Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam
++++
--
Langkah 1.7.1.2.5.5
Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.
++++
--
+
Langkah 1.7.1.2.5.6
Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.
++++
--
++
Langkah 1.7.1.2.5.7
Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi .
+
++++
--
++
Langkah 1.7.1.2.5.8
Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.
+
++++
--
++
++
Langkah 1.7.1.2.5.9
Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam
+
++++
--
++
--
Langkah 1.7.1.2.5.10
Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.
+
++++
--
++
--
+
Langkah 1.7.1.2.5.11
Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.
+
++++
--
++
--
++
Langkah 1.7.1.2.5.12
Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi .
++
++++
--
++
--
++
Langkah 1.7.1.2.5.13
Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.
++
++++
--
++
--
++
++
Langkah 1.7.1.2.5.14
Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam
++
++++
--
++
--
++
--
Langkah 1.7.1.2.5.15
Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.
++
++++
--
++
--
++
--
Langkah 1.7.1.2.5.16
Karena sisanya adalah , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.
Langkah 1.7.1.2.6
Tulis sebagai himpunan faktor.
Langkah 1.7.1.3
Faktorkan menggunakan metode AC.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.7.1.3.1
Faktorkan menggunakan metode AC.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.7.1.3.1.1
Mempertimbangkan bentuk . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya . Dalam hal ini, hasil kalinya dan jumlahnya .
Langkah 1.7.1.3.1.2
Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.
Langkah 1.7.1.3.2
Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.
Langkah 1.7.1.4
Faktorkan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.7.1.4.1
Gabungkan faktor sejenis.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.7.1.4.1.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 1.7.1.4.1.2
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 1.7.1.4.1.3
Gunakan kaidah pangkat untuk menggabungkan pangkat.
Langkah 1.7.1.4.1.4
Tambahkan dan .
Langkah 1.7.1.4.2
Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.
Langkah 1.7.2
Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan .
Langkah 1.7.3
Atur agar sama dengan dan selesaikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.7.3.1
Atur sama dengan .
Langkah 1.7.3.2
Selesaikan untuk .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.7.3.2.1
Atur agar sama dengan .
Langkah 1.7.3.2.2
Kurangkan dari kedua sisi persamaan tersebut.
Langkah 1.7.4
Atur agar sama dengan dan selesaikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.7.4.1
Atur sama dengan .
Langkah 1.7.4.2
Kurangkan dari kedua sisi persamaan tersebut.
Langkah 1.7.5
Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat benar.
Langkah 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where is the null space and is the identity matrix.
Langkah 3
Find the eigenvector using the eigenvalue .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.1
Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumusnya.
Langkah 3.2
Sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.2.1
Tambahkan elemen yang seletak.
Langkah 3.2.2
Simplify each element.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.2.2.1
Tambahkan dan .
Langkah 3.2.2.2
Tambahkan dan .
Langkah 3.2.2.3
Tambahkan dan .
Langkah 3.2.2.4
Tambahkan dan .
Langkah 3.2.2.5
Tambahkan dan .
Langkah 3.2.2.6
Tambahkan dan .
Langkah 3.2.2.7
Tambahkan dan .
Langkah 3.2.2.8
Tambahkan dan .
Langkah 3.2.2.9
Tambahkan dan .
Langkah 3.3
Find the null space when .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.3.1
Write as an augmented matrix for .
Langkah 3.3.2
Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Langkah 3.3.2.1.2
Sederhanakan .
Langkah 3.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Langkah 3.3.2.2.2
Sederhanakan .
Langkah 3.3.2.3
Perform the row operation to make the entry at a .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.3.2.3.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Langkah 3.3.2.3.2
Sederhanakan .
Langkah 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Langkah 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Langkah 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Langkah 3.3.6
Write as a solution set.
Langkah 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Langkah 4
Find the eigenvector using the eigenvalue .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1
Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumusnya.
Langkah 4.2
Sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.2.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.2.1.1
Kalikan dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.
Langkah 4.2.1.2
Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.2.1.2.1
Kalikan dengan .
Langkah 4.2.1.2.2
Kalikan dengan .
Langkah 4.2.1.2.3
Kalikan dengan .
Langkah 4.2.1.2.4
Kalikan dengan .
Langkah 4.2.1.2.5
Kalikan dengan .
Langkah 4.2.1.2.6
Kalikan dengan .
Langkah 4.2.1.2.7
Kalikan dengan .
Langkah 4.2.1.2.8
Kalikan dengan .
Langkah 4.2.1.2.9
Kalikan dengan .
Langkah 4.2.2
Tambahkan elemen yang seletak.
Langkah 4.2.3
Simplify each element.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.2.3.1
Tambahkan dan .
Langkah 4.2.3.2
Tambahkan dan .
Langkah 4.2.3.3
Tambahkan dan .
Langkah 4.2.3.4
Tambahkan dan .
Langkah 4.2.3.5
Tambahkan dan .
Langkah 4.2.3.6
Tambahkan dan .
Langkah 4.2.3.7
Tambahkan dan .
Langkah 4.2.3.8
Tambahkan dan .
Langkah 4.2.3.9
Tambahkan dan .
Langkah 4.3
Find the null space when .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.3.1
Write as an augmented matrix for .
Langkah 4.3.2
Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.3.2.1
Swap with to put a nonzero entry at .
Langkah 4.3.2.2
Multiply each element of by to make the entry at a .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.3.2.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Langkah 4.3.2.2.2
Sederhanakan .
Langkah 4.3.2.3
Perform the row operation to make the entry at a .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.3.2.3.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Langkah 4.3.2.3.2
Sederhanakan .
Langkah 4.3.2.4
Multiply each element of by to make the entry at a .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.3.2.4.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Langkah 4.3.2.4.2
Sederhanakan .
Langkah 4.3.2.5
Perform the row operation to make the entry at a .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.3.2.5.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Langkah 4.3.2.5.2
Sederhanakan .
Langkah 4.3.2.6
Perform the row operation to make the entry at a .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.3.2.6.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Langkah 4.3.2.6.2
Sederhanakan .
Langkah 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Langkah 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Langkah 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Langkah 4.3.6
Write as a solution set.
Langkah 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Langkah 5
The eigenspace of is the list of the vector space for each eigenvalue.