Aljabar Linear Contoh

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}]$

Langkah 1

Temukan nilai eigennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan rumus untuk menentukan persamaan karakteristik $p (λ)$ .

$p (λ) = determinan (A - λ I_{2})$

Langkah 1.2

Matriks satuan atau matriks satuan dengan ordo $2$ adalah matriks persegi $2 \times 2$ dengan bilangan satu di diagonal utama dan nol di elemen lainnya.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 1.3

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam $p (λ) = determinan (A - λ I_{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan $[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}]$ untuk $A$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] - λ I_{2})$

Langkah 1.3.2

Substitusikan $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ untuk $I_{2}$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Kalikan $- λ$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.2

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.2.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.2.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.3

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.3.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.3.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Langkah 1.4.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1.3 - λ & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Tambahkan $0.4$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1.3 - λ & 0.4 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3.2

Tambahkan $- 0.2$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1.3 - λ & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 - λ \end{array}]$

Langkah 1.5

Find the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1.3 - λ) (1.9 - λ) - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Langkah 1.5.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.1

Perluas $(1.3 - λ) (1.9 - λ)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 1.3 (1.9 - λ) - λ (1.9 - λ) - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Langkah 1.5.2.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 1.3 \cdot 1.9 + 1.3 (- λ) - λ (1.9 - λ) - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Langkah 1.5.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 1.3 \cdot 1.9 + 1.3 (- λ) - λ \cdot 1.9 - λ (- λ) - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Langkah 1.5.2.1.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.2.1.1

Kalikan $1.3$ dengan $1.9$ .

$p (λ) = 2.47 + 1.3 (- λ) - λ \cdot 1.9 - λ (- λ) - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Langkah 1.5.2.1.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1.3$ .

$p (λ) = 2.47 - 1.3 λ - λ \cdot 1.9 - λ (- λ) - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Langkah 1.5.2.1.2.1.3

Kalikan $1.9$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = 2.47 - 1.3 λ - 1.9 λ - λ (- λ) - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Langkah 1.5.2.1.2.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = 2.47 - 1.3 λ - 1.9 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Langkah 1.5.2.1.2.1.5

Kalikan $λ$ dengan $λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.2.1.5.1

Pindahkan $λ$ .

$p (λ) = 2.47 - 1.3 λ - 1.9 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Langkah 1.5.2.1.2.1.5.2

Kalikan $λ$ dengan $λ$ .

$p (λ) = 2.47 - 1.3 λ - 1.9 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Langkah 1.5.2.1.2.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = 2.47 - 1.3 λ - 1.9 λ + 1 λ^{2} - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Langkah 1.5.2.1.2.1.7

Kalikan $λ^{2}$ dengan $1$ .

$p (λ) = 2.47 - 1.3 λ - 1.9 λ + λ^{2} - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Langkah 1.5.2.1.2.2

Kurangi $1.9 λ$ dengan $- 1.3 λ$ .

$p (λ) = 2.47 - 3.2 λ + λ^{2} - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Langkah 1.5.2.1.3

Kalikan $- (- 0.2 \cdot 0.4)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.3.1

Kalikan $- 0.2$ dengan $0.4$ .

$p (λ) = 2.47 - 3.2 λ + λ^{2} - - 0.08$

Langkah 1.5.2.1.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 0.08$ .

$p (λ) = 2.47 - 3.2 λ + λ^{2} + 0.08$

Langkah 1.5.2.2

Tambahkan $2.47$ dan $0.08$ .

$p (λ) = - 3.2 λ + λ^{2} + 2.55$

Langkah 1.5.2.3

Susun kembali $- 3.2 λ$ dan $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 3.2 λ + 2.55$

Langkah 1.6

Atur polinomial karakteristiknya agar sama dengan $0$ untuk menemukan nilai eigen $λ$ .

$λ^{2} - 3.2 λ + 2.55 = 0$

Langkah 1.7

Selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 1.7.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = - 3.2$ , dan $c = 2.55$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $λ$ .

$\frac{3.2 \pm \sqrt{{(- 3.2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2.55)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.7.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1.1

Naikkan $- 3.2$ menjadi pangkat $2$ .

$λ = \frac{3.2 \pm \sqrt{10.24 - 4 \cdot 1 \cdot 2.55}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.7.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 2.55$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$λ = \frac{3.2 \pm \sqrt{10.24 - 4 \cdot 2.55}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.7.3.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $2.55$ .

$λ = \frac{3.2 \pm \sqrt{10.24 - 10.2}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.7.3.1.3

Kurangi $10.2$ dengan $10.24$ .

$λ = \frac{3.2 \pm \sqrt{0.04}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.7.3.1.4

Tulis kembali $0.04$ sebagai ${0.2}^{2}$ .

$λ = \frac{3.2 \pm \sqrt{{0.2}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.7.3.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$λ = \frac{3.2 \pm 0.2}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.7.3.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$λ = \frac{3.2 \pm 0.2}{2}$

Langkah 1.7.3.3

Sederhanakan $\frac{3.2 \pm 0.2}{2}$ .

$λ = \frac{16 \pm 1}{10}$

Langkah 1.7.4

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$λ = \frac{17}{10}, \frac{3}{2}$

Langkah 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Langkah 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = \frac{17}{10}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumusnya.

$N ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] - \frac{17}{10} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Kalikan $- \frac{17}{10}$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{17}{10} \cdot 1 & - \frac{17}{10} \cdot 0 \\ - \frac{17}{10} \cdot 0 & - \frac{17}{10} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{17}{10} & - \frac{17}{10} \cdot 0 \\ - \frac{17}{10} \cdot 0 & - \frac{17}{10} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.2

Kalikan $- \frac{17}{10} \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.2.2.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{17}{10} & 0 (\frac{17}{10}) \\ - \frac{17}{10} \cdot 0 & - \frac{17}{10} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.2.2

Kalikan $0$ dengan $\frac{17}{10}$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{17}{10} & 0 \\ - \frac{17}{10} \cdot 0 & - \frac{17}{10} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.3

Kalikan $- \frac{17}{10} \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.2.3.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{17}{10} & 0 \\ 0 (\frac{17}{10}) & - \frac{17}{10} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.3.2

Kalikan $0$ dengan $\frac{17}{10}$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{17}{10} & 0 \\ 0 & - \frac{17}{10} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{17}{10} & 0 \\ 0 & - \frac{17}{10} \end{array}]$

Langkah 3.2.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$[\begin{array}{c} 1.3 - \frac{17}{10} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Langkah 3.2.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Untuk menuliskan $1.3$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{10}{10}$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 \cdot \frac{10}{10} - \frac{17}{10} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.2

Gabungkan $1.3$ dan $\frac{10}{10}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1.3 \cdot 10}{10} - \frac{17}{10} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$[\begin{array}{c} \frac{1.3 \cdot 10 - 17}{10} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.4.1

Kalikan $1.3$ dengan $10$ .

$[\begin{array}{c} \frac{13 - 17}{10} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.4.2

Kurangi $17$ dengan $13$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 4}{10} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.5

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.5.1

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 (- 2)}{10} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.5.2.1

Faktorkan $2$ dari $10$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 5} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$[\begin{array}{c} \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 5} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$[\begin{array}{c} \frac{- 2}{5} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.7

Tambahkan $0.4$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.8

Tambahkan $- 0.2$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.9

Untuk menuliskan $1.9$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{10}{10}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \cdot \frac{10}{10} - \frac{17}{10} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.10

Gabungkan $1.9$ dan $\frac{10}{10}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{1.9 \cdot 10}{10} - \frac{17}{10} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.11

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{1.9 \cdot 10 - 17}{10} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.12

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.12.1

Kalikan $1.9$ dengan $10$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{19 - 17}{10} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.12.2

Kurangi $17$ dengan $19$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{2}{10} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.13

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.13.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{2 (1)}{10} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.13.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.13.2.1

Faktorkan $2$ dari $10$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.13.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.13.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{1}{5} \end{array}]$

Langkah 3.3

Find the null space when $λ = \frac{17}{10}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 & 0 \\ - 0.2 & \frac{1}{5} & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{5}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{5}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{2} (- \frac{2}{5}) & - \frac{5}{2} \cdot 0.4 & - \frac{5}{2} \cdot 0 \\ - 0.2 & \frac{1}{5} & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.1.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 0.2 & \frac{1}{5} & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 0.2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 0.2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 0.2 + 0.2 \cdot 1 & \frac{1}{5} + 0.2 \cdot - 1 & 0 + 0.2 \cdot 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.2.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - y = 0$

$0 = 0$

Langkah 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ y \end{array}]$

Langkah 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

Langkah 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Langkah 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

Langkah 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = \frac{3}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumusnya.

$N ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] - \frac{3}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Kalikan $- \frac{3}{2}$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{2} \cdot 1 & - \frac{3}{2} \cdot 0 \\ - \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & - \frac{3}{2} \cdot 0 \\ - \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.2

Kalikan $- \frac{3}{2} \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.2.2.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & 0 (\frac{3}{2}) \\ - \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.2.2

Kalikan $0$ dengan $\frac{3}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & 0 \\ - \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.3

Kalikan $- \frac{3}{2} \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.2.3.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 (\frac{3}{2}) & - \frac{3}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.3.2

Kalikan $0$ dengan $\frac{3}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{3}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{3}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$[\begin{array}{c} 1.3 - \frac{3}{2} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{3}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Untuk menuliskan $1.3$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{3}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.2

Gabungkan $1.3$ dan $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1.3 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{3}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$[\begin{array}{c} \frac{1.3 \cdot 2 - 3}{2} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{3}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.4.1

Kalikan $1.3$ dengan $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2.6 - 3}{2} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{3}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.4.2

Kurangi $3$ dengan $2.6$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 0.4}{2} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{3}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.5

Bagilah $- 0.4$ dengan $2$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{3}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.6

Tambahkan $0.4$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{3}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.7

Tambahkan $- 0.2$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 - \frac{3}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.8

Untuk menuliskan $1.9$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.9

Gabungkan $1.9$ dan $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{1.9 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.10

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{1.9 \cdot 2 - 3}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.11

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.11.1

Kalikan $1.9$ dengan $2$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{3.8 - 3}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.11.2

Kurangi $3$ dengan $3.8$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{0.8}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.12

Bagilah $0.8$ dengan $2$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 \\ - 0.2 & 0.4 \end{array}]$

Langkah 4.3

Find the null space when $λ = \frac{3}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 & 0 \\ - 0.2 & 0.4 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{- 0.2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{- 0.2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 0.2}{- 0.2} & \frac{0.4}{- 0.2} & \frac{0}{- 0.2} \\ - 0.2 & 0.4 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.1.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 \\ - 0.2 & 0.4 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 0.2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 0.2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 \\ - 0.2 + 0.2 \cdot 1 & 0.4 + 0.2 \cdot - 2 & 0 + 0.2 \cdot 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.2.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - 2 y = 0$

$0 = 0$

Langkah 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 y \\ y \end{array}]$

Langkah 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}]$

Langkah 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Langkah 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}]}$

Langkah 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}]}$