Aljabar Linear Contoh

Cari Vektor Eigen/Ruang Eigen [[1,0,1],[0,-1,0],[2,1,-1]]
Langkah 1
Temukan nilai eigennya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.1
Gunakan rumus untuk menentukan persamaan karakteristik .
Langkah 1.2
Matriks satuan atau matriks satuan dengan ordo adalah matriks persegi dengan bilangan satu di diagonal utama dan nol di elemen lainnya.
Langkah 1.3
Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.3.1
Substitusikan untuk .
Langkah 1.3.2
Substitusikan untuk .
Langkah 1.4
Sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1.1
Kalikan dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.
Langkah 1.4.1.2
Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1.2.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.2
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1.2.2.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.2.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.3
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1.2.3.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.3.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.4
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1.2.4.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.4.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.5
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.6
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1.2.6.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.6.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.7
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1.2.7.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.7.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.8
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1.2.8.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.8.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.1.2.9
Kalikan dengan .
Langkah 1.4.2
Tambahkan elemen yang seletak.
Langkah 1.4.3
Simplify each element.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.3.1
Tambahkan dan .
Langkah 1.4.3.2
Tambahkan dan .
Langkah 1.4.3.3
Tambahkan dan .
Langkah 1.4.3.4
Tambahkan dan .
Langkah 1.4.3.5
Tambahkan dan .
Langkah 1.4.3.6
Tambahkan dan .
Langkah 1.5
Find the determinant.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.1
Choose the row or column with the most elements. If there are no elements choose any row or column. Multiply every element in row by its cofactor and add.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
Langkah 1.5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a position on the sign chart.
Langkah 1.5.1.3
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Langkah 1.5.1.4
Multiply element by its cofactor.
Langkah 1.5.1.5
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Langkah 1.5.1.6
Multiply element by its cofactor.
Langkah 1.5.1.7
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Langkah 1.5.1.8
Multiply element by its cofactor.
Langkah 1.5.1.9
Add the terms together.
Langkah 1.5.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.3
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.4
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.4.1
Determinan dari matriks dapat dicari menggunakan rumus .
Langkah 1.5.4.2
Sederhanakan determinannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.4.2.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.4.2.1.1
Perluas menggunakan Metode FOIL.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.4.2.1.1.1
Terapkan sifat distributif.
Langkah 1.5.4.2.1.1.2
Terapkan sifat distributif.
Langkah 1.5.4.2.1.1.3
Terapkan sifat distributif.
Langkah 1.5.4.2.1.2
Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.4.2.1.2.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.4.2.1.2.1.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.4.2.1.2.1.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.4.2.1.2.1.3
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.4.2.1.2.1.3.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.4.2.1.2.1.3.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.4.2.1.2.1.4
Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.
Langkah 1.5.4.2.1.2.1.5
Kalikan dengan dengan menambahkan eksponennya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.4.2.1.2.1.5.1
Pindahkan .
Langkah 1.5.4.2.1.2.1.5.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.4.2.1.2.1.6
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.4.2.1.2.1.7
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.4.2.1.2.2
Tambahkan dan .
Langkah 1.5.4.2.1.2.3
Tambahkan dan .
Langkah 1.5.4.2.1.3
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.4.2.2
Kurangi dengan .
Langkah 1.5.5
Sederhanakan determinannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.5.1
Gabungkan suku balikan dalam .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.5.1.1
Tambahkan dan .
Langkah 1.5.5.1.2
Tambahkan dan .
Langkah 1.5.5.2
Perluas menggunakan Metode FOIL.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.5.2.1
Terapkan sifat distributif.
Langkah 1.5.5.2.2
Terapkan sifat distributif.
Langkah 1.5.5.2.3
Terapkan sifat distributif.
Langkah 1.5.5.3
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.5.3.1
Tulis kembali sebagai .
Langkah 1.5.5.3.2
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.5.3.3
Kalikan dengan dengan menambahkan eksponennya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.5.3.3.1
Pindahkan .
Langkah 1.5.5.3.3.2
Kalikan dengan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.5.5.3.3.2.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 1.5.5.3.3.2.2
Gunakan kaidah pangkat untuk menggabungkan pangkat.
Langkah 1.5.5.3.3.3
Tambahkan dan .
Langkah 1.5.5.3.4
Kalikan dengan .
Langkah 1.5.5.4
Pindahkan .
Langkah 1.5.5.5
Susun kembali dan .
Langkah 1.6
Atur polinomial karakteristiknya agar sama dengan untuk menemukan nilai eigen .
Langkah 1.7
Selesaikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.7.1
Faktorkan sisi kiri persamaannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.7.1.1
Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.7.1.1.1
Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.
Langkah 1.7.1.1.2
Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.
Langkah 1.7.1.2
Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, .
Langkah 1.7.2
Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan .
Langkah 1.7.3
Atur agar sama dengan dan selesaikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.7.3.1
Atur sama dengan .
Langkah 1.7.3.2
Selesaikan untuk .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.7.3.2.1
Tambahkan ke kedua sisi persamaan.
Langkah 1.7.3.2.2
Bagi setiap suku pada dengan dan sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.7.3.2.2.1
Bagilah setiap suku di dengan .
Langkah 1.7.3.2.2.2
Sederhanakan sisi kirinya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.7.3.2.2.2.1
Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.
Langkah 1.7.3.2.2.2.2
Bagilah dengan .
Langkah 1.7.3.2.2.3
Sederhanakan sisi kanannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.7.3.2.2.3.1
Bagilah dengan .
Langkah 1.7.4
Atur agar sama dengan dan selesaikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.7.4.1
Atur sama dengan .
Langkah 1.7.4.2
Selesaikan untuk .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.7.4.2.1
Tambahkan ke kedua sisi persamaan.
Langkah 1.7.4.2.2
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Langkah 1.7.4.2.3
Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.7.4.2.3.1
Pertama, gunakan nilai positif dari untuk menemukan penyelesaian pertama.
Langkah 1.7.4.2.3.2
Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari untuk menemukan penyelesaian kedua.
Langkah 1.7.4.2.3.3
Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.
Langkah 1.7.5
Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat benar.
Langkah 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where is the null space and is the identity matrix.
Langkah 3
Find the eigenvector using the eigenvalue .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.1
Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumusnya.
Langkah 3.2
Sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.2.1
Tambahkan elemen yang seletak.
Langkah 3.2.2
Simplify each element.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.2.2.1
Tambahkan dan .
Langkah 3.2.2.2
Tambahkan dan .
Langkah 3.2.2.3
Tambahkan dan .
Langkah 3.2.2.4
Tambahkan dan .
Langkah 3.2.2.5
Tambahkan dan .
Langkah 3.2.2.6
Tambahkan dan .
Langkah 3.2.2.7
Tambahkan dan .
Langkah 3.2.2.8
Tambahkan dan .
Langkah 3.2.2.9
Tambahkan dan .
Langkah 3.3
Find the null space when .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.3.1
Write as an augmented matrix for .
Langkah 3.3.2
Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Langkah 3.3.2.1.2
Sederhanakan .
Langkah 3.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 3.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Langkah 3.3.2.2.2
Sederhanakan .
Langkah 3.3.2.3
Swap with to put a nonzero entry at .
Langkah 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Langkah 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Langkah 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Langkah 3.3.6
Write as a solution set.
Langkah 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Langkah 4
Find the eigenvector using the eigenvalue .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1
Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumusnya.
Langkah 4.2
Sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.2.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.2.1.1
Kalikan dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.
Langkah 4.2.1.2
Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.2.1.2.1
Kalikan dengan .
Langkah 4.2.1.2.2
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.2.1.2.2.1
Kalikan dengan .
Langkah 4.2.1.2.2.2
Kalikan dengan .
Langkah 4.2.1.2.3
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.2.1.2.3.1
Kalikan dengan .
Langkah 4.2.1.2.3.2
Kalikan dengan .
Langkah 4.2.1.2.4
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.2.1.2.4.1
Kalikan dengan .
Langkah 4.2.1.2.4.2
Kalikan dengan .
Langkah 4.2.1.2.5
Kalikan dengan .
Langkah 4.2.1.2.6
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.2.1.2.6.1
Kalikan dengan .
Langkah 4.2.1.2.6.2
Kalikan dengan .
Langkah 4.2.1.2.7
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.2.1.2.7.1
Kalikan dengan .
Langkah 4.2.1.2.7.2
Kalikan dengan .
Langkah 4.2.1.2.8
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.2.1.2.8.1
Kalikan dengan .
Langkah 4.2.1.2.8.2
Kalikan dengan .
Langkah 4.2.1.2.9
Kalikan dengan .
Langkah 4.2.2
Tambahkan elemen yang seletak.
Langkah 4.2.3
Simplify each element.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.2.3.1
Tambahkan dan .
Langkah 4.2.3.2
Tambahkan dan .
Langkah 4.2.3.3
Tambahkan dan .
Langkah 4.2.3.4
Tambahkan dan .
Langkah 4.2.3.5
Tambahkan dan .
Langkah 4.2.3.6
Tambahkan dan .
Langkah 4.3
Find the null space when .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.3.1
Write as an augmented matrix for .
Langkah 4.3.2
Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Langkah 4.3.2.1.2
Sederhanakan .
Langkah 4.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Langkah 4.3.2.2.2
Sederhanakan .
Langkah 4.3.2.3
Multiply each element of by to make the entry at a .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.3.2.3.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Langkah 4.3.2.3.2
Sederhanakan .
Langkah 4.3.2.4
Perform the row operation to make the entry at a .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.3.2.4.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Langkah 4.3.2.4.2
Sederhanakan .
Langkah 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Langkah 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Langkah 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Langkah 4.3.6
Write as a solution set.
Langkah 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Langkah 5
Find the eigenvector using the eigenvalue .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.1
Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumusnya.
Langkah 5.2
Sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.2.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.2.1.1
Kalikan dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.
Langkah 5.2.1.2
Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.2.1.2.1
Kalikan dengan .
Langkah 5.2.1.2.2
Kalikan dengan .
Langkah 5.2.1.2.3
Kalikan dengan .
Langkah 5.2.1.2.4
Kalikan dengan .
Langkah 5.2.1.2.5
Kalikan dengan .
Langkah 5.2.1.2.6
Kalikan dengan .
Langkah 5.2.1.2.7
Kalikan dengan .
Langkah 5.2.1.2.8
Kalikan dengan .
Langkah 5.2.1.2.9
Kalikan dengan .
Langkah 5.2.2
Tambahkan elemen yang seletak.
Langkah 5.2.3
Simplify each element.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.2.3.1
Tambahkan dan .
Langkah 5.2.3.2
Tambahkan dan .
Langkah 5.2.3.3
Tambahkan dan .
Langkah 5.2.3.4
Tambahkan dan .
Langkah 5.2.3.5
Tambahkan dan .
Langkah 5.2.3.6
Tambahkan dan .
Langkah 5.3
Find the null space when .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.3.1
Write as an augmented matrix for .
Langkah 5.3.2
Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Langkah 5.3.2.1.2
Sederhanakan .
Langkah 5.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Langkah 5.3.2.2.2
Sederhanakan .
Langkah 5.3.2.3
Multiply each element of by to make the entry at a .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.3.2.3.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Langkah 5.3.2.3.2
Sederhanakan .
Langkah 5.3.2.4
Perform the row operation to make the entry at a .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.3.2.4.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Langkah 5.3.2.4.2
Sederhanakan .
Langkah 5.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Langkah 5.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Langkah 5.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Langkah 5.3.6
Write as a solution set.
Langkah 5.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Langkah 6
The eigenspace of is the list of the vector space for each eigenvalue.