Aljabar Linear Contoh

[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 1

Gunakan rumus untuk menentukan persamaan karakteristik

p (λ)

$p (λ)$ .

p (λ) = determinan (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinan (A - λ I_{2})$

Langkah 2

Matriks satuan atau matriks satuan dengan ordo

2

$2$ adalah matriks persegi

2 \times 2

$2 \times 2$ dengan bilangan satu di diagonal utama dan nol di elemen lainnya.

[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 3

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam

p (λ) = determinan (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinan (A - λ I_{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan

[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}]$ untuk

A

$A$ .

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] - λ I_{2})

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] - λ I_{2})$

Langkah 3.2

Substitusikan

[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ untuk

I_{2}

$I_{2}$ .

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Kalikan

- λ

$- λ$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

1

$1$ .

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.2

Kalikan

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Kalikan

0

$0$ dengan

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.2.2

Kalikan

0

$0$ dengan

λ

$λ$ .

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.3

Kalikan

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.1

Kalikan

0

$0$ dengan

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.3.2

Kalikan

0

$0$ dengan

λ

$λ$ .

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.4

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

1

$1$ .

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Langkah 4.2

Tambahkan elemen yang seletak.

p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 0 - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 0 - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kurangi

λ

$λ$ dengan

0

$0$ .

p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.2

Tambahkan

1

$1$ dan

0

$0$ .

p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.3

Tambahkan

- 1

$- 1$ dan

0

$0$ .

p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 & 0 - λ \end{array}]

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 & 0 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.4

Kurangi

λ

$λ$ dengan

0

$0$ .

p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 & - λ \end{array}]

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 & - λ \end{array}]$

p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 & - λ \end{array}]

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 & - λ \end{array}]$

p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 & - λ \end{array}]

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 & - λ \end{array}]$

Langkah 5

Find the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Determinan dari matriks

2 \times 2

$2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

p (λ) = - λ (- λ) - (- 1 \cdot 1)

$p (λ) = - λ (- λ) - (- 1 \cdot 1)$

Langkah 5.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 1)

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 1)$

Langkah 5.2.2

Kalikan

λ

$λ$ dengan

λ

$λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Pindahkan

λ

$λ$ .

p (λ) = - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 1)

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 1)$

Langkah 5.2.2.2

Kalikan

λ

$λ$ dengan

λ

$λ$ .

p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Langkah 5.2.3

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

- 1

$- 1$ .

p (λ) = 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)

$p (λ) = 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Langkah 5.2.4

Kalikan

λ^{2}

$λ^{2}$ dengan

1

$1$ .

p (λ) = λ^{2} - (- 1 \cdot 1)

$p (λ) = λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Langkah 5.2.5

Kalikan

- (- 1 \cdot 1)

$- (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.5.1

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

1

$1$ .

p (λ) = λ^{2} - - 1

$p (λ) = λ^{2} - - 1$

Langkah 5.2.5.2

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

- 1

$- 1$ .

p (λ) = λ^{2} + 1

$p (λ) = λ^{2} + 1$

p (λ) = λ^{2} + 1

$p (λ) = λ^{2} + 1$

p (λ) = λ^{2} + 1

$p (λ) = λ^{2} + 1$

p (λ) = λ^{2} + 1

$p (λ) = λ^{2} + 1$

Langkah 6

Atur polinomial karakteristiknya agar sama dengan

0

$0$ untuk menemukan nilai eigen

λ

$λ$ .

λ^{2} + 1 = 0

$λ^{2} + 1 = 0$

Langkah 7

Selesaikan

λ

$λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kurangkan

1

$1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

λ^{2} = - 1

$λ^{2} = - 1$

Langkah 7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

λ = \pm \sqrt{- 1}

$λ = \pm \sqrt{- 1}$

Langkah 7.3

Tulis kembali

\sqrt{- 1}

$\sqrt{- 1}$ sebagai

i

$i$ .

λ = \pm i

$λ = \pm i$

Langkah 7.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari

\pm

$\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

λ = i

$λ = i$

Langkah 7.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari

\pm

$\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

λ = - i

$λ = - i$

Langkah 7.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

λ = i, - i

$λ = i, - i$

λ = i, - i

$λ = i, - i$

λ = i, - i

$λ = i, - i$