Aljabar Linear Contoh

$A = [\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}]$

Langkah 1

Temukan nilai eigennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan rumus untuk menentukan persamaan karakteristik $p (λ)$ .

$p (λ) = determinan (A - λ I_{2})$

Langkah 1.2

Matriks satuan atau matriks satuan dengan ordo $2$ adalah matriks persegi $2 \times 2$ dengan bilangan satu di diagonal utama dan nol di elemen lainnya.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 1.3

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam $p (λ) = determinan (A - λ I_{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan $[\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}]$ untuk $A$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}] - λ I_{2})$

Langkah 1.3.2

Substitusikan $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ untuk $I_{2}$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Kalikan $- λ$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.2

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.2.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.2.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.3

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.3.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.3.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Langkah 1.4.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 6 - λ & - 3 + 0 \\ - 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Tambahkan $- 3$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 6 - λ & - 3 \\ - 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3.2

Tambahkan $- 2$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 6 - λ & - 3 \\ - 2 & 1 - λ \end{array}]$

Langkah 1.5

Find the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (6 - λ) (1 - λ) - (- 2 \cdot - 3)$

Langkah 1.5.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.1

Perluas $(6 - λ) (1 - λ)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 6 (1 - λ) - λ (1 - λ) - (- 2 \cdot - 3)$

Langkah 1.5.2.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 6 \cdot 1 + 6 (- λ) - λ (1 - λ) - (- 2 \cdot - 3)$

Langkah 1.5.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 6 \cdot 1 + 6 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - (- 2 \cdot - 3)$

Langkah 1.5.2.1.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.2.1.1

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$p (λ) = 6 + 6 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - (- 2 \cdot - 3)$

Langkah 1.5.2.1.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $6$ .

$p (λ) = 6 - 6 λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - (- 2 \cdot - 3)$

Langkah 1.5.2.1.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = 6 - 6 λ - λ - λ (- λ) - (- 2 \cdot - 3)$

Langkah 1.5.2.1.2.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = 6 - 6 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 2 \cdot - 3)$

Langkah 1.5.2.1.2.1.5

Kalikan $λ$ dengan $λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.2.1.5.1

Pindahkan $λ$ .

$p (λ) = 6 - 6 λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 2 \cdot - 3)$

Langkah 1.5.2.1.2.1.5.2

Kalikan $λ$ dengan $λ$ .

$p (λ) = 6 - 6 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 2 \cdot - 3)$

Langkah 1.5.2.1.2.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = 6 - 6 λ - λ + 1 λ^{2} - (- 2 \cdot - 3)$

Langkah 1.5.2.1.2.1.7

Kalikan $λ^{2}$ dengan $1$ .

$p (λ) = 6 - 6 λ - λ + λ^{2} - (- 2 \cdot - 3)$

Langkah 1.5.2.1.2.2

Kurangi $λ$ dengan $- 6 λ$ .

$p (λ) = 6 - 7 λ + λ^{2} - (- 2 \cdot - 3)$

Langkah 1.5.2.1.3

Kalikan $- (- 2 \cdot - 3)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.3.1

Kalikan $- 2$ dengan $- 3$ .

$p (λ) = 6 - 7 λ + λ^{2} - 1 \cdot 6$

Langkah 1.5.2.1.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $6$ .

$p (λ) = 6 - 7 λ + λ^{2} - 6$

Langkah 1.5.2.2

Gabungkan suku balikan dalam $6 - 7 λ + λ^{2} - 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.1

Kurangi $6$ dengan $6$ .

$p (λ) = - 7 λ + λ^{2} + 0$

Langkah 1.5.2.2.2

Tambahkan $- 7 λ + λ^{2}$ dan $0$ .

$p (λ) = - 7 λ + λ^{2}$

Langkah 1.5.2.3

Susun kembali $- 7 λ$ dan $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 7 λ$

Langkah 1.6

Atur polinomial karakteristiknya agar sama dengan $0$ untuk menemukan nilai eigen $λ$ .

$λ^{2} - 7 λ = 0$

Langkah 1.7

Selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Faktorkan $λ$ dari $λ^{2} - 7 λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.1

Faktorkan $λ$ dari $λ^{2}$ .

$λ \cdot λ - 7 λ = 0$

Langkah 1.7.1.2

Faktorkan $λ$ dari $- 7 λ$ .

$λ \cdot λ + λ \cdot - 7 = 0$

Langkah 1.7.1.3

Faktorkan $λ$ dari $λ \cdot λ + λ \cdot - 7$ .

$λ (λ - 7) = 0$

Langkah 1.7.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$λ = 0$

$λ - 7 = 0$

Langkah 1.7.3

Atur $λ$ sama dengan $0$ .

$λ = 0$

Langkah 1.7.4

Atur $λ - 7$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.1

Atur $λ - 7$ sama dengan $0$ .

$λ - 7 = 0$

Langkah 1.7.4.2

Tambahkan $7$ ke kedua sisi persamaan.

$λ = 7$

Langkah 1.7.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $λ (λ - 7) = 0$ benar.

$λ = 0, 7$

Langkah 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Langkah 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumusnya.

$N ([\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}] + 0 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Kalikan $0$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.2.1

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.2

Kalikan $0$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.3

Kalikan $0$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.4

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.2.2

Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Tambahkan elemen yang seletak.

$[\begin{array}{c} 6 + 0 & - 3 + 0 \\ - 2 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.2

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1

Tambahkan $6$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 + 0 \\ - 2 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.2.2

Tambahkan $- 3$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.2.3

Tambahkan $- 2$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 + 0 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.2.4

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}]$

Langkah 3.3

Find the null space when $λ = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 \\ - 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{6}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{6}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6}{6} & \frac{- 3}{6} & \frac{0}{6} \\ - 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.1.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ - 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & 1 + 2 (- \frac{1}{2}) & 0 + 2 \cdot 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.2.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{1}{2} y = 0$

$0 = 0$

Langkah 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{y}{2} \\ y \end{array}]$

Langkah 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]$

Langkah 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Langkah 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]}$

Langkah 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumusnya.

$N ([\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}] - 7 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Kalikan $- 7$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.2.1

Kalikan $- 7$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.2

Kalikan $- 7$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.3

Kalikan $- 7$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 \\ 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.4

Kalikan $- 7$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 \\ 0 & - 7 \end{array}]$

Langkah 4.2.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$[\begin{array}{c} 6 - 7 & - 3 + 0 \\ - 2 + 0 & 1 - 7 \end{array}]$

Langkah 4.2.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Kurangi $7$ dengan $6$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & - 3 + 0 \\ - 2 + 0 & 1 - 7 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.2

Tambahkan $- 3$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ - 2 + 0 & 1 - 7 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.3

Tambahkan $- 2$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ - 2 & 1 - 7 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.4

Kurangi $7$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ - 2 & - 6 \end{array}]$

Langkah 4.3

Find the null space when $λ = 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & - 3 & 0 \\ - 2 & - 6 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - - 3 & - 0 \\ - 2 & - 6 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.1.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ - 2 & - 6 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & - 6 + 2 \cdot 3 & 0 + 2 \cdot 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.2.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + 3 y = 0$

$0 = 0$

Langkah 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 3 y \\ y \end{array}]$

Langkah 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - 3 \\ 1 \end{array}]$

Langkah 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - 3 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Langkah 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 3 \\ 1 \end{array}]}$

Langkah 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 3 \\ 1 \end{array}]}$