Aljabar Linear Contoh

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}]$

Langkah 1

Gunakan rumus untuk menentukan persamaan karakteristik $p (λ)$ .

$p (λ) = determinan (A - λ I_{3})$

Langkah 2

Matriks satuan atau matriks satuan dengan ordo $3$ adalah matriks persegi $3 \times 3$ dengan bilangan satu di diagonal utama dan nol di elemen lainnya.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 3

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam $p (λ) = determinan (A - λ I_{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $[\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}]$ untuk $A$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] - λ I_{3})$

Langkah 3.2

Substitusikan $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ untuk $I_{3}$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Kalikan $- λ$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.2

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.2.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.3

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.3.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.4

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.4.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.4.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.6

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.6.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.6.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.7

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.7.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.7.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.8

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.8.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.8.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.9

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Langkah 4.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 & 1 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.3

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.4

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ & 1 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ & 1 \\ 1 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.6

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 2 - λ \end{array}]$

Langkah 5

Find the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Langkah 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Langkah 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$

Langkah 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(2 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$

Langkah 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$

Langkah 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$

Langkah 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Langkah 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Langkah 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (2 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Langkah 5.2

Evaluasi $| \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) ((2 - λ) (2 - λ) - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Perluas $(2 - λ) (2 - λ)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = (2 - λ) (2 (2 - λ) - λ (2 - λ) - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = (2 - λ) (2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ (2 - λ) - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = (2 - λ) (2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$p (λ) = (2 - λ) (4 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$p (λ) = (2 - λ) (4 - 2 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.2.1.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.2.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = (2 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.2.1.5

Kalikan $λ$ dengan $λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.2.1.5.1

Pindahkan $λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.2.1.5.2

Kalikan $λ$ dengan $λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.2.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.2.1.7

Kalikan $λ^{2}$ dengan $1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.2.2

Kurangi $2 λ$ dengan $- 2 λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (4 - 4 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (4 - 4 λ + λ^{2} - 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.2

Kurangi $1$ dengan $4$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 4 λ + λ^{2} + 3) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.3

Susun kembali $- 4 λ$ dan $λ^{2}$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Langkah 5.3

Evaluasi $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (1 (2 - λ) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Kalikan $2 - λ$ dengan $1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (2 - λ - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Langkah 5.3.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (2 - λ - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Langkah 5.3.2.2

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (- λ + 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Langkah 5.4

Evaluasi $| \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (- λ + 1) + 1 (1 \cdot 1 - (2 - λ))$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (- λ + 1) + 1 (1 - (2 - λ))$

Langkah 5.4.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (- λ + 1) + 1 (1 - 1 \cdot 2 - - λ)$

Langkah 5.4.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (- λ + 1) + 1 (1 - 2 - - λ)$

Langkah 5.4.2.1.4

Kalikan $- - λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (- λ + 1) + 1 (1 - 2 + 1 λ)$

Langkah 5.4.2.1.4.2

Kalikan $λ$ dengan $1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (- λ + 1) + 1 (1 - 2 + λ)$

Langkah 5.4.2.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (- λ + 1) + 1 (- 1 + λ)$

Langkah 5.4.2.3

Susun kembali $- 1$ dan $λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

Langkah 5.5

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.1

Perluas $(2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$p (λ) = 2 λ^{2} + 2 (- 4 λ) + 2 \cdot 3 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

Langkah 5.5.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 2 \cdot 3 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

Langkah 5.5.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

Langkah 5.5.1.2.3

Kalikan $λ$ dengan $λ^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.2.3.1

Pindahkan $λ^{2}$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - (λ^{2} λ) - λ (- 4 λ) - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

Langkah 5.5.1.2.3.2

Kalikan $λ^{2}$ dengan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.2.3.2.1

Naikkan $λ$ menjadi pangkat $1$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 4 λ) - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

Langkah 5.5.1.2.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - λ^{2 + 1} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

Langkah 5.5.1.2.3.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - λ^{3} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

Langkah 5.5.1.2.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 λ \cdot λ - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

Langkah 5.5.1.2.5

Kalikan $λ$ dengan $λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.2.5.1

Pindahkan $λ$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 (λ \cdot λ) - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

Langkah 5.5.1.2.5.2

Kalikan $λ$ dengan $λ$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 λ^{2} - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

Langkah 5.5.1.2.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - λ^{3} + 4 λ^{2} - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

Langkah 5.5.1.2.7

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - λ^{3} + 4 λ^{2} - 3 λ - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

Langkah 5.5.1.3

Tambahkan $2 λ^{2}$ dan $4 λ^{2}$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 8 λ + 6 - λ^{3} - 3 λ - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

Langkah 5.5.1.4

Kurangi $3 λ$ dengan $- 8 λ$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 11 λ + 6 - λ^{3} - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

Langkah 5.5.1.5

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 6 λ^{2} - 11 λ + 6 - λ^{3} - 1 (- λ) - 1 \cdot 1 + 1 (λ - 1)$

Langkah 5.5.1.6

Kalikan $- 1 (- λ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 11 λ + 6 - λ^{3} + 1 λ - 1 \cdot 1 + 1 (λ - 1)$

Langkah 5.5.1.6.2

Kalikan $λ$ dengan $1$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 11 λ + 6 - λ^{3} + λ - 1 \cdot 1 + 1 (λ - 1)$

Langkah 5.5.1.7

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 11 λ + 6 - λ^{3} + λ - 1 + 1 (λ - 1)$

Langkah 5.5.1.8

Kalikan $λ - 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 11 λ + 6 - λ^{3} + λ - 1 + λ - 1$

Langkah 5.5.2

Tambahkan $- 11 λ$ dan $λ$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 10 λ + 6 - λ^{3} - 1 + λ - 1$

Langkah 5.5.3

Tambahkan $- 10 λ$ dan $λ$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 9 λ + 6 - λ^{3} - 1 - 1$

Langkah 5.5.4

Kurangi $1$ dengan $6$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 9 λ - λ^{3} + 5 - 1$

Langkah 5.5.5

Kurangi $1$ dengan $5$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 9 λ - λ^{3} + 4$

Langkah 5.5.6

Pindahkan $- 9 λ$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - λ^{3} - 9 λ + 4$

Langkah 5.5.7

Susun kembali $6 λ^{2}$ dan $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 9 λ + 4$

Langkah 6

Atur polinomial karakteristiknya agar sama dengan $0$ untuk menemukan nilai eigen $λ$ .

$- λ^{3} + 6 λ^{2} - 9 λ + 4 = 0$

Langkah 7

Selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Faktorkan $- λ^{3} + 6 λ^{2} - 9 λ + 4$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Langkah 7.1.1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Langkah 7.1.1.3

Substitusikan $1$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $1$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.1

Substitusikan $1$ ke dalam polinomialnya.

$- 1^{3} + 6 \cdot 1^{2} - 9 \cdot 1 + 4$

Langkah 7.1.1.3.2

Naikkan $1$ menjadi pangkat $3$ .

$- 1 \cdot 1 + 6 \cdot 1^{2} - 9 \cdot 1 + 4$

Langkah 7.1.1.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1 + 6 \cdot 1^{2} - 9 \cdot 1 + 4$

Langkah 7.1.1.3.4

Naikkan $1$ menjadi pangkat $2$ .

$- 1 + 6 \cdot 1 - 9 \cdot 1 + 4$

Langkah 7.1.1.3.5

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$- 1 + 6 - 9 \cdot 1 + 4$

Langkah 7.1.1.3.6

Tambahkan $- 1$ dan $6$ .

$5 - 9 \cdot 1 + 4$

Langkah 7.1.1.3.7

Kalikan $- 9$ dengan $1$ .

$5 - 9 + 4$

Langkah 7.1.1.3.8

Kurangi $9$ dengan $5$ .

$- 4 + 4$

Langkah 7.1.1.3.9

Tambahkan $- 4$ dan $4$ .

$0$

Langkah 7.1.1.4

Karena $1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $λ - 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{- λ^{3} + 6 λ^{2} - 9 λ + 4}{λ - 1}$

Langkah 7.1.1.5

Bagilah $- λ^{3} + 6 λ^{2} - 9 λ + 4$ dengan $λ - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$λ$

$1$

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$9 λ$

$4$

Langkah 7.1.1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- λ^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$

Langkah 7.1.1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$

Langkah 7.1.1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- λ^{3} + λ^{2}$

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$

Langkah 7.1.1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$

Langkah 7.1.1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$

Langkah 7.1.1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $5 λ^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$

Langkah 7.1.1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$
					+	$5 λ^{2}$	-	$5 λ$

Langkah 7.1.1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $5 λ^{2} - 5 λ$

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$
					-	$5 λ^{2}$	+	$5 λ$

Langkah 7.1.1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$
					-	$5 λ^{2}$	+	$5 λ$
							-	$4 λ$

Langkah 7.1.1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$
					-	$5 λ^{2}$	+	$5 λ$
							-	$4 λ$	+	$4$

Langkah 7.1.1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 4 λ$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$	-	$4$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$
					-	$5 λ^{2}$	+	$5 λ$
							-	$4 λ$	+	$4$

Langkah 7.1.1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$	-	$4$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$
					-	$5 λ^{2}$	+	$5 λ$
							-	$4 λ$	+	$4$
							-	$4 λ$	+	$4$

Langkah 7.1.1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 4 λ + 4$

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$	-	$4$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$
					-	$5 λ^{2}$	+	$5 λ$
							-	$4 λ$	+	$4$
							+	$4 λ$	-	$4$

Langkah 7.1.1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$	-	$4$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$
					-	$5 λ^{2}$	+	$5 λ$
							-	$4 λ$	+	$4$
							+	$4 λ$	-	$4$
										$0$

Langkah 7.1.1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$- λ^{2} + 5 λ - 4$

Langkah 7.1.1.6

Tulis $- λ^{3} + 6 λ^{2} - 9 λ + 4$ sebagai himpunan faktor.

$(λ - 1) (- λ^{2} + 5 λ - 4) = 0$

Langkah 7.1.2

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.1.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ dan yang jumlahnya adalah $b = 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.1.1.1

Faktorkan $5$ dari $5 λ$ .

$(λ - 1) (- λ^{2} + 5 (λ) - 4) = 0$

Langkah 7.1.2.1.1.2

Tulis kembali $5$ sebagai $1$ ditambah $4$

$(λ - 1) (- λ^{2} + (1 + 4) λ - 4) = 0$

Langkah 7.1.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$(λ - 1) (- λ^{2} + 1 λ + 4 λ - 4) = 0$

Langkah 7.1.2.1.1.4

Kalikan $λ$ dengan $1$ .

$(λ - 1) (- λ^{2} + λ + 4 λ - 4) = 0$

Langkah 7.1.2.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(λ - 1) ((- λ^{2} + λ) + 4 λ - 4) = 0$

Langkah 7.1.2.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$(λ - 1) (λ (- λ + 1) - 4 (- λ + 1)) = 0$

Langkah 7.1.2.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $- λ + 1$ .

$(λ - 1) ((- λ + 1) (λ - 4)) = 0$

Langkah 7.1.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(λ - 1) (- λ + 1) (λ - 4) = 0$

Langkah 7.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$λ - 1 = 0$

$- λ + 1 = 0$

$λ - 4 = 0$

Langkah 7.3

Atur $λ - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Atur $λ - 1$ sama dengan $0$ .

$λ - 1 = 0$

Langkah 7.3.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$λ = 1$

Langkah 7.4

Atur $λ - 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Atur $λ - 4$ sama dengan $0$ .

$λ - 4 = 0$

Langkah 7.4.2

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$λ = 4$

Langkah 7.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(λ - 1) (- λ + 1) (λ - 4) = 0$ benar.

$λ = 1, 4$