Aljabar Linear Contoh

26 a + 8 b = 28

$26 a + 8 b = 28$ ,

8 a + 3 b = 9

$8 a + 3 b = 9$

Langkah 1

Tentukan

A X = B

$A X = B$ dari sistem persamaan tersebut.

[\begin{matrix} 26 & 8 8 & 3 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} a b \end{matrix}] = [\begin{matrix} 289 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 26 & 8 \\ 8 & 3 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} 28 \\ 9 \end{array}]$

Langkah 2

Tentukan balikan dari matriks koefisien.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

The inverse of a

2 \times 2

$2 \times 2$ matrix can be found using the formula

\frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b - c & a \end{matrix}]

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where

a d - b c

$a d - b c$ is the determinant.

Langkah 2.2

Find the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Determinan dari matriks

2 \times 2

$2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

26 \cdot 3 - 8 \cdot 8

$26 \cdot 3 - 8 \cdot 8$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Kalikan

26

$26$ dengan

3

$3$ .

78 - 8 \cdot 8

$78 - 8 \cdot 8$

Langkah 2.2.2.1.2

Kalikan

- 8

$- 8$ dengan

8

$8$ .

78 - 64

$78 - 64$

78 - 64

$78 - 64$

Langkah 2.2.2.2

Kurangi

64

$64$ dengan

78

$78$ .

14

$14$

14

$14$

14

$14$

Langkah 2.3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Langkah 2.4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

\frac{1}{14} [\begin{matrix} 3 & - 8 - 8 & 26 \end{matrix}]

$\frac{1}{14} [\begin{array}{c} 3 & - 8 \\ - 8 & 26 \end{array}]$

Langkah 2.5

Kalikan

\frac{1}{14}

$\frac{1}{14}$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

[\begin{matrix} \frac{1}{14} \cdot 3 & \frac{1}{14} \cdot - 8 \frac{1}{14} \cdot - 8 & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{1}{14} \cdot 3 & \frac{1}{14} \cdot - 8 \\ \frac{1}{14} \cdot - 8 & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{array}]$

Langkah 2.6

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Gabungkan

\frac{1}{14}

$\frac{1}{14}$ dan

3

$3$ .

[\begin{matrix} \frac{3}{14} & \frac{1}{14} \cdot - 8 \frac{1}{14} \cdot - 8 & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & \frac{1}{14} \cdot - 8 \\ \frac{1}{14} \cdot - 8 & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{array}]$

Langkah 2.6.2

Batalkan faktor persekutuan dari

2

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.1

Faktorkan

2

$2$ dari

14

$14$ .

⎡ ⎣ \begin{matrix} \frac{3}{14} & \frac{1}{2 (7)} \cdot - 8 \frac{1}{14} \cdot - 8 & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & \frac{1}{2 (7)} \cdot - 8 \\ \frac{1}{14} \cdot - 8 & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{array}]$

Langkah 2.6.2.2

Faktorkan

2

$2$ dari

- 8

$- 8$ .

[\begin{matrix} \frac{3}{14} & \frac{1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot - 4) \frac{1}{14} \cdot - 8 & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & \frac{1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot - 4) \\ \frac{1}{14} \cdot - 8 & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{array}]$

Langkah 2.6.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & \frac{1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot - 4) \\ \frac{1}{14} \cdot - 8 & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{array}]$

Langkah 2.6.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & \frac{1}{7} \cdot - 4 \\ \frac{1}{14} \cdot - 8 & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{array}]$

Langkah 2.6.3

Gabungkan

$\frac{1}{7}$ dan

$- 4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & \frac{- 4}{7} \\ \frac{1}{14} \cdot - 8 & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{array}]$

Langkah 2.6.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & - \frac{4}{7} \\ \frac{1}{14} \cdot - 8 & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{array}]$

Langkah 2.6.5

Batalkan faktor persekutuan dari

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.5.1

Faktorkan

$2$ dari

$14$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & - \frac{4}{7} \\ \frac{1}{2 (7)} \cdot - 8 & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{array}]$

Langkah 2.6.5.2

Faktorkan

$2$ dari

$- 8$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & - \frac{4}{7} \\ \frac{1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot - 4) & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{array}]$

Langkah 2.6.5.3

Batalkan faktor persekutuan.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & - \frac{4}{7} \\ \frac{1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot - 4) & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{array}]$

Langkah 2.6.5.4

Tulis kembali pernyataannya.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & - \frac{4}{7} \\ \frac{1}{7} \cdot - 4 & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{array}]$

Langkah 2.6.6

Gabungkan

$\frac{1}{7}$ dan

$- 4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & - \frac{4}{7} \\ \frac{- 4}{7} & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{array}]$

Langkah 2.6.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & - \frac{4}{7} \\ - \frac{4}{7} & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{array}]$

Langkah 2.6.8

Batalkan faktor persekutuan dari

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.8.1

Faktorkan

$2$ dari

$14$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & - \frac{4}{7} \\ - \frac{4}{7} & \frac{1}{2 (7)} \cdot 26 \end{array}]$

Langkah 2.6.8.2

Faktorkan

$2$ dari

$26$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & - \frac{4}{7} \\ - \frac{4}{7} & \frac{1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot 13) \end{array}]$

Langkah 2.6.8.3

Batalkan faktor persekutuan.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & - \frac{4}{7} \\ - \frac{4}{7} & \frac{1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot 13) \end{array}]$

Langkah 2.6.8.4

Tulis kembali pernyataannya.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & - \frac{4}{7} \\ - \frac{4}{7} & \frac{1}{7} \cdot 13 \end{array}]$

Langkah 2.6.9

Gabungkan

$\frac{1}{7}$ dan

$13$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & - \frac{4}{7} \\ - \frac{4}{7} & \frac{13}{7} \end{array}]$

Langkah 3

Kalikan kedua sisi persamaan matriks dengan matriks balikan.

$([\begin{array}{c} \frac{3}{14} & - \frac{4}{7} \\ - \frac{4}{7} & \frac{13}{7} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 26 & 8 \\ 8 & 3 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{3}{14} & - \frac{4}{7} \\ - \frac{4}{7} & \frac{13}{7} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 28 \\ 9 \end{array}]$

Langkah 4

Semua matriks akan selalu bernilai

$1$ jika dikalikan dengan balikannya.

$A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{3}{14} & - \frac{4}{7} \\ - \frac{4}{7} & \frac{13}{7} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 28 \\ 9 \end{array}]$

Langkah 5

Kalikan

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & - \frac{4}{7} \\ - \frac{4}{7} & \frac{13}{7} \end{array}] [\begin{array}{c} 28 \\ 9 \end{array}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is

$2 \times 2$ and the second matrix is

$2 \times 1$ .

Langkah 5.2

Kalikan setiap baris pada matriks pertama dengan setiap kolom pada matriks kedua.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} \cdot 28 - \frac{4}{7} \cdot 9 \\ - \frac{4}{7} \cdot 28 + \frac{13}{7} \cdot 9 \end{array}]$

Langkah 5.3

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks dengan mengalikan semua pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kalikan

$- 16$ dengan

$7$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6}{7} \\ \frac{- 112 + 117}{7} \end{array}]$

Langkah 5.3.2

Tambahkan

$- 112$ dan

$117$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6}{7} \\ \frac{5}{7} \end{array}]$

Langkah 6

Sederhanakan sisi kiri dan kanan.

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{6}{7} \\ \frac{5}{7} \end{array}]$

Langkah 7

Tentukan penyelesaiannya.

$a = \frac{6}{7}$

$b = \frac{5}{7}$