Aljabar Linear Contoh

2 x + 3 y - z = 2

$2 x + 3 y - z = 2$

3 x + 5 y + z = 5

$3 x + 5 y + z = 5$

Langkah 1

Tulis sistem sebagai matriks.

[\begin{matrix} 2 & 3 & - 1 & 2 3 & 5 & 1 & 5 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 2 & 3 & - 1 & 2 \\ 3 & 5 & 1 & 5 \end{array}]$

Langkah 2

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan setiap elemen

R_{1}

$R_{1}$ dengan

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ untuk membuat entri pada

1, 1

$1, 1$ menjadi

1

$1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Kalikan setiap elemen

R_{1}

$R_{1}$ dengan

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ untuk membuat entri pada

1, 1

$1, 1$ menjadi

1

$1$ .

[\begin{matrix} \frac{2}{2} & \frac{3}{2} & \frac{- 1}{2} & \frac{2}{2} 3 & 5 & 1 & 5 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{3}{2} & \frac{- 1}{2} & \frac{2}{2} \\ 3 & 5 & 1 & 5 \end{array}]$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{matrix} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 3 & 5 & 1 & 5 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 3 & 5 & 1 & 5 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 3 & 5 & 1 & 5 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 3 & 5 & 1 & 5 \end{array}]$

Langkah 2.2

Lakukan operasi baris

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ untuk membuat entri di

2, 1

$2, 1$ menjadi

0

$0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Lakukan operasi baris

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ untuk membuat entri di

2, 1

$2, 1$ menjadi

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 3 - 3 \cdot 1 & 5 - 3 (\frac{3}{2}) & 1 - 3 (- \frac{1}{2}) & 5 - 3 \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 5 - 3 (\frac{3}{2}) & 1 - 3 (- \frac{1}{2}) & 5 - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 0 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} & 2 \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} & 2 \end{array}]$

⎡ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 0 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} & 2 \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} & 2 \end{array}]$

Langkah 2.3

Kalikan setiap elemen

R_{2}

$R_{2}$ dengan

2

$2$ untuk membuat entri pada

2, 2

$2, 2$ menjadi

1

$1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kalikan setiap elemen

R_{2}

$R_{2}$ dengan

2

$2$ untuk membuat entri pada

2, 2

$2, 2$ menjadi

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 2 \cdot 0 & 2 (\frac{1}{2}) & 2 (\frac{5}{2}) & 2 \cdot 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 2 \cdot 0 & 2 (\frac{1}{2}) & 2 (\frac{5}{2}) & 2 \cdot 2 \end{array}]$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{matrix} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 0 & 1 & 5 & 4 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 1 & 5 & 4 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 0 & 1 & 5 & 4 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 1 & 5 & 4 \end{array}]$

Langkah 2.4

Lakukan operasi baris

R_{1} = R_{1} - \frac{3}{2} R_{2}

$R_{1} = R_{1} - \frac{3}{2} R_{2}$ untuk membuat entri di

1, 2

$1, 2$ menjadi

0

$0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Lakukan operasi baris

R_{1} = R_{1} - \frac{3}{2} R_{2}

$R_{1} = R_{1} - \frac{3}{2} R_{2}$ untuk membuat entri di

$1, 2$ menjadi

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3}{2} \cdot 0 & \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} \cdot 5 & 1 - \frac{3}{2} \cdot 4 \\ 0 & 1 & 5 & 4 \end{array}]$

Langkah 2.4.2

Sederhanakan

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 8 & - 5 \\ 0 & 1 & 5 & 4 \end{array}]$

Langkah 3

Gunakan matriks hasil untuk menyatakan penyelesaian akhir sistem persamaan tersebut.

$x - 8 z = - 5$

$y + 5 z = 4$

Langkah 4

Penyelesaiannya adalah himpunan pasangan terurut, jadi sistem tersebut benar.

$(- 5 + 8 z, 4 - 5 z, z)$