Aljabar Linear Contoh

$- 3 + 3 \sqrt{3} i$

Langkah 1

Hitung jarak dari $(a, b)$ ke titik awal menggunakan rumus $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(3 \sqrt{3})}^{2}}$

Langkah 2

Sederhanakan $\sqrt{{(- 3)}^{2} + {(3 \sqrt{3})}^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$r = \sqrt{9 + {(3 \sqrt{3})}^{2}}$

Langkah 2.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 \sqrt{3}$ .

$r = \sqrt{9 + 3^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Langkah 2.1.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$r = \sqrt{9 + 9 {\sqrt{3}}^{2}}$

Langkah 2.2

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{9 + 9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 2.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 2.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 2.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 2.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3^{1}}$

Langkah 2.2.5

Evaluasi eksponennya.

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3}$

Langkah 2.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kalikan $9$ dengan $3$ .

$r = \sqrt{9 + 27}$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $9$ dan $27$ .

$r = \sqrt{36}$

Langkah 2.3.3

Tulis kembali $36$ sebagai $6^{2}$ .

$r = \sqrt{6^{2}}$

Langkah 2.3.4

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$r = 6$

Langkah 3

Hitung sudut acuan $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{3 \sqrt{3}}{- 3} |)$

Langkah 4

Sederhanakan $\arctan (| \frac{3 \sqrt{3}}{- 3} |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Hapus faktor persekutuan dari $3$ dan $- 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Faktorkan $3$ dari $3 \sqrt{3}$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{3 (\sqrt{3})}{- 3} |)$

Langkah 4.1.2

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{\sqrt{3}}{- 1}$ .

$θ̂ = \arctan (| - 1 \cdot \sqrt{3} |)$

Langkah 4.2

Tulis kembali $- 1 \cdot \sqrt{3}$ sebagai $- \sqrt{3}$ .

$θ̂ = \arctan (| - \sqrt{3} |)$

Langkah 4.3

$- \sqrt{3}$ mendekati $- 1.7320508$ yang negatif sehingga meniadakan $- \sqrt{3}$ dan menghapus nilai mutlak

$θ̂ = \arctan (\sqrt{3})$

Langkah 4.4

Nilai eksak dari $\arctan (\sqrt{3})$ adalah $\frac{π}{3}$ .

$θ̂ = \frac{π}{3}$

Langkah 5

Titik ini terletak di kuadran kedua karena $x$ negatif dan $y$ positif. Kuadran diberi nama berlawanan arah jarum jam, dimulai dari kanan atas.

Kuadran $2$

Langkah 6

$(a, b)$ berada di kuadran kedua. $θ = π - θ̂$

$θ = π - \frac{π}{3}$

Langkah 7

Sederhanakan $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Langkah 7.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Langkah 7.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Langkah 7.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

Langkah 7.3.2

Kurangi $π$ dengan $3 π$ .

$\frac{2 π}{3}$

Langkah 8

Gunakan rumusnya untuk menentukan akar-akar dari bilangan kompleks.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Langkah 9

Substitusikan $r$ , $n$ , dan $θ$ ke dalam rumusnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π k}{2}$

Langkah 9.2

Gabungkan $π$ dan $\frac{3}{3}$ .

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π k}{2}$

Langkah 9.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{π \cdot 3 - π}{3} + 2 π k}{2}$

Langkah 9.4

Kurangi $π$ dengan $π \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.1

Susun kembali $π$ dan $3$ .

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{3 \cdot π - π}{3} + 2 π k}{2}$

Langkah 9.4.2

Kurangi $π$ dengan $3 \cdot π$ .

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k}{2}$

Langkah 9.5

Gabungkan ${(6)}^{\frac{1}{2}}$ dan $\frac{\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k}{2}$ .

$c i s \frac{{(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$

Langkah 9.6

Gabungkan $c$ dan $\frac{{(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$ .

$i s \frac{c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))}{2}$

Langkah 9.7

Gabungkan $i$ dan $\frac{c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))}{2}$ .

$s \frac{i (c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)))}{2}$

Langkah 9.8

Gabungkan $s$ dan $\frac{i (c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)))}{2}$ .

$\frac{s (i (c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))))}{2}$

Langkah 9.9

Hilangkan tanda kurung.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.9.1

Hilangkan tanda kurung.

$\frac{s (i (c (6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))))}{2}$

Langkah 9.9.2

Hilangkan tanda kurung.

$\frac{s (i (c \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)))}{2}$

Langkah 9.9.3

Hilangkan tanda kurung.

$\frac{s (i (c \cdot 6^{\frac{1}{2}}) (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))}{2}$

Langkah 9.9.4

Hilangkan tanda kurung.

$\frac{s (i c \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))}{2}$

Langkah 9.9.5

Hilangkan tanda kurung.

$\frac{s (i c \cdot 6^{\frac{1}{2}}) (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$

Langkah 9.9.6

Hilangkan tanda kurung.

$\frac{s (i c) \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$

Langkah 9.9.7

Hilangkan tanda kurung.

$\frac{s i c \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$

Langkah 10

Substitusikan $k = 0$ ke dalam rumusnya dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Hilangkan tanda kurung.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π - \frac{π}{3}) + 2 π (0)}{2})$

Langkah 10.2

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π (0)}{2})$

Langkah 10.3

Gabungkan $π$ dan $\frac{3}{3}$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π (0)}{2})$

Langkah 10.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 3 - π}{3} + 2 π (0)}{2})$

Langkah 10.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $π$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{3 \cdot π - π}{3} + 2 π (0)}{2})$

Langkah 10.5.2

Kurangi $π$ dengan $3 π$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 2 π (0)}{2})$

Langkah 10.6

Kalikan $2 π (0)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.6.1

Kalikan $0$ dengan $2$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 0 π}{2})$

Langkah 10.6.2

Kalikan $0$ dengan $π$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 0}{2})$

Langkah 10.7

Tambahkan $\frac{2 π}{3}$ dan $0$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3}}{2})$

Langkah 10.8

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Langkah 10.9

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.9.1

Faktorkan $2$ dari $2 π$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Langkah 10.9.2

Batalkan faktor persekutuan.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Langkah 10.9.3

Tulis kembali pernyataannya.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π}{3})$

Langkah 11

Substitusikan $k = 1$ ke dalam rumusnya dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Hilangkan tanda kurung.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π - \frac{π}{3}) + 2 π (1)}{2})$

Langkah 11.2

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π (1)}{2})$

Langkah 11.3

Gabungkan $π$ dan $\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π (1)}{2})$

Langkah 11.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 3 - π}{3} + 2 π (1)}{2})$

Langkah 11.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.1

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $π$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{3 \cdot π - π}{3} + 2 π (1)}{2})$

Langkah 11.5.2

Kurangi $π$ dengan $3 π$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 2 π (1)}{2})$

Langkah 11.6

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 2 π}{2})$

Langkah 11.7

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 2 π \cdot \frac{3}{3}}{2})$

Langkah 11.8

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + \frac{2 π \cdot 3}{3}}{2})$

Langkah 11.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π + 2 π \cdot 3}{3}}{2})$

Langkah 11.10

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.10.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π + 6 π}{3}}{2})$

Langkah 11.10.2

Tambahkan $2 π$ dan $6 π$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{8 π}{3}}{2})$

Langkah 11.11

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{8 π}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Langkah 11.12

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.12.1

Faktorkan $2$ dari $8 π$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 (4 π)}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Langkah 11.12.2

Batalkan faktor persekutuan.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 (4 π)}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Langkah 11.12.3

Tulis kembali pernyataannya.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{4 π}{3})$

Langkah 12

Sebutkan penyelesaian-penyelesaiannya.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π}{3})$

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{4 π}{3})$