Aljabar Linear Contoh

$x + y + z + t = 4$ ,

$2 x - y - z - t = - 1$ ,

$x + y - 2 z = 0$ ,

$3 x + 3 t = 6$

Langkah 1

Tentukan

$A X = B$ dari sistem persamaan tersebut.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 \\ 3 & 3 & 0 & 0 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} t \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 0 \\ 6 \end{array}]$

Langkah 2

Tentukan balikan dari matriks koefisien.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Temukan determinan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Pilih baris atau kolom dengan elemen

$0$ paling banyak. Jika tidak ada elemen

$0$ , pilih sebarang baris atau kolom. Kalikan setiap elemen di baris

$4$ dengan kofaktornya dan tambahkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Pertimbangkan grafik tanda yang sesuai.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Langkah 2.1.1.2

Kofaktornya minor dengan tanda yang diubah jika indeksnya cocok dengan posisi

$-$ di grafik tanda.

Langkah 2.1.1.3

Minor untuk

$a_{41}$ adalah determinan dengan baris

$4$ dan kolom

$1$ dihapus.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} |$

Langkah 2.1.1.4

Kalikan elemen

$a_{41}$ dengan kofaktornya.

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} |$

Langkah 2.1.1.5

Minor untuk

$a_{42}$ adalah determinan dengan baris

$4$ dan kolom

$2$ dihapus.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$

Langkah 2.1.1.6

Kalikan elemen

$a_{42}$ dengan kofaktornya.

$3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$

Langkah 2.1.1.7

Minor untuk

$a_{43}$ adalah determinan dengan baris

$4$ dan kolom

$3$ dihapus.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$

Langkah 2.1.1.8

Kalikan elemen

$a_{43}$ dengan kofaktornya.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$

Langkah 2.1.1.9

Minor untuk

$a_{44}$ adalah determinan dengan baris

$4$ dan kolom

$4$ dihapus.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Langkah 2.1.1.10

Kalikan elemen

$a_{44}$ dengan kofaktornya.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Langkah 2.1.1.11

Tambahkan semua sukunya.

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Langkah 2.1.2

Kalikan

$0$ dengan

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$ .

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Langkah 2.1.3

Kalikan

$0$ dengan

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$ .

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Langkah 2.1.4

Evaluasi

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Pilih baris atau kolom dengan elemen

$0$ paling banyak. Jika tidak ada elemen

$0$ , pilih sebarang baris atau kolom. Kalikan setiap elemen di baris

$1$ dengan kofaktornya dan tambahkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1.1

Pertimbangkan grafik tanda yang sesuai.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Langkah 2.1.4.1.2

Kofaktornya minor dengan tanda yang diubah jika indeksnya cocok dengan posisi

$-$ di grafik tanda.

Langkah 2.1.4.1.3

Minor untuk

$a_{11}$ adalah determinan dengan baris

$1$ dan kolom

$1$ dihapus.

$| \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Langkah 2.1.4.1.4

Kalikan elemen

$a_{11}$ dengan kofaktornya.

$1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Langkah 2.1.4.1.5

Minor untuk

$a_{12}$ adalah determinan dengan baris

$1$ dan kolom

$2$ dihapus.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Langkah 2.1.4.1.6

Kalikan elemen

$a_{12}$ dengan kofaktornya.

$- 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Langkah 2.1.4.1.7

Minor untuk

$a_{13}$ adalah determinan dengan baris

$1$ dan kolom

$3$ dihapus.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Langkah 2.1.4.1.8

Kalikan elemen

$a_{13}$ dengan kofaktornya.

$1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Langkah 2.1.4.1.9

Tambahkan semua sukunya.

$- 3 (1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Langkah 2.1.4.2

Evaluasi

$| \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.2.1

Determinan dari matriks

$2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3 (1 (- - 2 - 1 \cdot - 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Langkah 2.1.4.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.2.2.1.1

Kalikan

$- 1$ dengan

$- 2$ .

$- 3 (1 (2 - 1 \cdot - 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Langkah 2.1.4.2.2.1.2

Kalikan

$- 1$ dengan

$- 1$ .

$- 3 (1 (2 + 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Langkah 2.1.4.2.2.2

Tambahkan

$2$ dan

$1$ .

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Langkah 2.1.4.3

Evaluasi

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.3.1

Determinan dari matriks

$2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 (2 \cdot - 2 - 1 \cdot - 1) + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Langkah 2.1.4.3.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.3.2.1.1

Kalikan

$2$ dengan

$- 2$ .

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 (- 4 - 1 \cdot - 1) + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Langkah 2.1.4.3.2.1.2

Kalikan

$- 1$ dengan

$- 1$ .

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 (- 4 + 1) + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Langkah 2.1.4.3.2.2

Tambahkan

$- 4$ dan

$1$ .

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Langkah 2.1.4.4

Evaluasi

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.4.1

Determinan dari matriks

$2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 (2 \cdot 1 - 1 \cdot - 1)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Langkah 2.1.4.4.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.4.2.1.1

Kalikan

$2$ dengan

$1$ .

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 (2 - 1 \cdot - 1)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Langkah 2.1.4.4.2.1.2

Kalikan

$- 1$ dengan

$- 1$ .

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 (2 + 1)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Langkah 2.1.4.4.2.2

Tambahkan

$2$ dan

$1$ .

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 \cdot 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Langkah 2.1.4.5

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.5.1.1

Kalikan

$3$ dengan

$1$ .

$- 3 (3 - 1 \cdot - 3 + 1 \cdot 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Langkah 2.1.4.5.1.2

Kalikan

$- 1$ dengan

$- 3$ .

$- 3 (3 + 3 + 1 \cdot 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Langkah 2.1.4.5.1.3

Kalikan

$3$ dengan

$1$ .

$- 3 (3 + 3 + 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Langkah 2.1.4.5.2

Tambahkan

$3$ dan

$3$ .

$- 3 (6 + 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Langkah 2.1.4.5.3

Tambahkan

$6$ dan

$3$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Langkah 2.1.5

Evaluasi

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.1

Pilih baris atau kolom dengan elemen

$0$ paling banyak. Jika tidak ada elemen

$0$ , pilih sebarang baris atau kolom. Kalikan setiap elemen di kolom

$1$ dengan kofaktornya dan tambahkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.1.1

Pertimbangkan grafik tanda yang sesuai.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Langkah 2.1.5.1.2

Kofaktornya minor dengan tanda yang diubah jika indeksnya cocok dengan posisi

$-$ di grafik tanda.

Langkah 2.1.5.1.3

Minor untuk

$a_{11}$ adalah determinan dengan baris

$1$ dan kolom

$1$ dihapus.

$| \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Langkah 2.1.5.1.4

Kalikan elemen

$a_{11}$ dengan kofaktornya.

$1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Langkah 2.1.5.1.5

Minor untuk

$a_{21}$ adalah determinan dengan baris

$2$ dan kolom

$1$ dihapus.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Langkah 2.1.5.1.6

Kalikan elemen

$a_{21}$ dengan kofaktornya.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Langkah 2.1.5.1.7

Minor untuk

$a_{31}$ adalah determinan dengan baris

$3$ dan kolom

$1$ dihapus.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Langkah 2.1.5.1.8

Kalikan elemen

$a_{31}$ dengan kofaktornya.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Langkah 2.1.5.1.9

Tambahkan semua sukunya.

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Langkah 2.1.5.2

Kalikan

$0$ dengan

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0) + 0 + 0$

Langkah 2.1.5.3

Evaluasi

$| \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.3.1

Determinan dari matriks

$2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 (- - 2 - 1 \cdot - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0) + 0 + 0$

Langkah 2.1.5.3.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.3.2.1.1

Kalikan

$- 1$ dengan

$- 2$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 (2 - 1 \cdot - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0) + 0 + 0$

Langkah 2.1.5.3.2.1.2

Kalikan

$- 1$ dengan

$- 1$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 (2 + 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0) + 0 + 0$

Langkah 2.1.5.3.2.2

Tambahkan

$2$ dan

$1$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 \cdot 3 + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0) + 0 + 0$

Langkah 2.1.5.4

Evaluasi

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.4.1

Determinan dari matriks

$2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 \cdot 3 + 1 (1 \cdot - 2 - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0$

Langkah 2.1.5.4.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.4.2.1.1

Kalikan

$- 2$ dengan

$1$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 \cdot 3 + 1 (- 2 - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0$

Langkah 2.1.5.4.2.1.2

Kalikan

$- 1$ dengan

$1$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 \cdot 3 + 1 (- 2 - 1) + 0) + 0 + 0$

Langkah 2.1.5.4.2.2

Kurangi

$1$ dengan

$- 2$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 \cdot 3 + 1 \cdot - 3 + 0) + 0 + 0$

Langkah 2.1.5.5

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.5.1.1

Kalikan

$3$ dengan

$1$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (3 + 1 \cdot - 3 + 0) + 0 + 0$

Langkah 2.1.5.5.1.2

Kalikan

$- 3$ dengan

$1$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (3 - 3 + 0) + 0 + 0$

Langkah 2.1.5.5.2

Kurangi

$3$ dengan

$3$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (0 + 0) + 0 + 0$

Langkah 2.1.5.5.3

Tambahkan

$0$ dan

$0$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 \cdot 0 + 0 + 0$

Langkah 2.1.6

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.6.1.1

Kalikan

$- 3$ dengan

$9$ .

$- 27 + 3 \cdot 0 + 0 + 0$

Langkah 2.1.6.1.2

Kalikan

$3$ dengan

$0$ .

$- 27 + 0 + 0 + 0$

Langkah 2.1.6.2

Tambahkan

$- 27$ dan

$0$ .

$- 27 + 0 + 0$

Langkah 2.1.6.3

Tambahkan

$- 27$ dan

$0$ .

$- 27 + 0$

Langkah 2.1.6.4

Tambahkan

$- 27$ dan

$0$ .

$- 27$

Langkah 2.2

Karena determinannya bukan nol, terdapat balikan.

Langkah 2.3

Atur matriks

$4 \times 8$ di mana paruh kirinya adalah matriks asli dan paruh kanannya adalah matriks satuan.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 & - 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 2.4

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Lakukan operasi baris

$R_{2} = R_{2} + R_{1}$ untuk membuat entri di

$2, 1$ menjadi

$0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1.1

Lakukan operasi baris

$R_{2} = R_{2} + R_{1}$ untuk membuat entri di

$2, 1$ menjadi

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 2 + 1 \cdot 1 & - 1 + 1 \cdot 1 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 1 \cdot 1 & 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 2.4.1.2

Sederhanakan

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 2.4.2

Lakukan operasi baris

$R_{4} = R_{4} - 3 R_{1}$ untuk membuat entri di

$4, 1$ menjadi

$0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Lakukan operasi baris

$R_{4} = R_{4} - 3 R_{1}$ untuk membuat entri di

$4, 1$ menjadi

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 & 0 - 3 \cdot 0 & 1 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Langkah 2.4.2.2

Sederhanakan

$R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & - 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 2.4.3

Kalikan setiap elemen

$R_{2}$ dengan

$\frac{1}{3}$ untuk membuat entri pada

$2, 2$ menjadi

$1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.3.1

Kalikan setiap elemen

$R_{2}$ dengan

$\frac{1}{3}$ untuk membuat entri pada

$2, 2$ menjadi

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{0}{3} & \frac{3}{3} & \frac{0}{3} & \frac{0}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{0}{3} & \frac{0}{3} \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & - 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 2.4.3.2

Sederhanakan

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & - 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 2.4.4

Lakukan operasi baris

$R_{3} = R_{3} - R_{2}$ untuk membuat entri di

$3, 2$ menjadi

$0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.4.1

Lakukan operasi baris

$R_{3} = R_{3} - R_{2}$ untuk membuat entri di

$3, 2$ menjadi

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 1 - 0 & - 2 - 0 & 0 - \frac{1}{3} & 0 - \frac{1}{3} & 1 - 0 & 0 - 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & - 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 2.4.4.2

Sederhanakan

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & - 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 2.4.5

Lakukan operasi baris

$R_{4} = R_{4} + 3 R_{3}$ untuk membuat entri di

$4, 3$ menjadi

$0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.5.1

Lakukan operasi baris

$R_{4} = R_{4} + 3 R_{3}$ untuk membuat entri di

$4, 3$ menjadi

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ 0 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & - 3 + 3 \cdot - 2 & - 3 + 3 (- \frac{1}{3}) & 0 + 3 (- \frac{1}{3}) & 0 + 3 \cdot 1 & 1 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

Langkah 2.4.5.2

Sederhanakan

$R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 9 & - 4 & - 1 & 3 & 1 \end{array}]$

Langkah 2.4.6

Kalikan setiap elemen

$R_{4}$ dengan

$- \frac{1}{9}$ untuk membuat entri pada

$4, 4$ menjadi

$1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.6.1

Kalikan setiap elemen

$R_{4}$ dengan

$- \frac{1}{9}$ untuk membuat entri pada

$4, 4$ menjadi

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ - \frac{1}{9} \cdot 0 & - \frac{1}{9} \cdot 0 & - \frac{1}{9} \cdot 0 & - \frac{1}{9} \cdot - 9 & - \frac{1}{9} \cdot - 4 & - \frac{1}{9} \cdot - 1 & - \frac{1}{9} \cdot 3 & - \frac{1}{9} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 2.4.6.2

Sederhanakan

$R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Langkah 2.4.7

Lakukan operasi baris

$R_{3} = R_{3} + 2 R_{4}$ untuk membuat entri di

$3, 4$ menjadi

$0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.7.1

Lakukan operasi baris

$R_{3} = R_{3} + 2 R_{4}$ untuk membuat entri di

$3, 4$ menjadi

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 + 2 \cdot 0 & 0 + 2 \cdot 0 & 1 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & - \frac{1}{3} + 2 (\frac{4}{9}) & - \frac{1}{3} + 2 (\frac{1}{9}) & 1 + 2 (- \frac{1}{3}) & 0 + 2 (- \frac{1}{9}) \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Langkah 2.4.7.2

Sederhanakan

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Langkah 2.4.8

Lakukan operasi baris

$R_{1} = R_{1} - R_{4}$ untuk membuat entri di

$1, 4$ menjadi

$0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.8.1

Lakukan operasi baris

$R_{1} = R_{1} - R_{4}$ untuk membuat entri di

$1, 4$ menjadi

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & 1 - \frac{4}{9} & 0 - \frac{1}{9} & 0 + \frac{1}{3} & 0 + \frac{1}{9} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Langkah 2.4.8.2

Sederhanakan

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Langkah 2.4.9

Lakukan operasi baris

$R_{1} = R_{1} - R_{3}$ untuk membuat entri di

$1, 3$ menjadi

$0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.9.1

Lakukan operasi baris

$R_{1} = R_{1} - R_{3}$ untuk membuat entri di

$1, 3$ menjadi

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & \frac{5}{9} - \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} & \frac{1}{3} - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} + \frac{2}{9} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Langkah 2.4.9.2

Sederhanakan

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Langkah 2.4.10

Lakukan operasi baris

$R_{1} = R_{1} - R_{2}$ untuk membuat entri di

$1, 2$ menjadi

$0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.10.1

Lakukan operasi baris

$R_{1} = R_{1} - R_{2}$ untuk membuat entri di

$1, 2$ menjadi

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - \frac{1}{3} & 0 - \frac{1}{3} & 0 - 0 & \frac{1}{3} - 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Langkah 2.4.10.2

Sederhanakan

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Langkah 2.5

Paruh kanan bentuk eselon baris yang dikurangi adalah balikan.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Langkah 3

Kalikan kedua sisi persamaan matriks dengan matriks balikan.

$([\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 \\ 3 & 3 & 0 & 0 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} t \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 0 \\ 6 \end{array}]$

Langkah 4

Semua matriks akan selalu bernilai

$1$ jika dikalikan dengan balikannya.

$A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} t \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 0 \\ 6 \end{array}]$

Langkah 5

Kalikan

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Dua matriks dapat dikalikan jika dan hanya jika jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua. Dalam kasus ini, matriks pertama adalah

$4 \times 4$ dan matriks kedua adalah

$4 \times 1$ .

Langkah 5.2

Kalikan setiap baris pada matriks pertama dengan setiap kolom pada matriks kedua.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot 4 - \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 6 \\ \frac{1}{3} \cdot 4 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 6 \\ \frac{5}{9} \cdot 4 - \frac{1}{9} \cdot - 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{2}{9} \cdot 6 \\ \frac{4}{9} \cdot 4 + \frac{1}{9} \cdot - 1 - \frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{9} \cdot 6 \end{array}]$

Langkah 5.3

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks dengan mengalikan semua pernyataannya.

$[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

Langkah 6

Sederhanakan sisi kiri dan kanan.

$[\begin{array}{c} t \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

Langkah 7

Tentukan penyelesaiannya.

$t = 1$

$x = 1$

$y = 1$

$z = 1$