Aljabar Linear Contoh

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 8 & 1 & 10 \\ 6 & 2 & 5 \end{array}]$

Langkah 1

Untuk menentukan kolom dalam matriks tak bebas secara linear, tentukan apakah persamaan $A x = 0$ memiliki penyelesaian nontrivial.

Langkah 2

Tulis sebagai matriks imbuhan untuk $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 8 & 1 & 10 & 0 \\ 6 & 2 & 5 & 0 \end{array}]$

Langkah 3

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Lakukan operasi baris $R_{2} = R_{2} - 8 R_{1}$ untuk membuat entri di $2, 1$ menjadi $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Lakukan operasi baris $R_{2} = R_{2} - 8 R_{1}$ untuk membuat entri di $2, 1$ menjadi $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 8 - 8 \cdot 1 & 1 - 8 \cdot 2 & 10 - 8 \cdot 1 & 0 - 8 \cdot 0 \\ 6 & 2 & 5 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 15 & 2 & 0 \\ 6 & 2 & 5 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.2

Lakukan operasi baris $R_{3} = R_{3} - 6 R_{1}$ untuk membuat entri di $3, 1$ menjadi $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Lakukan operasi baris $R_{3} = R_{3} - 6 R_{1}$ untuk membuat entri di $3, 1$ menjadi $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 15 & 2 & 0 \\ 6 - 6 \cdot 1 & 2 - 6 \cdot 2 & 5 - 6 \cdot 1 & 0 - 6 \cdot 0 \end{array}]$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 15 & 2 & 0 \\ 0 & - 10 & - 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3

Kalikan setiap elemen $R_{2}$ dengan $- \frac{1}{15}$ untuk membuat entri pada $2, 2$ menjadi $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kalikan setiap elemen $R_{2}$ dengan $- \frac{1}{15}$ untuk membuat entri pada $2, 2$ menjadi $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ - \frac{1}{15} \cdot 0 & - \frac{1}{15} \cdot - 15 & - \frac{1}{15} \cdot 2 & - \frac{1}{15} \cdot 0 \\ 0 & - 10 & - 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 \\ 0 & - 10 & - 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.4

Lakukan operasi baris $R_{3} = R_{3} + 10 R_{2}$ untuk membuat entri di $3, 2$ menjadi $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Lakukan operasi baris $R_{3} = R_{3} + 10 R_{2}$ untuk membuat entri di $3, 2$ menjadi $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 \\ 0 + 10 \cdot 0 & - 10 + 10 \cdot 1 & - 1 + 10 (- \frac{2}{15}) & 0 + 10 \cdot 0 \end{array}]$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{7}{3} & 0 \end{array}]$

Langkah 3.5

Kalikan setiap elemen $R_{3}$ dengan $- \frac{3}{7}$ untuk membuat entri pada $3, 3$ menjadi $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Kalikan setiap elemen $R_{3}$ dengan $- \frac{3}{7}$ untuk membuat entri pada $3, 3$ menjadi $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 \\ - \frac{3}{7} \cdot 0 & - \frac{3}{7} \cdot 0 & - \frac{3}{7} (- \frac{7}{3}) & - \frac{3}{7} \cdot 0 \end{array}]$

Langkah 3.5.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.6

Lakukan operasi baris $R_{2} = R_{2} + \frac{2}{15} R_{3}$ untuk membuat entri di $2, 3$ menjadi $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Lakukan operasi baris $R_{2} = R_{2} + \frac{2}{15} R_{3}$ untuk membuat entri di $2, 3$ menjadi $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 + \frac{2}{15} \cdot 0 & 1 + \frac{2}{15} \cdot 0 & - \frac{2}{15} + \frac{2}{15} \cdot 1 & 0 + \frac{2}{15} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.6.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.7

Lakukan operasi baris $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ untuk membuat entri di $1, 3$ menjadi $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Lakukan operasi baris $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ untuk membuat entri di $1, 3$ menjadi $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 2 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.7.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.8

Lakukan operasi baris $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ untuk membuat entri di $1, 2$ menjadi $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Lakukan operasi baris $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ untuk membuat entri di $1, 2$ menjadi $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.8.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 4

Tulis matriks sebagai sistem persamaan linear.

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

Langkah 5

Karena satu-satunya penyelesaian untuk $A x = 0$ adalah penyelesaian trivial, vektornya bebas secara linear.

Bebas Secara Linear