Aljabar Linear Contoh

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 47 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ 7 \end{array}]$ ,

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 6 - 5 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 6 \\ - 5 \\ 8 \end{array}]$ ,

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 159 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 9 \end{array}]$

Langkah 1

Untuk menentukan kolom dalam matriks tak bebas secara linear, tentukan apakah persamaan

A x = 0

$A x = 0$ memiliki penyelesaian nontrivial.

Langkah 2

Tulis sebagai matriks imbuhan untuk

A x = 0

$A x = 0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 6 & 1 & 0 4 & - 5 & 5 & 0 7 & 8 & 9 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 1 & 6 & 1 & 0 \\ 4 & - 5 & 5 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

Langkah 3

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap elemen

R_{1}

$R_{1}$ dengan

- 1

$- 1$ untuk membuat entri pada

1, 1

$1, 1$ menjadi

1

$1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Kalikan setiap elemen

R_{1}

$R_{1}$ dengan

- 1

$- 1$ untuk membuat entri pada

1, 1

$1, 1$ menjadi

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - - 1 & - 1 \cdot 6 & - 1 \cdot 1 & - 0 4 & - 5 & 5 & 0 7 & 8 & 9 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 1 \cdot 6 & - 1 \cdot 1 & - 0 \\ 4 & - 5 & 5 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 4 & - 5 & 5 & 0 7 & 8 & 9 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 4 & - 5 & 5 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 4 & - 5 & 5 & 0 7 & 8 & 9 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 4 & - 5 & 5 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.2

Lakukan operasi baris

R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ untuk membuat entri di

2, 1

$2, 1$ menjadi

0

$0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Lakukan operasi baris

R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ untuk membuat entri di

2, 1

$2, 1$ menjadi

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 4 - 4 \cdot 1 & - 5 - 4 \cdot - 6 & 5 - 4 \cdot - 1 & 0 - 4 \cdot 0 7 & 8 & 9 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 5 - 4 \cdot - 6 & 5 - 4 \cdot - 1 & 0 - 4 \cdot 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 19 & 9 & 0 7 & 8 & 9 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 19 & 9 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 19 & 9 & 0 7 & 8 & 9 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 19 & 9 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3

Lakukan operasi baris

R_{3} = R_{3} - 7 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 7 R_{1}$ untuk membuat entri di

3, 1

$3, 1$ menjadi

0

$0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Lakukan operasi baris

R_{3} = R_{3} - 7 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 7 R_{1}$ untuk membuat entri di

3, 1

$3, 1$ menjadi

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 19 & 9 & 0 7 - 7 \cdot 1 & 8 - 7 \cdot - 6 & 9 - 7 \cdot - 1 & 0 - 7 \cdot 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 19 & 9 & 0 \\ 7 - 7 \cdot 1 & 8 - 7 \cdot - 6 & 9 - 7 \cdot - 1 & 0 - 7 \cdot 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 19 & 9 & 0 0 & 50 & 16 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 19 & 9 & 0 \\ 0 & 50 & 16 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 19 & 9 & 0 0 & 50 & 16 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 19 & 9 & 0 \\ 0 & 50 & 16 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.4

Kalikan setiap elemen

R_{2}

$R_{2}$ dengan

\frac{1}{19}

$\frac{1}{19}$ untuk membuat entri pada

2, 2

$2, 2$ menjadi

1

$1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Kalikan setiap elemen

R_{2}

$R_{2}$ dengan

\frac{1}{19}

$\frac{1}{19}$ untuk membuat entri pada

2, 2

$2, 2$ menjadi

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 \frac{0}{19} & \frac{19}{19} & \frac{9}{19} & \frac{0}{19} 0 & 50 & 16 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ \frac{0}{19} & \frac{19}{19} & \frac{9}{19} & \frac{0}{19} \\ 0 & 50 & 16 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 0 & 50 & 16 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 & 50 & 16 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 0 & 50 & 16 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 & 50 & 16 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.5

Lakukan operasi baris

R_{3} = R_{3} - 50 R_{2}

$R_{3} = R_{3} - 50 R_{2}$ untuk membuat entri di

3, 2

$3, 2$ menjadi

0

$0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Lakukan operasi baris

R_{3} = R_{3} - 50 R_{2}

$R_{3} = R_{3} - 50 R_{2}$ untuk membuat entri di

3, 2

$3, 2$ menjadi

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 0 - 50 \cdot 0 & 50 - 50 \cdot 1 & 16 - 50 (\frac{9}{19}) & 0 - 50 \cdot 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 - 50 \cdot 0 & 50 - 50 \cdot 1 & 16 - 50 (\frac{9}{19}) & 0 - 50 \cdot 0 \end{array}]$

Langkah 3.5.2

Sederhanakan

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 0 & 0 & - \frac{146}{19} & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{146}{19} & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 0 & 0 & - \frac{146}{19} & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{146}{19} & 0 \end{array}]$

Langkah 3.6

Kalikan setiap elemen

R_{3}

$R_{3}$ dengan

- \frac{19}{146}

$- \frac{19}{146}$ untuk membuat entri pada

3, 3

$3, 3$ menjadi

1

$1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Kalikan setiap elemen

R_{3}

$R_{3}$ dengan

- \frac{19}{146}

$- \frac{19}{146}$ untuk membuat entri pada

3, 3

$3, 3$ menjadi

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 - \frac{19}{146} \cdot 0 & - \frac{19}{146} \cdot 0 & - \frac{19}{146} (- \frac{146}{19}) & - \frac{19}{146} \cdot 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ - \frac{19}{146} \cdot 0 & - \frac{19}{146} \cdot 0 & - \frac{19}{146} (- \frac{146}{19}) & - \frac{19}{146} \cdot 0 \end{array}]$

Langkah 3.6.2

Sederhanakan

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.7

Lakukan operasi baris

R_{2} = R_{2} - \frac{9}{19} R_{3}

$R_{2} = R_{2} - \frac{9}{19} R_{3}$ untuk membuat entri di

2, 3

$2, 3$ menjadi

0

$0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Lakukan operasi baris

R_{2} = R_{2} - \frac{9}{19} R_{3}

$R_{2} = R_{2} - \frac{9}{19} R_{3}$ untuk membuat entri di

2, 3

$2, 3$ menjadi

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 - \frac{9}{19} \cdot 0 & 1 - \frac{9}{19} \cdot 0 & \frac{9}{19} - \frac{9}{19} \cdot 1 & 0 - \frac{9}{19} \cdot 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 - \frac{9}{19} \cdot 0 & 1 - \frac{9}{19} \cdot 0 & \frac{9}{19} - \frac{9}{19} \cdot 1 & 0 - \frac{9}{19} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.7.2

Sederhanakan

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.8

Lakukan operasi baris

R_{1} = R_{1} + R_{3}

$R_{1} = R_{1} + R_{3}$ untuk membuat entri di

1, 3

$1, 3$ menjadi

0

$0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Lakukan operasi baris

R_{1} = R_{1} + R_{3}

$R_{1} = R_{1} + R_{3}$ untuk membuat entri di

1, 3

$1, 3$ menjadi

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 + 0 & - 6 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 6 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.8.2

Sederhanakan

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.9

Lakukan operasi baris

R_{1} = R_{1} + 6 R_{2}

$R_{1} = R_{1} + 6 R_{2}$ untuk membuat entri di

1, 2

$1, 2$ menjadi

0

$0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1

Lakukan operasi baris

R_{1} = R_{1} + 6 R_{2}

$R_{1} = R_{1} + 6 R_{2}$ untuk membuat entri di

1, 2

$1, 2$ menjadi

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 + 6 \cdot 0 & - 6 + 6 \cdot 1 & 0 + 6 \cdot 0 & 0 + 6 \cdot 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 + 6 \cdot 0 & - 6 + 6 \cdot 1 & 0 + 6 \cdot 0 & 0 + 6 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.9.2

Sederhanakan

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 4

Tulis matriks sebagai sistem persamaan linear.

x = 0

$x = 0$

y = 0

$y = 0$

z = 0

$z = 0$

Langkah 5

Karena satu-satunya penyelesaian untuk

A x = 0

$A x = 0$ adalah penyelesaian trivial, vektornya bebas secara linear.

Bebas Secara Linear