Aljabar Linear Contoh

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 - 1 412 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 4 \\ 1 \\ 2 \end{array}]$ ,

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 12 - 1 52 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \\ 5 \\ 2 \end{array}]$ ,

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 21 - 3 61 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \\ 6 \\ 1 \end{array}]$

Langkah 1

Untuk menentukan kolom dalam matriks tak bebas secara linear, tentukan apakah persamaan

A x = 0

$A x = 0$ memiliki penyelesaian nontrivial.

Langkah 2

Tulis sebagai matriks imbuhan untuk

A x = 0

$A x = 0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 1 & 2 & 0 - 1 & 2 & 1 & 0 4 & - 1 & - 3 & 0 1 & 5 & 6 & 0 2 & 2 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 2 & 0 \\ - 1 & 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap elemen

R_{1}

$R_{1}$ dengan

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ untuk membuat entri pada

1, 1

$1, 1$ menjadi

1

$1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Kalikan setiap elemen

R_{1}

$R_{1}$ dengan

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ untuk membuat entri pada

1, 1

$1, 1$ menjadi

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{2}{2} & \frac{1}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} - 1 & 2 & 1 & 0 4 & - 1 & - 3 & 0 1 & 5 & 6 & 0 2 & 2 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{1}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} \\ - 1 & 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 - 1 & 2 & 1 & 0 4 & - 1 & - 3 & 0 1 & 5 & 6 & 0 2 & 2 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 - 1 & 2 & 1 & 0 4 & - 1 & - 3 & 0 1 & 5 & 6 & 0 2 & 2 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.2

Lakukan operasi baris

R_{2} = R_{2} + R_{1}

$R_{2} = R_{2} + R_{1}$ untuk membuat entri di

2, 1

$2, 1$ menjadi

0

$0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Lakukan operasi baris

R_{2} = R_{2} + R_{1}

$R_{2} = R_{2} + R_{1}$ untuk membuat entri di

$2, 1$ menjadi

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 2 + \frac{1}{2} & 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3

Lakukan operasi baris

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ untuk membuat entri di

$3, 1$ menjadi

$0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Lakukan operasi baris

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ untuk membuat entri di

$3, 1$ menjadi

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 1 - 4 (\frac{1}{2}) & - 3 - 4 \cdot 1 & 0 - 4 \cdot 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 0 & - 3 & - 7 & 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.4

Lakukan operasi baris

$R_{4} = R_{4} - R_{1}$ untuk membuat entri di

$4, 1$ menjadi

$0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Lakukan operasi baris

$R_{4} = R_{4} - R_{1}$ untuk membuat entri di

$4, 1$ menjadi

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 0 & - 3 & - 7 & 0 \\ 1 - 1 & 5 - \frac{1}{2} & 6 - 1 & 0 - 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan

$R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 0 & - 3 & - 7 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.5

Lakukan operasi baris

$R_{5} = R_{5} - 2 R_{1}$ untuk membuat entri di

$5, 1$ menjadi

$0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Lakukan operasi baris

$R_{5} = R_{5} - 2 R_{1}$ untuk membuat entri di

$5, 1$ menjadi

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 0 & - 3 & - 7 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 2 - 2 (\frac{1}{2}) & 1 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Langkah 3.5.2

Sederhanakan

$R_{5}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 0 & - 3 & - 7 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.6

Kalikan setiap elemen

$R_{2}$ dengan

$\frac{2}{5}$ untuk membuat entri pada

$2, 2$ menjadi

$1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Kalikan setiap elemen

$R_{2}$ dengan

$\frac{2}{5}$ untuk membuat entri pada

$2, 2$ menjadi

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2} & \frac{2}{5} \cdot 2 & \frac{2}{5} \cdot 0 \\ 0 & - 3 & - 7 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.6.2

Sederhanakan

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & - 3 & - 7 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.7

Lakukan operasi baris

$R_{3} = R_{3} + 3 R_{2}$ untuk membuat entri di

$3, 2$ menjadi

$0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Lakukan operasi baris

$R_{3} = R_{3} + 3 R_{2}$ untuk membuat entri di

$3, 2$ menjadi

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & - 7 + 3 (\frac{4}{5}) & 0 + 3 \cdot 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.7.2

Sederhanakan

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{23}{5} & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.8

Lakukan operasi baris

$R_{4} = R_{4} - \frac{9}{2} R_{2}$ untuk membuat entri di

$4, 2$ menjadi

$0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Lakukan operasi baris

$R_{4} = R_{4} - \frac{9}{2} R_{2}$ untuk membuat entri di

$4, 2$ menjadi

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{23}{5} & 0 \\ 0 - \frac{9}{2} \cdot 0 & \frac{9}{2} - \frac{9}{2} \cdot 1 & 5 - \frac{9}{2} \cdot \frac{4}{5} & 0 - \frac{9}{2} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.8.2

Sederhanakan

$R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{23}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{7}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.9

Lakukan operasi baris

$R_{5} = R_{5} - R_{2}$ untuk membuat entri di

$5, 2$ menjadi

$0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1

Lakukan operasi baris

$R_{5} = R_{5} - R_{2}$ untuk membuat entri di

$5, 2$ menjadi

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{23}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{7}{5} & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & - 1 - \frac{4}{5} & 0 - 0 \end{array}]$

Langkah 3.9.2

Sederhanakan

$R_{5}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{23}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{7}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{9}{5} & 0 \end{array}]$

Langkah 3.10

Kalikan setiap elemen

$R_{3}$ dengan

$- \frac{5}{23}$ untuk membuat entri pada

$3, 3$ menjadi

$1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.1

Kalikan setiap elemen

$R_{3}$ dengan

$- \frac{5}{23}$ untuk membuat entri pada

$3, 3$ menjadi

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ - \frac{5}{23} \cdot 0 & - \frac{5}{23} \cdot 0 & - \frac{5}{23} (- \frac{23}{5}) & - \frac{5}{23} \cdot 0 \\ 0 & 0 & \frac{7}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{9}{5} & 0 \end{array}]$

Langkah 3.10.2

Sederhanakan

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{7}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{9}{5} & 0 \end{array}]$

Langkah 3.11

Lakukan operasi baris

$R_{4} = R_{4} - \frac{7}{5} R_{3}$ untuk membuat entri di

$4, 3$ menjadi

$0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.1

Lakukan operasi baris

$R_{4} = R_{4} - \frac{7}{5} R_{3}$ untuk membuat entri di

$4, 3$ menjadi

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 - \frac{7}{5} \cdot 0 & 0 - \frac{7}{5} \cdot 0 & \frac{7}{5} - \frac{7}{5} \cdot 1 & 0 - \frac{7}{5} \cdot 0 \\ 0 & 0 & - \frac{9}{5} & 0 \end{array}]$

Langkah 3.11.2

Sederhanakan

$R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{9}{5} & 0 \end{array}]$

Langkah 3.12

Lakukan operasi baris

$R_{5} = R_{5} + \frac{9}{5} R_{3}$ untuk membuat entri di

$5, 3$ menjadi

$0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.1

Lakukan operasi baris

$R_{5} = R_{5} + \frac{9}{5} R_{3}$ untuk membuat entri di

$5, 3$ menjadi

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 + \frac{9}{5} \cdot 0 & 0 + \frac{9}{5} \cdot 0 & - \frac{9}{5} + \frac{9}{5} \cdot 1 & 0 + \frac{9}{5} \cdot 0 \end{array}]$

Langkah 3.12.2

Sederhanakan

$R_{5}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.13

Lakukan operasi baris

$R_{2} = R_{2} - \frac{4}{5} R_{3}$ untuk membuat entri di

$2, 3$ menjadi

$0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.13.1

Lakukan operasi baris

$R_{2} = R_{2} - \frac{4}{5} R_{3}$ untuk membuat entri di

$2, 3$ menjadi

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 - \frac{4}{5} \cdot 0 & 1 - \frac{4}{5} \cdot 0 & \frac{4}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1 & 0 - \frac{4}{5} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.13.2

Sederhanakan

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.14

Lakukan operasi baris

$R_{1} = R_{1} - R_{3}$ untuk membuat entri di

$1, 3$ menjadi

$0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.14.1

Lakukan operasi baris

$R_{1} = R_{1} - R_{3}$ untuk membuat entri di

$1, 3$ menjadi

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & \frac{1}{2} - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.14.2

Sederhanakan

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.15

Lakukan operasi baris

$R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ untuk membuat entri di

$1, 2$ menjadi

$0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.15.1

Lakukan operasi baris

$R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ untuk membuat entri di

$1, 2$ menjadi

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.15.2

Sederhanakan

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 4

Hilangkan baris yang berisi nol semua.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 5

Tulis matriks sebagai sistem persamaan linear.

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

Langkah 6

Karena satu-satunya penyelesaian untuk

$A x = 0$ adalah penyelesaian trivial, vektornya bebas secara linear.

Bebas Secara Linear