Aljabar Linear Contoh

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 0 & - 1 & 4 6 & 0 & - 2 1 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 4 \\ 6 & 0 & - 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 1

Temukan determinan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Pilih baris atau kolom dengan elemen

0

$0$ paling banyak. Jika tidak ada elemen

0

$0$ , pilih sebarang baris atau kolom. Kalikan setiap elemen di kolom

2

$2$ dengan kofaktornya dan tambahkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Pertimbangkan grafik tanda yang sesuai.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Langkah 1.1.2

Kofaktornya minor dengan tanda yang diubah jika indeksnya cocok dengan posisi

-

$-$ di grafik tanda.

Langkah 1.1.3

Minor untuk

a_{12}

$a_{12}$ adalah determinan dengan baris

1

$1$ dan kolom

2

$2$ dihapus.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 6 & - 2 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Langkah 1.1.4

Kalikan elemen

a_{12}

$a_{12}$ dengan kofaktornya.

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 6 & - 2 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Langkah 1.1.5

Minor untuk

a_{22}

$a_{22}$ adalah determinan dengan baris

2

$2$ dan kolom

2

$2$ dihapus.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Langkah 1.1.6

Kalikan elemen

a_{22}

$a_{22}$ dengan kofaktornya.

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Langkah 1.1.7

Minor untuk

a_{32}

$a_{32}$ adalah determinan dengan baris

3

$3$ dan kolom

2

$2$ dihapus.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 6 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

Langkah 1.1.8

Kalikan elemen

a_{32}

$a_{32}$ dengan kofaktornya.

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 6 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

Langkah 1.1.9

Tambahkan semua sukunya.

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 6 & - 2 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 6 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 6 & - 2 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 6 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

Langkah 1.2

Kalikan

$0$ dengan

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$ .

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

Langkah 1.3

Kalikan

$0$ dengan

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$ .

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 + 0$

Langkah 1.4

Evaluasi

$| \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Determinan dari matriks

$2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (6 \cdot 0 - 1 \cdot - 2) + 0 + 0$

Langkah 1.4.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1.1

Kalikan

$6$ dengan

$0$ .

$1 (0 - 1 \cdot - 2) + 0 + 0$

Langkah 1.4.2.1.2

Kalikan

$- 1$ dengan

$- 2$ .

$1 (0 + 2) + 0 + 0$

Langkah 1.4.2.2

Tambahkan

$0$ dan

$2$ .

$1 \cdot 2 + 0 + 0$

Langkah 1.5

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kalikan

$2$ dengan

$1$ .

$2 + 0 + 0$

Langkah 1.5.2

Tambahkan

$2$ dan

$0$ .

$2 + 0$

Langkah 1.5.3

Tambahkan

$2$ dan

$0$ .

$2$

Langkah 2

Karena determinannya bukan nol, terdapat balikan.

Langkah 3

Atur matriks

$3 \times 6$ di mana paruh kirinya adalah matriks asli dan paruh kanannya adalah matriks satuan.

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 6 & 0 & - 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 4

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tukar

$R_{2}$ dengan

$R_{1}$ untuk meletakkan entri bukan nol di

$1, 1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 0 & - 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 4.2

Kalikan setiap elemen

$R_{1}$ dengan

$\frac{1}{6}$ untuk membuat entri pada

$1, 1$ menjadi

$1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kalikan setiap elemen

$R_{1}$ dengan

$\frac{1}{6}$ untuk membuat entri pada

$1, 1$ menjadi

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6}{6} & \frac{0}{6} & \frac{- 2}{6} & \frac{0}{6} & \frac{1}{6} & \frac{0}{6} \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 4.3

Lakukan operasi baris

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ untuk membuat entri di

$3, 1$ menjadi

$0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Lakukan operasi baris

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ untuk membuat entri di

$3, 1$ menjadi

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 0 - 0 & 0 + \frac{1}{3} & 0 - 0 & 0 - \frac{1}{6} & 1 - 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

Langkah 4.4

Kalikan setiap elemen

$R_{2}$ dengan

$- 1$ untuk membuat entri pada

$2, 2$ menjadi

$1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Kalikan setiap elemen

$R_{2}$ dengan

$- 1$ untuk membuat entri pada

$2, 2$ menjadi

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 4 & - 1 \cdot 1 & - 0 & - 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

Langkah 4.4.2

Sederhanakan

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

Langkah 4.5

Kalikan setiap elemen

$R_{3}$ dengan

$3$ untuk membuat entri pada

$3, 3$ menjadi

$1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Kalikan setiap elemen

$R_{3}$ dengan

$3$ untuk membuat entri pada

$3, 3$ menjadi

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 0 & 3 (\frac{1}{3}) & 3 \cdot 0 & 3 (- \frac{1}{6}) & 3 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.5.2

Sederhanakan

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Langkah 4.6

Lakukan operasi baris

$R_{2} = R_{2} + 4 R_{3}$ untuk membuat entri di

$2, 3$ menjadi

$0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Lakukan operasi baris

$R_{2} = R_{2} + 4 R_{3}$ untuk membuat entri di

$2, 3$ menjadi

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 + 4 \cdot 0 & 1 + 4 \cdot 0 & - 4 + 4 \cdot 1 & - 1 + 4 \cdot 0 & 0 + 4 (- \frac{1}{2}) & 0 + 4 \cdot 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Langkah 4.6.2

Sederhanakan

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Langkah 4.7

Lakukan operasi baris

$R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{3}$ untuk membuat entri di

$1, 3$ menjadi

$0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Lakukan operasi baris

$R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{3}$ untuk membuat entri di

$1, 3$ menjadi

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 & 0 + \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{6} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{2}) & 0 + \frac{1}{3} \cdot 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Langkah 4.7.2

Sederhanakan

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Langkah 5

Paruh kanan bentuk eselon baris yang dikurangi adalah balikan.

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 \\ - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$