Aljabar Linear Contoh

$2 x_{1} + 4 x_{2} + 6 x_{3} = 18$ $4 x_{1} + 5 x_{2} - 6 x_{3} = 24$ $2 x_{1} + x_{2} - 12 x_{3} = 6$

Langkah 1

Tulis sistem sebagai matriks.

$[\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 & 18 \\ 4 & 5 & - 6 & 24 \\ 2 & 1 & - 12 & 6 \end{array}]$

Langkah 2

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan setiap elemen $R_{1}$ dengan $\frac{1}{2}$ untuk membuat entri pada $1, 1$ menjadi $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Kalikan setiap elemen $R_{1}$ dengan $\frac{1}{2}$ untuk membuat entri pada $1, 1$ menjadi $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{4}{2} & \frac{6}{2} & \frac{18}{2} \\ 4 & 5 & - 6 & 24 \\ 2 & 1 & - 12 & 6 \end{array}]$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 9 \\ 4 & 5 & - 6 & 24 \\ 2 & 1 & - 12 & 6 \end{array}]$

Langkah 2.2

Lakukan operasi baris $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ untuk membuat entri di $2, 1$ menjadi $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Lakukan operasi baris $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ untuk membuat entri di $2, 1$ menjadi $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 9 \\ 4 - 4 \cdot 1 & 5 - 4 \cdot 2 & - 6 - 4 \cdot 3 & 24 - 4 \cdot 9 \\ 2 & 1 & - 12 & 6 \end{array}]$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 9 \\ 0 & - 3 & - 18 & - 12 \\ 2 & 1 & - 12 & 6 \end{array}]$

Langkah 2.3

Lakukan operasi baris $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ untuk membuat entri di $3, 1$ menjadi $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Lakukan operasi baris $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ untuk membuat entri di $3, 1$ menjadi $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 9 \\ 0 & - 3 & - 18 & - 12 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 2 & - 12 - 2 \cdot 3 & 6 - 2 \cdot 9 \end{array}]$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 9 \\ 0 & - 3 & - 18 & - 12 \\ 0 & - 3 & - 18 & - 12 \end{array}]$

Langkah 2.4

Kalikan setiap elemen $R_{2}$ dengan $- \frac{1}{3}$ untuk membuat entri pada $2, 2$ menjadi $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Kalikan setiap elemen $R_{2}$ dengan $- \frac{1}{3}$ untuk membuat entri pada $2, 2$ menjadi $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 9 \\ - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot - 18 & - \frac{1}{3} \cdot - 12 \\ 0 & - 3 & - 18 & - 12 \end{array}]$

Langkah 2.4.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 9 \\ 0 & 1 & 6 & 4 \\ 0 & - 3 & - 18 & - 12 \end{array}]$

Langkah 2.5

Lakukan operasi baris $R_{3} = R_{3} + 3 R_{2}$ untuk membuat entri di $3, 2$ menjadi $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Lakukan operasi baris $R_{3} = R_{3} + 3 R_{2}$ untuk membuat entri di $3, 2$ menjadi $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 9 \\ 0 & 1 & 6 & 4 \\ 0 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & - 18 + 3 \cdot 6 & - 12 + 3 \cdot 4 \end{array}]$

Langkah 2.5.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 9 \\ 0 & 1 & 6 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 2.6

Lakukan operasi baris $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ untuk membuat entri di $1, 2$ menjadi $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Lakukan operasi baris $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ untuk membuat entri di $1, 2$ menjadi $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 3 - 2 \cdot 6 & 9 - 2 \cdot 4 \\ 0 & 1 & 6 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 2.6.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 9 & 1 \\ 0 & 1 & 6 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3

Gunakan matriks hasil untuk menyatakan penyelesaian akhir sistem persamaan tersebut.

$x_{1} - 9 x_{3} = 1$

$x_{2} + 6 x_{3} = 4$

$0 = 0$

Langkah 4

Penyelesaiannya adalah himpunan pasangan terurut, jadi sistem tersebut benar.

$(1 + 9 x_{3}, 4 - 6 x_{3}, x_{3})$