Matematika Berhingga Contoh

$\log (x - 2) + \log (x + 2) > 2 \log (x - 1)$

Langkah 1

Ubah pertidaksamaan tersebut menjadi persamaan.

$\log (x - 2) + \log (x + 2) = 2 \log (x - 1)$

Langkah 2

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x - 2) (x + 2)) = 2 \log (x - 1)$

Langkah 2.1.2

Perluas $(x - 2) (x + 2)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\log (x (x + 2) - 2 (x + 2)) = 2 \log (x - 1)$

Langkah 2.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\log (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 (x + 2)) = 2 \log (x - 1)$

Langkah 2.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\log (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

Langkah 2.1.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Gabungkan suku balikan dalam $x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1.1

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $x \cdot 2$ dan $- 2 x$ .

$\log (x \cdot x + 2 x - 2 x - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

Langkah 2.1.3.1.2

Kurangi $2 x$ dengan $2 x$ .

$\log (x \cdot x + 0 - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

Langkah 2.1.3.1.3

Tambahkan $x \cdot x$ dan $0$ .

$\log (x \cdot x - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

Langkah 2.1.3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.2.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\log (x^{2} - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

Langkah 2.1.3.2.2

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$\log (x^{2} - 4) = 2 \log (x - 1)$

Langkah 2.2

Sederhanakan $2 \log (x - 1)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\log (x^{2} - 4) = \log ({(x - 1)}^{2})$

Langkah 2.3

Agar persamaannya sama, argumen dari logaritma di kedua sisi persamaannya harus sama.

$x^{2} - 4 = {(x - 1)}^{2}$

Langkah 2.4

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Sederhanakan ${(x - 1)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1.1

Tulis kembali.

$x^{2} - 4 = 0 + 0 + {(x - 1)}^{2}$

Langkah 2.4.1.2

Tulis kembali ${(x - 1)}^{2}$ sebagai $(x - 1) (x - 1)$ .

$x^{2} - 4 = (x - 1) (x - 1)$

Langkah 2.4.1.3

Perluas $(x - 1) (x - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$x^{2} - 4 = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Langkah 2.4.1.3.2

Terapkan sifat distributif.

$x^{2} - 4 = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Langkah 2.4.1.3.3

Terapkan sifat distributif.

$x^{2} - 4 = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Langkah 2.4.1.4

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1.4.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Langkah 2.4.1.4.1.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Langkah 2.4.1.4.1.3

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Langkah 2.4.1.4.1.4

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Langkah 2.4.1.4.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} - x - x + 1$

Langkah 2.4.1.4.2

Kurangi $x$ dengan $- x$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} - 2 x + 1$

Langkah 2.4.2

Karena $x$ ada di sisi kanan persamaan, tukar sisinya sehingga berada di sisi kiri persamaan.

$x^{2} - 2 x + 1 = x^{2} - 4$

Langkah 2.4.3

Pindahkan semua suku yang mengandung $x$ ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.3.1

Kurangkan $x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} - 2 x + 1 - x^{2} = - 4$

Langkah 2.4.3.2

Gabungkan suku balikan dalam $x^{2} - 2 x + 1 - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.3.2.1

Kurangi $x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$- 2 x + 1 + 0 = - 4$

Langkah 2.4.3.2.2

Tambahkan $- 2 x + 1$ dan $0$ .

$- 2 x + 1 = - 4$

Langkah 2.4.4

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.4.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 2 x = - 4 - 1$

Langkah 2.4.4.2

Kurangi $1$ dengan $- 4$ .

$- 2 x = - 5$

Langkah 2.4.5

Bagi setiap suku pada $- 2 x = - 5$ dengan $- 2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.5.1

Bagilah setiap suku di $- 2 x = - 5$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Langkah 2.4.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Langkah 2.4.5.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 2}$

Langkah 2.4.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.5.3.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$x = \frac{5}{2}$

Langkah 3

Tentukan domain dari $\log (\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur argumen dalam $\log (\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}})$ agar lebih besar dari $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}} > 0$

Langkah 3.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Tentukan semua nilai di mana ungkapan berbalik dari negatif ke positif dengan mengatur setiap faktor agar sama dengan $0$ dan menyelesaikannya.

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

Langkah 3.2.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 3.2.3

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 3.2.4

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 3.2.5

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 3.2.6

Selesaikan setiap faktor untuk menemukan nilai di mana pernyataan nilai mutlaknya berubah dari negatif ke positif.

$x = - 2$

$x = 2$

$x = 1$

Langkah 3.2.7

Gabungkan penyelesaiannya.

$x = - 2, 2, 1$

Langkah 3.2.8

Tentukan domain dari $\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.1

Atur penyebut dalam $\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

${(x - 1)}^{2} = 0$

Langkah 3.2.8.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.2.1

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 3.2.8.2.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 3.2.8.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Langkah 3.2.9

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$1 < x < 2$

$x > 2$

Langkah 3.2.10

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.10.1

Uji nilai pada interval $x < - 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.10.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 4$

Langkah 3.2.10.1.2

Ganti $x$ dengan $- 4$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{((- 4) + 2) ((- 4) - 2)}{{((- 4) - 1)}^{2}} > 0$

Langkah 3.2.10.1.3

Sisi kiri $0.48$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 3.2.10.2

Uji nilai pada interval $- 2 < x < 1$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.10.2.1

Pilih nilai pada interval $- 2 < x < 1$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 3.2.10.2.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{((0) + 2) ((0) - 2)}{{((0) - 1)}^{2}} > 0$

Langkah 3.2.10.2.3

Sisi kiri $- 4$ tidak lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 3.2.10.3

Uji nilai pada interval $1 < x < 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.10.3.1

Pilih nilai pada interval $1 < x < 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 1.5$

Langkah 3.2.10.3.2

Ganti $x$ dengan $1.5$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{((1.5) + 2) ((1.5) - 2)}{{((1.5) - 1)}^{2}} > 0$

Langkah 3.2.10.3.3

Sisi kiri $- 7$ tidak lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 3.2.10.4

Uji nilai pada interval $x > 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.10.4.1

Pilih nilai pada interval $x > 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 4$

Langkah 3.2.10.4.2

Ganti $x$ dengan $4$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{((4) + 2) ((4) - 2)}{{((4) - 1)}^{2}} > 0$

Langkah 3.2.10.4.3

Sisi kiri $1.\overline{3}$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 3.2.10.5

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 2$ Benar

$- 2 < x < 1$ Salah

$1 < x < 2$ Salah

$x > 2$ Benar

$x < - 2$ Benar

$- 2 < x < 1$ Salah

$1 < x < 2$ Salah

$x > 2$ Benar

Langkah 3.2.11

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$x < - 2$ atau $x > 2$

Langkah 3.3

Atur penyebut dalam $\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

${(x - 1)}^{2} = 0$

Langkah 3.4

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 3.4.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 3.5

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$(- \infty, - 2) \cup (2, \infty)$

Langkah 4

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$x > \frac{5}{2}$

Langkah 5

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Ketidaksamaan:

$x > \frac{5}{2}$

Notasi Interval:

$(\frac{5}{2}, \infty)$

Langkah 6