Matematika Berhingga Contoh

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$

Langkah 1

Tuliskan $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ sebagai sebuah persamaan.

$y = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$

Langkah 2

Saling tukar variabel.

$x = \frac{y^{2}}{y^{2} - 1}$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan persamaannya dengan $y^{2} - 1$ .

$(y^{2} - 1) (x) = (\frac{y^{2}}{y^{2} - 1}) (y^{2} - 1)$

Langkah 3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan $(y^{2} - 1) (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} x - 1 x = (\frac{y^{2}}{y^{2} - 1}) (y^{2} - 1)$

Langkah 3.2.1.2

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$y^{2} x - x = (\frac{y^{2}}{y^{2} - 1}) (y^{2} - 1)$

Langkah 3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan $(\frac{y^{2}}{y^{2} - 1}) (y^{2} - 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$y^{2} x - x = \frac{y^{2}}{y^{2} - 1^{2}} (y^{2} - 1)$

Langkah 3.3.1.1.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = y$ dan $b = 1$ .

$y^{2} x - x = \frac{y^{2}}{(y + 1) (y - 1)} (y^{2} - 1)$

Langkah 3.3.1.2

Kalikan $\frac{y^{2}}{(y + 1) (y - 1)}$ dengan $y^{2} - 1$ .

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y^{2} - 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

Langkah 3.3.1.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.3.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y^{2} - 1^{2})}{(y + 1) (y - 1)}$

Langkah 3.3.1.3.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = y$ dan $b = 1$ .

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

Langkah 3.3.1.4

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.4.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

Langkah 3.3.1.4.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y - 1)}{y - 1}$

Langkah 3.3.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y - 1)}{y - 1}$

Langkah 3.3.1.4.2.2

Bagilah $y^{2}$ dengan $1$ .

$y^{2} x - x = y^{2}$

Langkah 3.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Kurangkan $y^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y^{2} x - x - y^{2} = 0$

Langkah 3.4.2

Tambahkan $x$ ke kedua sisi persamaan.

$y^{2} x - y^{2} = x$

Langkah 3.4.3

Faktorkan $y^{2}$ dari $y^{2} x - y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Faktorkan $y^{2}$ dari $y^{2} x$ .

$y^{2} (x) - y^{2} = x$

Langkah 3.4.3.2

Faktorkan $y^{2}$ dari $- y^{2}$ .

$y^{2} (x) + y^{2} \cdot - 1 = x$

Langkah 3.4.3.3

Faktorkan $y^{2}$ dari $y^{2} (x) + y^{2} \cdot - 1$ .

$y^{2} (x - 1) = x$

Langkah 3.4.4

Bagi setiap suku pada $y^{2} (x - 1) = x$ dengan $x - 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1

Bagilah setiap suku di $y^{2} (x - 1) = x$ dengan $x - 1$ .

$\frac{y^{2} (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Langkah 3.4.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y^{2} (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Langkah 3.4.4.2.1.2

Bagilah $y^{2}$ dengan $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{x - 1}$

Langkah 3.4.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{x - 1}}$

Langkah 3.4.6

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{x}{x - 1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.1

Tulis kembali $\sqrt{\frac{x}{x - 1}}$ sebagai $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}$

Langkah 3.4.6.2

Kalikan $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}$ dengan $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}} \cdot \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1}}$

Langkah 3.4.6.3

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.3.1

Kalikan $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}$ dengan $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1} \sqrt{x - 1}}$

Langkah 3.4.6.3.2

Naikkan $\sqrt{x - 1}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{\sqrt{x - 1}}^{1} \sqrt{x - 1}}$

Langkah 3.4.6.3.3

Naikkan $\sqrt{x - 1}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{\sqrt{x - 1}}^{1} {\sqrt{x - 1}}^{1}}$

Langkah 3.4.6.3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{\sqrt{x - 1}}^{1 + 1}}$

Langkah 3.4.6.3.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{\sqrt{x - 1}}^{2}}$

Langkah 3.4.6.3.6

Tulis kembali ${\sqrt{x - 1}}^{2}$ sebagai $x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.3.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x - 1}$ sebagai ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 3.4.6.3.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 3.4.6.3.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.4.6.3.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.3.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.4.6.3.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{(x - 1)}^{1}}$

Langkah 3.4.6.3.6.5

Sederhanakan.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{x - 1}$

Langkah 3.4.6.4

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$y = \pm \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

Langkah 3.4.7

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.7.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

Langkah 3.4.7.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

Langkah 3.4.7.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

$y = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

$y = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

$y = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

Langkah 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}, - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

Langkah 5

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}, - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$ merupakan balikan dari $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Domain dari balikan adalah daerah hasil dari fungsi asal dan sebaliknya. Tentukan domain dan daerah hasil dari $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ dan $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}, - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$ dan bandingkan.

Langkah 5.2

Tentukan daerah hasil dari $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Jangkauannya adalah himpunan dari semua nilai $y$ yang valid. Gunakan grafik untuk mencari intervalnya.

Notasi Interval:

$(- \infty, 0] \cup (1, \infty)$

Langkah 5.3

Tentukan domain dari $\frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{x (x - 1)}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$x (x - 1) \geq 0$

Langkah 5.3.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Langkah 5.3.2.2

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 5.3.2.3

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.3.1

Atur $x - 1$ sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 5.3.2.3.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 5.3.2.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $x (x - 1) \geq 0$ benar.

$x = 0, 1$

Langkah 5.3.2.5

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Langkah 5.3.2.6

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.6.1

Uji nilai pada interval $x < 0$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.6.1.1

Pilih nilai pada interval $x < 0$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 2$

Langkah 5.3.2.6.1.2

Ganti $x$ dengan $- 2$ pada pertidaksamaan asal.

$(- 2) ((- 2) - 1) \geq 0$

Langkah 5.3.2.6.1.3

Sisi kiri $6$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 5.3.2.6.2

Uji nilai pada interval $0 < x < 1$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.6.2.1

Pilih nilai pada interval $0 < x < 1$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0.5$

Langkah 5.3.2.6.2.2

Ganti $x$ dengan $0.5$ pada pertidaksamaan asal.

$(0.5) ((0.5) - 1) \geq 0$

Langkah 5.3.2.6.2.3

Sisi kiri $- 0.25$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 5.3.2.6.3

Uji nilai pada interval $x > 1$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.6.3.1

Pilih nilai pada interval $x > 1$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 4$

Langkah 5.3.2.6.3.2

Ganti $x$ dengan $4$ pada pertidaksamaan asal.

$(4) ((4) - 1) \geq 0$

Langkah 5.3.2.6.3.3

Sisi kiri $12$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 5.3.2.6.4

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < 0$ Benar

$0 < x < 1$ Salah

$x > 1$ Benar

$x < 0$ Benar

$0 < x < 1$ Salah

$x > 1$ Benar

Langkah 5.3.2.7

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$x \leq 0$ atau $x \geq 1$

Langkah 5.3.3

Atur penyebut dalam $\frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x - 1 = 0$

Langkah 5.3.4

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 5.3.5

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$(- \infty, 0] \cup (1, \infty)$

Langkah 5.4

Tentukan domain dari $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Atur penyebut dalam $\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x^{2} - 1 = 0$

Langkah 5.4.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{2} = 1$

Langkah 5.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Langkah 5.4.2.3

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$x = \pm 1$

Langkah 5.4.2.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 1$

Langkah 5.4.2.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 1$

Langkah 5.4.2.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 1, - 1$

Langkah 5.4.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Langkah 5.5

Karena domain dari $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}, - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$ adalah daerah hasil dari $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ dan daerah hasil dari $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}, - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$ adalah domain dari $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ , maka $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}, - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$ merupakan balikan dari $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}, - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

Langkah 6