Matematika Berhingga Contoh

$3 x^{3} + 10 x^{2} + x - 6 = 0$

Langkah 1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $3 x^{3} + 10 x^{2} + x - 6$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 3$

Langkah 1.1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 6, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 3$

Langkah 1.1.3

Substitusikan $- 1$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $- 1$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Substitusikan $- 1$ ke dalam polinomialnya.

$3 {(- 1)}^{3} + 10 {(- 1)}^{2} - 1 - 6$

Langkah 1.1.3.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$3 \cdot - 1 + 10 {(- 1)}^{2} - 1 - 6$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$- 3 + 10 {(- 1)}^{2} - 1 - 6$

Langkah 1.1.3.4

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$- 3 + 10 \cdot 1 - 1 - 6$

Langkah 1.1.3.5

Kalikan $10$ dengan $1$ .

$- 3 + 10 - 1 - 6$

Langkah 1.1.3.6

Tambahkan $- 3$ dan $10$ .

$7 - 1 - 6$

Langkah 1.1.3.7

Kurangi $1$ dengan $7$ .

$6 - 6$

Langkah 1.1.3.8

Kurangi $6$ dengan $6$ .

$0$

Langkah 1.1.4

Karena $- 1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x + 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{3 x^{3} + 10 x^{2} + x - 6}{x + 1}$

Langkah 1.1.5

Bagilah $3 x^{3} + 10 x^{2} + x - 6$ dengan $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$1$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$x$

$6$

Langkah 1.1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $3 x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$3 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$

Langkah 1.1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			+	$3 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Langkah 1.1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $3 x^{3} + 3 x^{2}$

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Langkah 1.1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$

Langkah 1.1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$x$

Langkah 1.1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $7 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$3 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$x$

Langkah 1.1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$3 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$x$
					+	$7 x^{2}$	+	$7 x$

Langkah 1.1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $7 x^{2} + 7 x$

				$3 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$

Langkah 1.1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$3 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							-	$6 x$

Langkah 1.1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$3 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							-	$6 x$	-	$6$

Langkah 1.1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 6 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$3 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							-	$6 x$	-	$6$

Langkah 1.1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$3 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							-	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	-	$6$

Langkah 1.1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 6 x - 6$

				$3 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							-	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	+	$6$

Langkah 1.1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$3 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							-	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	+	$6$
										$0$

Langkah 1.1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$3 x^{2} + 7 x - 6$

Langkah 1.1.6

Tulis $3 x^{3} + 10 x^{2} + x - 6$ sebagai himpunan faktor.

$(x + 1) (3 x^{2} + 7 x - 6) = 0$

Langkah 1.2

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 3 \cdot - 6 = - 18$ dan yang jumlahnya adalah $b = 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1.1

Faktorkan $7$ dari $7 x$ .

$(x + 1) (3 x^{2} + 7 (x) - 6) = 0$

Langkah 1.2.1.1.2

Tulis kembali $7$ sebagai $- 2$ ditambah $9$

$(x + 1) (3 x^{2} + (- 2 + 9) x - 6) = 0$

Langkah 1.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$(x + 1) (3 x^{2} - 2 x + 9 x - 6) = 0$

Langkah 1.2.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(x + 1) ((3 x^{2} - 2 x) + 9 x - 6) = 0$

Langkah 1.2.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$(x + 1) (x (3 x - 2) + 3 (3 x - 2)) = 0$

Langkah 1.2.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $3 x - 2$ .

$(x + 1) ((3 x - 2) (x + 3)) = 0$

Langkah 1.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x + 1) (3 x - 2) (x + 3) = 0$

Langkah 2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

$3 x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Langkah 3

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur $x + 1$ sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 3.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 4

Atur $3 x - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur $3 x - 2$ sama dengan $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Langkah 4.2

Selesaikan $3 x - 2 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$3 x = 2$

Langkah 4.2.2

Bagi setiap suku pada $3 x = 2$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Bagilah setiap suku di $3 x = 2$ dengan $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Langkah 4.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Langkah 4.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Langkah 5

Atur $x + 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur $x + 3$ sama dengan $0$ .

$x + 3 = 0$

Langkah 5.2

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 3$

Langkah 6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x + 1) (3 x - 2) (x + 3) = 0$ benar.

$x = - 1, \frac{2}{3}, - 3$

Langkah 7