Matematika Berhingga Contoh

$x^{2} - y^{2} = 1$

Langkah 1

Kurangkan $x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- y^{2} = 1 - x^{2}$

Langkah 2

Bagi setiap suku pada $- y^{2} = 1 - x^{2}$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Bagilah setiap suku di $- y^{2} = 1 - x^{2}$ dengan $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Langkah 2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Langkah 2.2.2

Bagilah $y^{2}$ dengan $1$ .

$y^{2} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Langkah 2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Bagilah $1$ dengan $- 1$ .

$y^{2} = - 1 + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Langkah 2.3.1.2

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$y^{2} = - 1 + \frac{x^{2}}{1}$

Langkah 2.3.1.3

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$y^{2} = - 1 + x^{2}$

Langkah 3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{- 1 + x^{2}}$

Langkah 4

Sederhanakan $\pm \sqrt{- 1 + x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 1^{2} + x^{2}}$

Langkah 4.1.2

Susun kembali $- 1^{2}$ dan $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{x^{2} - 1^{2}}$

Langkah 4.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$y = \pm \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Langkah 5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Langkah 5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Langkah 5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Langkah 6

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$(x + 1) (x - 1) \geq 0$

Langkah 7

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Langkah 7.2

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Atur $x + 1$ sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 7.2.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 7.3

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Atur $x - 1$ sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 7.3.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 7.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x + 1) (x - 1) \geq 0$ benar.

$x = - 1, 1$

Langkah 7.5

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Langkah 7.6

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.1

Uji nilai pada interval $x < - 1$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 1$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 4$

Langkah 7.6.1.2

Ganti $x$ dengan $- 4$ pada pertidaksamaan asal.

$((- 4) + 1) ((- 4) - 1) \geq 0$

Langkah 7.6.1.3

Sisi kiri $15$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 7.6.2

Uji nilai pada interval $- 1 < x < 1$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.2.1

Pilih nilai pada interval $- 1 < x < 1$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 7.6.2.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

$((0) + 1) ((0) - 1) \geq 0$

Langkah 7.6.2.3

Sisi kiri $- 1$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 7.6.3

Uji nilai pada interval $x > 1$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.3.1

Pilih nilai pada interval $x > 1$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 4$

Langkah 7.6.3.2

Ganti $x$ dengan $4$ pada pertidaksamaan asal.

$((4) + 1) ((4) - 1) \geq 0$

Langkah 7.6.3.3

Sisi kiri $15$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 7.6.4

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 1$ Benar

$- 1 < x < 1$ Salah

$x > 1$ Benar

$x < - 1$ Benar

$- 1 < x < 1$ Salah

$x > 1$ Benar

Langkah 7.7

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$x \leq - 1$ atau $x \geq 1$

Langkah 8

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \leq - 1, x \geq 1}$

Langkah 9